3.3直线的交点坐标与距离公式

高一数学 必修 2

第三章 直线的方程

已知两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交, 如何求这两条直线交点 的坐标?

二、两条直线的交点:

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
(1)若方程组有且只有一个解, (2)若方程组无解, 则l1// l2;

则l1与l2相交;

(3)若方程组有无数解,

则l1与l2重合.

两条直线的交点
几何元素及关系 点A 代数表示

A(a, b)

直线l
点A在直线l上

l : Ax ? By ? C ? 0
A的坐标满足方程 l : Aa ? Bb ? C ? 0 A的坐标是方程组的解

直线l1与l2的交点是A

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y－2=0；
解：解方程组

l2：2x+y+2=0.
3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0 x= －2 y=2

得

∴l1与l2的交点是M（- 2，2）

练习：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 : l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
x= 2 x－2y+2=0 得 y=2 解：解方程组 2x－y－2=0 ∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 y= x

问题2：如何根据两直线的方程系数之间的关 系来判定两直线的位置关系？

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

l1与l2平行 l1与l2相交

A1 B1 ? A2 B2

例题分析
例2、判定下列各对直线的位置关系，若相交， 则求交点的坐标

?l1 : x ? y ? 0 (1) ? ?l 2 : 3x ? 3 y ? 10 ? 0 ?l1 : 3x ? y ? 4 ? 0 (2) ? ?l2 : 6 x ? 2 y ? 0 ?l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 (3) ? ?l2 : 6 x ? 8 y ? 10 ? 0

练习
已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0， 问当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交，(2) 平行，(3) 垂直

当?变化时, 方程 3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0 表示什么图形 ?图形有何特点 ?
练习：求经过原点及两条直线l1:3x+4y-2=0, l2:2x+y+2=0的交点的直线的方程.

问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？

?l1 , l2相交 ? 唯一解 ? ? 直线l1 , l2解方程组?无穷多解 ? ?l1 , l2重合 ? ?l , l ? 无解 ? 1 2平行

3.3.2

两点间的距离

两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? (1) x1≠x2, y1=y2 (2) x1 = x2, y1 ≠ y2 (3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2

|P 1P 2 |?| x2 ? x1 | |P 1P 2 |?| y2 ? y1 |

两点间的距离 (3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? y P1(x1,y1) Q (x ,y )
2 1

P2(x2,y2)

o

x

|P ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 1P 2 |?
2

2

特别地, 原点O与任一点P( x, y )的距离 : | OP |? x 2 ? y 2

例题分析
例1 已知点A(?1, 2), B(2, 7), 在x轴上求一点P, 使 得 | PA |?| PB |, 并求 | PA | 的值.

练习
1、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标； 2、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。

例2、证明平行四边形四条边的平方和等于两 条对角线的平方和。
y D(b,c) C(a+b,c)

A(0,0)

B(a,0)

x

建立坐标系， 用坐标表示有 关的量。

进行有关的代 数运算。

把代数运算结 果“翻译”成 几何关系。

练习
4、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点 的距离相等。
y
B (0,b)

a b M( , ) 2 2

o C (0,0)

x A(a,0)

小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是

|P ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 1P 2 |?
2

2

特别地, 原点O与任一点P( x, y )的距离 : | OP |? x ? y
2 2

§3.3.3点到直线的距离
§3.3.4两条平行直线间的距离

点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. y

P

l

Q
o

x

思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P到直线l的距离呢?

当A=0或B=0时,直线方程为 y=y1或x=x1的形式.
y
y=y1 o P (x0,y0)
Q (x0,y1)

y

(x1,y0)
Q

P(x0,y0) x x=x1

x

o

PQ = y0 - y1

PQ = x 0 - x1

练习1
5 (1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______. 3 4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______. 3

下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点 到直线的距离公式:

[思路一] 利用两点间距离公式:
y

P
l

Q
o

x

[思路二] 构造直角三角形求其高.
y
R Q P(x0,y0)

O

S

L:Ax+By+C=0

x

点到直线的距离：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：

练习2

d?

| Ax0 ? By 0 ? C | A ?B
2 2

1、求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离.

2. 求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.
3、求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离.

例题分析
例6:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求的?ABC 面积 y
A
h C O

B

x

两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. P

l2
Q o 例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 l2: Ax+By+C2=0的距离是 x

d?

C1 - C2 A2 ? B 2

练习3
14 53 1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是______; 53
2 13 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____. 13

练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
2 2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2

的直线方程 .

小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0

的距离公式是

d=

Ax0 + By0 + C A 2 + B2

当A=0或B=0时,公式仍然成立.

2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d= C1 - C2 A 2 + B2