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湖南省长沙市长郡中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分) 1.已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任一点 O, A. B. C. D.0 则 x 的值为( )

2.若椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,则双曲线



=1 的离心率为(

)

A.

B.

C.

D.

3. 如图, 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, E 为 A1C1 的中点, 则异面直线 CE 与 BD 所成的角为(

)

A.30° B.45° C.60° D.90°

4.设 a∈R,则 a>1 是 <1 的(

)

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人.为了调查他们的身体状况,需从他 们中抽取一个容量为 36 的样本,最适合抽取样本的方法是( A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老年人中剔除一人,然后分层抽样 )

6.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,若利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10 项,则 判断框内的条件是( )

A.n≤8?

B.n≤9?

C.n≤10? D.n≤11?

7.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12, 设其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有( A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a )

8.已知双曲线的两个焦点为 F1(﹣ 足 ? =2,| |?|

,0) 、F2(

,0) ,M 是此双曲线上的一点,且满 )

|=0,则该双曲线的方程是(

A.

﹣y2=1 B.x2﹣

=1 C.



=1

D.



=1

9.采用简单随机抽样从含 10 个个体的总体中抽取一个容量为 4 的样本,个体 a 前两次未被 抽到,第三次被抽到的机率为( A. B. C. D. )

10. 一炮弹在某处爆炸, 在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2s, 则爆炸点所在曲线为( A.椭圆的一部分 B.双曲线的一支 C..线段 D.圆

)

11.若方程

表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 m 的取值范围是( D.m>1 且 m≠

)

A.m>0 B.0<m<1 C.﹣2<m<1

12.某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两 个事件是( )

A.恰有 1 名男生与恰有 2 名女生 B.至少有 1 名男生与全是男生 C.至少有 1 名男生与至少有 1 名女生 D.至少有 1 名男生与全是女生

13.设集合 U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x﹣y+m>0},B={(x,y)|x+y﹣n≤0}, 那么点 P(2,3)∈A∩(?UB)的充要条件是( )

A.m>﹣1,n<5 B.m<﹣1,n<5 C.m>﹣1,n>5 D.m<﹣1,n>5

14.今年是我校成立 111 周年的一年,那么十进制的 111 化为二进制是( A.1 101 101 B.11 011 011 C.1 101 111 D.1 011 100

)

15.已知向量 =(﹣2,1) , =(x,y) ,x∈,y∈则满足 ? <0 的概率是( A. B. C. D.

)

二、填空题(本大题共 5 小题,每题 3 分,共 15 分) 16.若关于 x 的方程 x2+2(a﹣1)x+2a+6=0 有一正一负两实数根,则实数 a 的取值范围 __________.

17.抛物线 y2=4x 的弦 AB 垂直 x 轴,若

,则焦点到 AB 的距离为__________.

18.在抽查产品的尺寸过程中,将尺寸分成若干组,

【分析】利用四点共面的充要条件:若 【解答】解:∵ 又点 M 在平面 ABC 内, ∴ 解得 x= 故选 A. 【点评】本题考查四点共面的充要条件:P∈平面 ABC,若 属基础题.

则 x+y+z=1,列出方程求出 x.

则 x+y+z=1,

2.若椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,则双曲线



=1 的离心率为(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】利用 a 与 b 表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出 ,接着利用 a,

b 表示出双曲线的离心率

,即可求出双曲线的离心率.

【解答】解:由题意得椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率 e=



所以

=



所以



所以双曲线的离心率 故选 B.

=



【点评】解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系,区分椭圆的离心率 与双曲线的离心率的表达形式有何不同,离心率一直是高考考查的重点.

3. 如图, 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, E 为 A1C1 的中点, 则异面直线 CE 与 BD 所成的角为(

)

A.30° B.45° C.60° D.90° 【考点】异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定. 【专题】计算题;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程;空间角. 【分析】连接 AC,BD,则 AC⊥BD,证明 AC⊥平面 BDD1,可得 AC⊥BD1,利用 EF∥AC,即可得 出结论. 【解答】解:连接 AC,底面是正方形,则 AC⊥BD,几何体是正方体,可知 ∴BD⊥AA1,AC∩AA1=A, ∴BD⊥平面 CC1AA1, ∵CE? 平面 CC1AA1, ∴BD⊥CE, ∴异面直线 BD、CE 所成角是 90°. 故选:D.

