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三角函数向量book9.23.题_图文

如图 32-1,在 Rt△ABC 中,∠A=90° ,已知 BC=a, 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, → 与BC的夹角 θ 取何值时, 问PQ → → CQ → BP· 的值最大?并求出这个最大值.

例5

图 32-1

变式题

[2010· 绵阳二诊] 在直角三角形 ABC 中, AB=4,AC

→ =2,M 是斜边 BC 的中点,则向量 AM 在向量 B→方向上的投影是 C ( ) A. 1 B.-1
C. 3 5 5 D.- 3 5 5

? ?

如图,△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、 b、c,A为圆心,直径PQ=2r,问:当P、Q取什 么位置时,· 有最大值?

? 2π? π? 1 ? ?2x+ ?,f(x)=acos2?x+ ?+b, 变式题 已知函数 g(x)= sin 3? 3? 2 ? ? ? π 1? 且函数 y=f(x)的图象是函数 y=g(x)的图象按向量 a=?- 4,2?平移 ? ? 得到的. (1)求实数 a、b 的值; (2)设 h(x)=g(x)- 3f(x),求 h(x)的最小值及相应的 x.

例 2 (1)按向量 a 把(3, -2)平移到(1,1), 则按向量 a 把点(-4,0) 平移到点( ) A.(-6,1) B.(-8,3) C.(-6,3) D.(-8,-1) + (2)将函数 y=2x+1 的图象按向量 a 平移得到函数 y=2x 1 的图 象,则( ) A.a=(-1,-1) B.a=(1,-1) C.a=(1,1) D.a=(-1,1)

(3)将函数 y=sinωx(ω>0)的图象按向量

? π ? ?- ,0?平移,平移 a= 6 ? ?

后的图象如图 33-1 所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是 ( )

图 33-1
? π? ?x+ ? A.y=sin 6? ? ? π? ?2x+ ? C.y=sin 3? ? ? π? ?x- ? B.y=sin 6? ? π? ? 2x- ? D.y=sin? 3? ?

变式题 [2010· 绵阳二诊] 在△ABC 中,a,b,c 是角 A,B,C 的对边,角 A,B,C 成等差数列,a=8,b=7,则 cosC=________.

例 1 (1)[2010· 广东卷] 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A, C 所对的边, a=1, B, 若 b= 3, A+C=2B, sinA=________. 则 (2)[2010· 全国卷Ⅱ] 在△ABC 中, 为边 BC 上的一点, D BD=33, sinB 5 3 = ,cos∠ADC= ,求 AD 的长. 13 5

x-1 1 例 3 设函数 f(x)= ,试根据函数 y=x的图象. x-2 (1)作出 f(x)的图象,并写出变换过程; (2)f(x)的图象是中心对称图形吗? (3)写出 f(x)的单调区间.

变式题

[2010· 课标全国卷] 在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,

1 BD= DC,∠ADB=120° ,AD=2.若△ADC 的面积为 3- 3,则∠ 2 BAC=________.

例 2 (1)[2010· 天津卷] 在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分 别是 a、b、c,若 a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB,则 A= ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° (2)[2010· 安徽卷] 设△ABC 是锐角三角形,a,b,c 分别是内 ?π ? ?π ? 2 角 A,B,C 所对边长,并且 sin A=sin?3+B?· ?3-B?+sin2B. sin ? ? ? ? ①求角 A 的值; → AC → ②若AB· =12,a=2 7,求 b,c(其中 b<c).

[2010· 浙江卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分 3 2 别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足 S= (a +b2-c2). 4 (1)求角 C 的大小; (2)求 sinA+sinB 的最大值.

变式题

例 4 [2010· 陕西卷] 如图 34-1 所示,A,B 是海面上位于东 西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏西 60° D 点有一艘轮船发出求救信号, 的 位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速 度为 30 海里/小时,该救援船达到 D 点需要多长时间?

图 34-1

例 1 (1)[2011· 汾阳中学月考] 已知方程 x2-(bcosA)x+acosB =0 的两根之积等于两根之和,且 A,B 为△ABC 的两内角,a,b 为角 A,B 的对边,则此三角形为( ) A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 (2)[2010· 辽宁卷] 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. ①求 A 的大小; ②若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. 变式题 如图 34-2,为了计算某湖岸边两景点 B 与 C 的距离, 由于地形的限制,需要在岸上 A 和 D 两个测量点,现测得 AD⊥CD, AD=10 km,AB=14 km,∠BDA=60° ,∠BCD=135° ,求两景点 B 与 C 之间的距离.(假设 A、B、C、D 在同一平面内,测量结果精确 到 0.1 km,参考数据: 2=1.414, 3=1.732, 5=2.236)

变式题

tanA a2 △ABC 中,若 = ,判断△ABC 的形状. tanB b2
[2010· 全国卷Ⅰ] 已知△ABC 的内角 A,B 及其对边 a,

例2

b 满足 a+b=acotA+bcotB,求内角 C 的大小.

例3 4 = . 5

5 [2010· 石家庄二检] 在三角形 ABC 中, cosA= - , cosB 13

(1)求 sinC 的值; (2)若 AB 的长为 11,求△ABC 的面积.
变式题 [2010· 黄冈质检] 已知锐角△ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且(b2+c2-a2)tanA= 3bc. (1)求角 A 的大小; (2)求 sin(A+10° [1- 3tan(A-10° )· )]的值.

(1)[2010· 荆州二检] 在锐角三角形 ABC 中,A=2B, c B、C 的对边长分别是 b、c,则b的取值范围是______. (2)[2010· 福州质检] 在△ABC 中, A, C 的对边分别为 a, 角 B, b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC. ①求角 B 的大小; → → ②若|BA-BC|=2,求△ABC 的面积的最大值.

变式题

例3

[2010· 唐山二模] 在△ABC 中,tan

A+B =2sinC. 2

(1)求 C 的大小; (2)若 AB=1,求△ABC 周长的取值范围.

例 4

? → → ? AC ? → ? AB → → + 已知非零向量AB 与AC 满足 ? · =0,且 BC → | |AC|? → ? ?|AB

→ → AB AC 1 · = ,则△ABC 为( → | |AC| 2 |AB → A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

)

[2010· 南京二模] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 sinA 3cosC 为 a,b,c,且 a = c . (1)求角 C 的大小; → CB → (2)如果 a+b=6,CA· =4,求 c 的值.

变式题

第35讲 │ 要点探究
变式题 [2010· 江苏四星校三联] 如图 35-2, 正方形的休闲草 坪 ABCD 的边长为 1,在草坪上要修建用于散步的三条小路,并使 之构成△APQ,其中 P、Q 分别为 BC、CD 上的点,△CPQ 的周长 为 2. (1)求小路 PQ 长的最小值; (2)求∠PAQ 的大小.

图 35-2

1

3 5 在△ABC 中,已知 sinA= ,cosB= ,求 cosC. 5 13


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