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三角函数与平面向量经典题型


必修四三角函数与平面向量 测试卷一
一、选择题 1. 设点 A(2, 0) ,B (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上, 且 A. (3,1) B. (1, ?1)

AB ? 2 AP , 则点 P 的坐标为 (
D.无数多个



C. (3,1) 或 (1, ?1)

OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,则 2.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP 1 ? ?cos? , sin ? ? ,
向量 P 1P 2 长度的最大值是( A. 2 B. 3 ) D. 2 3 ( )

C. 3 2

3.函数 f ( x) ?

sin x sin x ? 2sin x 2



A.以 4? 为周期的偶函数 C.以 2? 为周期的偶函数

B.以 2? 为周期的奇函数 D.以 4? 为周期的奇函数

4.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则

MN 的最大值为
A.1 B. 2 ) C. 3 D.2





5.下列命题正确的是( A.单位向量都相等

B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量 C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b ? 0 D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1 6.若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? (
o

)

A. (?3,6)

B. (3,?6)

C. (6,?3)

D. (?6,3) )

7.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是(

A.

? 6
? ?

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6


8.已知 cos ? ? ?

π? 4 7π ? ? 3 ,则 sin ? ? ? ? 的值是( ? ? sin ? ? 6? 5 6 ? ?
B.

A. ?

2 3 5

2 3 5

C. ?

4 5

D.

4 5

10.在同一平面直角坐标系中, 函数 y ? cos( 点个数是 A.0 B.1

x 3? 1 ? )( x ? [0, 2? ]) 的图象和直线 y ? 的交 2 2 2
( C.2 ) D.4

11 .已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin(? x ?

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减.则 ? 的取值范围是 4 2
( ) C. (0, ]
2 2

?

A. [ , ]

1 5 2 4

B. [ , ]

1 3 2 4

1 2

D. (0, 2]
2

12 .在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小值为

( A.



3 2
?

B.

2 2
? ?

C.

1 2

D. ?

1 2

二、填空题 13.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。 14.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是 15.设 x ? ? 0, ? ,则函数 y ? .
?

? ?

?? 2?

2sin 2 x ? 1 的最小值为 sin 2 x



? 16.函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 三、解答题 17.已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).
?

?

?

?

18.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

1 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2

x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试求函数关系式 k ? f (t ) 。

19.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求 c。

20.已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ?

? ?

π? (Ⅰ) ?( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3

? 2π ? ? ?

21.已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?

22. 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . (Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.


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