【点评】本题考查异面直线 BD1、EF 所成角,考查线面垂直的判定,考查学生分析解决问题的 能力,属于中档题.

4.设 a∈R,则 a>1 是 <1 的(

)

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】由 a>1,一定能得到 得到结论. 【解答】解:由 a>1,一定能得到 故 a>1 是 <1 的充分不必要条件, 故选 A. 【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命 题不正确,是一种简单有效的方法. <1.但当 <1 时,不能推出 a>1 (如 a=﹣1 时) , <1.但当 <1 时,不能推出 a>1 (如 a=﹣1 时) ,从而

5.某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人.为了调查他们的身体状况,需从他 们中抽取一个容量为 36 的样本,最适合抽取样本的方法是( A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老年人中剔除一人,然后分层抽样 【考点】分层抽样方法. 【专题】应用题. 【分析】由于总体由具有明显不同特征的三部分构成,故应采用分层抽样的方法,若直接采 用分层抽样,则运算出的结果不是整数,先从老年人中剔除一人,然后分层抽样. 【解答】解:由于总体由具有明显不同特征的三部分构成,故不能采用简单随机抽样,也不 能用系统抽样,若直接采用 分层抽样,则运算出的结果不是整数,先从老年人中剔除一人,然后分层抽样,此时,每个 个体被抽到的概率等于 = 81× =18. 故选 D. 【点评】本题考查分层抽样的定义和方法,注意使用分层抽样的题目的特点. = ,从各层中抽取的人数分别为 27× =6,54× =12, )

6.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,若利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10 项,则 判断框内的条件是( )

A.n≤8?

B.n≤9?

C.n≤10? D.n≤11?

【考点】循环结构. 【专题】阅读型. 【分析】n=1,满足条件,执行循环体,S=2,依此类推,当 n=10,不满足条件,退出循环体, 从而得到循环满足的条件. 【解答】解:n=1,满足条件,执行循环体,S=1+1=2 n=2,满足条件,执行循环体,S=1+1+2=4 n=3,满足条件,执行循环体,S=1+1+2+3=7 n=10,不满足条件,退出循环体,循环满足的条件为 n≤9, 故选 B. 【点评】本题主要考查了当型循环结构,算法和程序框图是新课标新增的内容,在近两年的 新课标地区高考都考查到了,这启示我们要给予高度重视,属于基础题.

7.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15, 17,17,16,14,12, 设其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有( A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 【考点】众数、中位数、平均数. )

【专题】概率与统计. 【分析】先由已知条件分别求出平均数 a,中位数 b,众数 c,由此能求出结果. 【解答】解:由已知得:a= b= c=17, ∴c>b>a. 故选:D. 【点评】本题考查平均数为,中位数,众数的求法,是基础题,解题时要认真审题. =15; (15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7;

8.已知双曲线的两个焦点为 F1(﹣ 足 ? =2,| |?|

,0) 、F2(

,0) ,M 是此双曲线上的一点,且满 )

|=0,则该双曲线的方程是(

A.

﹣y =1 B.x ﹣

2

2

=1 C.



=1

D.



=1

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】由 ? =0,可得 MF1⊥MF2 进一步求出 =36,由此得到 a=3,则该双 曲线的方程可求. 【解答】解:∵ ∴ ∴ 则 ∴|MF1|﹣|MF2|=6=2a.即 a=3. ∵c= ,∴b =c ﹣a =1. .
2 2 2

?

=0,

即 MF1⊥MF2, . =40﹣2×2=36.

则该双曲线的方程是: 故选:A.

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算,考查了双曲线的性质和应用,解题时要注意向 量的合理运用,是中档题.

9.采用简单随机抽样从含 10 个个体的总体中抽取一个容量为 4 的样本,个体 a 前两次未被 抽到,第三次被抽到的机率为( A. B. C. D. )

【考点】等可能事件的概率;简单随机抽样. 【专题】概率与统计. 【分析】方法一:可按照排列的意义去抽取,再利用等可能事件的概率计算即可. 方法二:可以只考虑第三次抽取的情况. 【解答】解:方法一:前两次是从去掉 a 以外的 9 个个体中依次任意抽取的两个个体有 方法,第三次抽取个体 a 只有一种方法,第四次从剩下的 7 个个体中任意抽取一个可有 方法;而从含 10 个个体的总体中依次抽取一个容量为 4 的样本,可有 种方法. 种 种

∴要求的概率 P=

=



方法二:可以只考虑第三次抽取的情况:个体 a 第三次被抽到只有一种方法,而第三次从含 10 个个体的总体中抽取一个个体可有 10 种方法,因此所求的概率 P= 故选 A. 【点评】正确计算出:个体 a 前两次未被抽到而第三次被抽到的方法和从含 10 个个体的总体 中依次抽取一个容量为 4 的样本的方法是解题的关键. .

