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平面到空间类比结论的探究


平面到空间类比结论的探究
西乡二中 王仕林 类比思想是数学中的一种重要解题思想,而平面几何问题的某些结论,通过类比 思想,可以进一步探究空间问题的一些结论.掌握了从平面到空间问题的类比规律,可 以深入地掌握平面几何与空间立体几何之间的内在联系.下面通过例子来说明这个问 题. 一、从平面到空间的类比结论: 1 结论 1: ?ABC 的面积公式 S?ABC ? BC ? h(h 是 BC 边上的高) 2 1 推广:三棱锥 S ? ABC 的体积公式 VS ? ABC ? S ?ABC ? h(h 是三棱锥的 3 高) 观察并分析: (1)平面内的三角形类比到空间变为三棱锥。 (2)平面内三角形的面积类比到空间为三棱锥的 体积。 (3)平面内三角形的底边(线段)类比到空间变为 (图 1) 三棱锥的底面(平面) 。 结论 2:如图 2,D、E 是 ?ABC 的边 AB、AC 上的点,且 DE//BC, h1, h2 分别是 ?ADE 、 ?ABC 上的高。则 (1)
DE h1 ? BC h2

(2)

S?ADE h12 ? 2 S?ABC h2
(图 2)

推广:如图 3,D、E、F 分别是三棱锥 S-ABC 的边 SA、 SB、SC 上的三点, h1, h2 分别是三棱锥 S ? DEF 与 S ? ABC 的高,且平面 DEF//平面 ABC。则 (1)

V h3 S?DEF h12 ? 2 , (2) S ? DEF ? 13 VS ? ABC h2 S?ABC h2



观察并分析: (1)平面内的两个三角形类比到空间为两个三棱锥。 (2)平面内的线段之比类比到空间为面积之比。 (3)平面内的面积之比类比到空间为体积之比。 (4)平面内的线段之比为高之比;空间内面积之比为两高之比。 (5)平面内的面积之比为平方之比,类比到空间变为: 它的体积之比等于它的高的立方之比。 结论 3:如图 4,OM、ON 为两条射线,D、A、E、B 分别为 OM、ON 上的任意两点,则
S?ODE OD OE ? ? S?OAB OA OB

(图 3)

推论 3:如图 5,OP、OQ、OR 分别为三条射线, A1 、 A2 、 B1 、 B2 、

(图 4)

C1 、 C2 分别为 OP、OQ、OR 上任意两点,则

VO? A1B1C1 VO? A2B2C2

?

OA1 OB1 OC1 ? ? OA2 OB2 OC2

观察并分析: (1) 平面内两条射线类比到空间为三条射线。 (2) 平面内面积之比类比到空间为体积之比。 (3) 平面内是两项之积,类比到空间后为三项之积。 结论 4: ?ABC 中, 在 两边 AB、 互相垂直, AB2 ? AC 2 ? BC 2 , AC 则 拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积 与底面积的关系,可以得出正确的结论是: “设三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两互相垂直,则
2 2 2 2 S?ABC ? S?ACD ? S?ADB ? S?BCD

分析: (1)平面内有两条边,类比到空间变为三条棱。 (2)平面内线段的长度类比到空间变为三角形的面积。 (3)平面内两项之和,类比到空间变为三项之和。 (4)平面内直角三角形的斜边,类比到空间变为三棱锥的底面。
2 2 2 2 由此可知类比到空间后的结论为: S?ABC ? S?ACD ? S?ADB ? S?BCD

二、从平面到空间的类比规律: 从以上四个结论及推论发现:从平面内的某些结论,按照类比思想,拓展到空 间后结论的形成,有如下规律: 1、 (1)平面内为线段长,类比到空间变为平面图形(如三角形) 。 (2)平面内为三角形,类比到空间变为三棱锥。 2、 (1)平面内为线段长,类比到空间变为平面图形的面积。 (2)平面内为三角形的面积,类比到空间变为三棱锥的体积。 3、 (1)平面内为两条线段,类比到空间变为三条直线。 (2)平面内为两项的和(积或商) ,类比到空间变为三项的和(积或商) 。 三、练习题: 1、四边形 ABCD 是平行四边形,则平行四边形的两条对角线的和等于四条边的 平方和。根据平面到空间的类比规律:平行六面体的四条对角线与平行六面体的 12 条棱之间的关系是: 。 2、P 是边长为 a 的等边 ?ABC 内任意一点,则 P 到三角形各边的距离之和为一定 值
3 a 。将这个结论推广到空间后:棱长为 a 的正四面体内有任意一点,则该点到各面的 2


距离之和为定值。该定值是:

(该作品于 2007 年 12 月 28 日被《考试报》教师版发表)


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