10. 一炮弹在某处爆炸, 在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2s, 则爆炸点所在曲线为( A.椭圆的一部分 B.双曲线的一支 C..线段 【考点】双曲线的定义;双曲线的标准方程. 【专题】对应思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据题意,结合双曲线的定义,即可得出爆炸点的轨迹为双曲线的一支. 【解答】解:∵声速为 340 m/s, 以直线 AB 为 x 轴,线段 BA 的中点为坐标原点,建立直角坐标系; D.圆

)

设炮弹爆炸点的轨迹上的点 P(x,y) ,由题意可得|PA|﹣|PB|=680<|AB|, ∴点 P(x,y)所在的轨迹为双曲线的一支. 故选:B. 【点评】本题考查了双曲线的定义与应用问题,是基础题目.

11.若方程

表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 m 的取值范围是( D.m>1 且 m≠

)

A.m>0 B.0<m<1 C.﹣2<m<1

【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】先根据椭圆的标准方程,进而根据焦点在 y 轴推断出 2﹣m >m>0,从而求得 m 的范 围. 【解答】解:由题意, ∴2﹣m >m>0, 解得:0<m<1, ∴实数 m 的取值范围是 0<m<1. 故选 B. 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质.解题时注意看焦点在 x 轴还是 在 y 轴.
2 2

12.某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两 个事件是( )

A.恰有 1 名男生与恰有 2 名女生 B.至少有 1 名男生与全是男生 C.至少有 1 名男生与至少有 1 名女生 D.至少有 1 名男生与全是女生 【考点】互斥事件与对立事件. 【专题】阅读型.

【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件,对立事件首先是互斥事件,再就是两个事 件的和事件是全集,由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案. 【解答】解:A 中的两个事件符合要求,它们是互斥且不对立的两个事件; B 中的两个事件之间是包含关系,故不符合要求; C 中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件,故不互斥; D 中的两个事件是对立的,故不符合要求. 故选 A 【点评】本题考查互斥事件与对立事件,解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的 关系.属于基本概念型题.

13.设集合 U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x﹣y+m>0},B={(x,y)|x+y﹣n≤0}, 那么点 P(2,3)∈A∩(?UB)的充要条件是( )

A.m>﹣1,n<5 B.m<﹣1,n<5 C.m>﹣1,n>5 D.m<﹣1,n>5 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】压轴题. 【分析】由 P(2,3)∈A∩(?UB)则点 P 既适合 2x﹣y+m>0,也适合 x+y﹣n>0,从而求得 结果. 【解答】解:?UB={(x,y)|x+y﹣n>0} ∵P(2,3)∈A∩(?UB) ∴2×2﹣3+m>0,2+3﹣n>0 ∴m>﹣1,n<5 故选 A 【点评】本题主要考查元素与集合的关系.

14.今年是我校成立 111 周年的一年,那么十进制的 111 化为二进制是( A.1 101 101 B.11 011 011 C.1 101 111 D.1 011 100

)

【考点】进位制. 【专题】计算题;转化思想;分析法;算法和程序框图. 【分析】利用“除 k 取余法”是将十进制数除以 2,然后将商继续除以 2,直到商为 0,然后 将依次所得的余数倒序排列即可得到答案.

【解答】解:111÷2=55?1 55÷2=27?1 27÷2=13?1 13÷2=6?1 6÷2=3?0 3÷2=1?1 1÷2=0?1 故 111(10)=1101111(2) 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化,其中熟练掌握“除 k 取余法” 的方法步骤是解答本题的关键.

15.已知向量 =(﹣2,1) , =(x,y) ,x∈,y∈则满足 ? <0 的概率是( A. B. C. D.

)

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】数形结合;综合法;平面向量及应用;不等式. 【分析】可用 A 表示事件“ ”,可以得到试验的全部结果所构成的区域为{(x,y)

|1≤x≤6,1≤y≤6},而事件 A 表示的区域为{(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6,﹣2x+y<0}, 从而可画图表示这两个区域,从而求这两个区域的面积比便是事件 A 的概率. 【解答】解:用 A 表示事件“ ”;

试验的全部结果所构成的区域为{(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6}; 构成事件 A 的区域为{(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6,且﹣2x+y<0}; 画出图形如下图:

图中矩形及矩形内部表示试验的全部结果所表示的区域,阴影部分表示事件 A 表示的区域; ∴P(A)= 故选:A. 【点评】考查概率的概念,几何概型的计算方法,以及能够找出不等式所表示的平面区域. .

二、填空题(本大题共 5 小题,每题 3 分,共 15 分) 16.若关于 x 的方程 x2+2(a﹣1)x+2a+6=0 有一正一负两实数根,则实数 a 的取值范围 a< ﹣3. 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题. 【分析】令 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2a+6,根据关于 x 的方程 x2+2(a﹣1)x+2a+6=0 有一正一 负两实数根,则 f(0)<0,解之即可求出所求. 【解答】解:令 f(x)=x +2(a﹣1)x+2a+6 ∵关于 x 的方程 x2+2(a﹣1)x+2a+6=0 有一正一负两实数根 ∴f(0)=2a+6<0 解得 a<﹣3 故答案为:a<﹣3 【点评】本题主要考查了方程根的分布,以及函数的零点的判定定理,同时考查了转化的能 力,属于基础题.
2

17.抛物线 y =4x 的弦 AB 垂直 x 轴,若 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题.

2

,则焦点到 AB 的距离为 2.

【分析】不妨设 A 点在 x 轴上方,依题意可知 A 点纵坐标,代入抛物线方程求得 A 点纵坐标, 进而求得抛物线的焦点坐标,则焦点到 AB 的距离可得. 【解答】解:不妨设 A 点在 x 轴上方,依题意可知 yA=2 则 xA= =3 ,

而抛物线焦点坐标为(1,0) ∴AB 到焦点的距离是 3﹣1=2, 故答案为 2 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质等基础知识,考查数形结合思想,属于基础题.

18.在抽查产品的尺寸过程中,将尺寸分成若干组, ∴这个椭圆的离心率= = 故答案为: . = .

【点评】本题考查了二面角的平面角、圆柱的性质、椭圆的离心率、直角三角形的边角关系, 考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于中档题.

三、解答题(本大题共 5 小题,每题 8 分,共 40 分) 21.已知命题 p:﹣2≤x≤10,命题 q: (x+m﹣1) (x﹣m﹣1)≤0(其中 m>0) ,且¬p 是¬q 的必要条件,求实数 m 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【专题】计算题. 【分析】已知命题 p 和 q,然后求出¬p 是¬q,根据¬p 是¬q 的必要条件,所以 p 是 q 的充 分条件,从而求出实数 m 的取值范围; 【解答】解:∵?p 是?q 的必要条件 ∴?p? ?q 即 p? q 由 p:﹣2≤x≤10 q:1﹣m≤x≤m+1



解得 m≥9 【点评】此题主要考查以不等式的求解问题为载体,考查了必要条件和充分条件的定义及其 判断,是一道基础题.

22.已知抛物线的顶点在原点,其准线过双曲线



=1 的一个焦点,又若抛物线与双曲线

相交于点 A( ,

) ,B( ,﹣

) ,求此两曲线的方程.

【考点】抛物线的标准方程;双曲线的标准方程. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由抛物线与双曲线相交于点 A( , 从而得到 a2+b2=1,由此能求出双曲线的方程. 【解答】解:由题意可设抛物线方程为 y =2px,p>0, 将 ,y= 代入得 p=2,所求抛物线的方程为 y2=4x,?
2

) ,B( ,﹣

) ,先求出抛物线方程为 y2=4x,

其准线方程为 x=﹣1,即双曲线的半焦距 c=1,∴a2+b2=1,①, 又 ,②,

由①②可得

,b2= ,

所求双曲线的方程为 4x ﹣

2

=1.?

【点评】本题考查抛物线方程和双曲线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双 曲线和抛物线的性质的合理运用.

23.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的 产品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如 图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品.以 X(单位:t,100≤X≤150)表 示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利 润. (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率.

【考点】频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (I)由题意先分段写出,当 X∈的频率为 0.7,利用样本估计总体的方法得出下一个 销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值. 【解答】解: (I)由题意得,当 X∈时,T=500×130=65000, ∴T= .

(II)由(I)知,利润 T 不少于 57000 元,当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈的频率为 0.7, 所以下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7.

【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力,求解的重点是对题设条件 及直方图的理解,了解直方图中每个小矩形的面积的意义.

24.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=4,CB=4,CC1= 上. (1)若 A1M=3MB1,求异面直线 AM 与 A1C 所成角的余弦值;

,∠ACB=90°,点 M 在线段 A1B1

(2)若直线 AM 与平面 ABC1 所成角为 30°,试确定点 M 的位置.

【考点】异面直线及其所成的角;直线与平面所成的角. 【专题】计算题;空间角. 【分析】 (1)以 CA、CB、CC1 为 x、y、z 轴,建立如图所示空间直角坐标系.算出向量 的坐标,利用空间向量的夹角公式,即可求出异面直线 AM 与 A1C 所成角的余弦值为 (2)利用垂直向量数量积为零的方程,建立方程组解出 =(1,1, 法向量,设 A1M=x,则 =(x﹣4,4﹣x,2 ) ,结合题意可得 、 ;

)是平面 ABC1 的一个

与 所成角为 60°或 120°,

利用空间向量夹角公式建立关于 x 的方程解出 x 的值, 即可得到点 M 为线段 A1B1 的中点时, 满 足直线 AM 与平面 ABC1 所成角为 30°. 【解答】解: (1)分别以 CA、CB、CC1 为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示 则 C(0,0,0) ,A(4,0,0) ,A1(4,0,2 ∵A1M=3MB1,∴M(1,3,2 可得 =(﹣4,0,﹣2 ) , ) , =(﹣3,3,2 ) , ) ,B1(0,4,2 )

∴cos<



>=

=

=

所以异面直线 AM 与 A1C 所成角的余弦值为



(2)由(1)得 B(0,4,0) ,B1(0,4,2 ∴ =(﹣4,4,0) , =(﹣4,0,2 )



设 =(a,b,c)是平面 ABC1 的一个法向量,可得 ,取 a=1,得 b=1,c= ∴ =(1,1, 可得 ) ,而直线 AM 与平面 ABC1 所成角为 30°,

与 所成角为 60°或 120° 、 >|= ,设点 M 的横坐标为 x,则 =(x﹣4,4﹣x,2 )

∴|cos<



=

=

=

解之得 x=2 或 6,由于 M 在 A1B1 上可得 x<6,故 x=2 即点 M 为线段 A1B1 的中点时,满足直线 AM 与平面 ABC1 所成角为 30°.

【点评】本题建立空间坐标系,求异面直线所成角和直线与平面所成角.着重考查了空间向 量的夹角公式、平面法向量的求法和利用空间坐标系研究空间角等知识点,属于中档题.

25.已知椭圆

(a>b>0)的右焦点为 F2(3,0) ,离心率为 e.

(Ⅰ)若

,求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线 y=kx 与椭圆相交于 A,B 两点,M,N 分别为线段 AF2,BF2 的中点.若坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,且 ,求 k 的取值范围.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】综合题;转化思想. 【分析】 (Ⅰ)由题意得 ,得 ,由此能求出椭圆的方程.

(Ⅱ)由

得(b2+a2k2)x2﹣a2b2=0.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .所以

, 依题意 OM⊥ON 知, 四边形 OMF2N 为平行四边形, 所以 AF2⊥BF2,

因为



,所以 .由此能求出 k 的取值

范围. 【解答】解: (Ⅰ)由题意得 结合 a =b +c ,解得 a =12,b =3. 所以,椭圆的方程为 .
2 2 2 2 2

,得



(Ⅱ)由

得(b2+a2k2)x2﹣a2b2=0.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 所以 依题意,OM⊥ON, 易知,四边形 OMF2N 为平行四边形, 所以 AF2⊥BF2, 因为 , , ,

所以







将其整理为 k2=﹣

=﹣1﹣

因为 所以 ,即

,所以

,12≤a2<18. . (13 分)

【点评】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用,解题时要认真审题, 注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.


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