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微积分上练6答

《微积分上》作业 6 微积分上》
一. 学院 专业 单选题(共 3×10 分) 年级班级 姓名 序号

*1.

∫ cos

tan x dx =( A 2 x



1 A. tan 2 x + C 2 *2.

B. ?

1 tan 2 x + C 2 )

C.

1 +C cos x

D. ?

1 +C cos x

dx ∫ 1 + x2 = (

C

A.tgx+c *3.若

B.arcctgx+c
2x

C.arctgx+c

D.arcsinx+c

∫ f ( x)dx = e
2x

+ e ?2 x + c, 则 f (x) = ( C
B. e
2x


D. ( e + e
x ?x 2

A. e *4. ∫

+ e ?2 x
=(
1 2

? e ?2 x

C. 2e

2x

? 2 e ?2 x

)

xdx 1? x2
2

A

)
1 2

A. ? (1 ? x ) + c C. x arcsin x + c
*5.

B. (1 ? x ) + c
2
2 D. ln x + 1 ? x + c



1 1 + 4x 2

dx = ( D

) B. ln 2 x ? 1 + 4 x 2 + C D. A

A. ln 2 x + 1 + 4 x 2 + C C.

1 ln x + 1 + 4 x 2 + C 2 dx = ? arcctgx + c

1 ln 2 x + 1 + 4 x 2 + C 2
) B.

6.以下各题计算结果正确的是( A.

∫1+ x
∫ sin

2



x dx =

1 2 x
2

+c

C.

xdx = cos x + c

D.

∫ tgxdx = sec

x+c

*7.函数 f ( x ) = e 2 x 的原函数是( A. *8. 若

A C. e

)

1 2x e +4 2

B. 2e
2

2x

1 3

2x

+3

D. e

1 3

2x



f ( x ) dx = x

+ c , 则 ∫ xf (1 ? x 2 )dx = (

D

)

A. 2(1 ? x 2 ) + c

B. ? 2(1 ? x 2 ) 2 + c
1

C.

1 (1 ? x 2 ) 2 + c 2

1 D. ? (1 ? x 2 ) 2 + c 2
C ) B. xf ′( x) ? f ′( x) + C D. ? xf ′( x) + f ( x) + C

*9.若 f ′′(x) 连续,则 ∫ xf ′′( x)dx = (
A. xf ′( x) ? ∫ f ( x)dx

C. xf ′( x) ? f ( x) + C
*10.积分 ∫ A. ?

xe x dx = ( C (1 + x) 2
B. ?

) ex +c 1+ x ex +c (1 + x) 2
1 1 d ( xe x ) +∫ 1+ x 1+ x

ex +c 1+ x

ex +c (1 + x) 2

C.

D.

1 xe x x ∫ (1 + x) 2 dx = ?∫ xe d (1 + x )

= ? xe x

= ? xe x
x

1 1 1 1 +∫ (e x + xe x )dx = ? xe x + ∫ e x dx = ? xe x + ex + c 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x

?x ex =e ( + 1) + c = +c 1+ x 1+ x
二﹑计算题(4×10) *1.求



e3

x

x

dx = 2 ∫ e 3 x d (3 x) = 2 e 3
3 3

x

+c

*2.求

∫ 4x

1 1 1 1 1 dx ? = ∫( )dx = ln 2 x ? 1 ? ln 2 x + 1 + c 2 ? 1 2 2x ? 1 2x + 1 4 4

*3. 求

∫ arccos xdx = x arccos x ? ∫ xd arccos x = x arccos x + ∫
= x arccos x ?

x 1? x2

dx

1 1 2 2 ∫ 1 ? x 2 d (1 ? x ) = x arccos x ? 1 ? x + c 2
1 )dx = ln x ? ln x ? 1 ? 1 +c x ?1

*4.求

∫ x( x ? 1)

1

2

dx =

∫ ( x ? x ? 1 + ( x ? 1)

1

1

2

*5.

1 x 1 x x e ?2 x sin dx = ? 1 ∫ sin x de ? 2 x = ? e ?2 x sin + ∫ e ?2 x cos dx ∫ 2 2 4 2 2 2 2
2

=?

x 1 x x 1 x 1 ?2 x 1 1 e sin ? ∫ cos de ? 2 x = ? e ? 2 x sin ? cos e ? 2 x ? 2 2 8 2 2 2 8 2 16

x e ?2 x sin dx ∫ 2

(1 +

1 x 1 x 1 x ) ∫ e ?2 x sin dx = ? e ? 2 x sin ? cos e ? 2 x + C1 16 2 2 2 8 2 x x x 2 e ?2 x sin dx = ? e ?2 x (cos + 4 sin ) + C ∫ 2 17 2 2

*6.求 x 2 cos 2

x dx 2 1 1 1 2 1 + cos x dx = ∫ ( x 2 + x 2 cos x)dx = [ x 3 + ∫ x 2 d (sin x)] 原式= ∫ x ? 2 2 2 3 1 3 1 2 1 1 3 1 2 = x + x sin x ? ∫ 2 x sin xdx = x + x sin x + ∫ xd (cos x) 6 2 2 6 2 1 3 1 2 = x + x sin x + x cos x ? sin x + C 6 2



x2 x2 + x +1 x +1 *7. 求 ∫ 2 dx = ∫ ( 2 ? 2 )dx x + x +1 x + x +1 x + x +1 1 2x + 1 1 1 ∫ x 2 + x + 1dx ? 2 ∫ x 2 + x + 1dx 2 1 1 1 1 =x? ∫ 2 d ( x 2 + x + 1) ? ∫ dx 1 2 3 2 x + x +1 2 (x + ) + 2 4 = ∫ dx ?
=x?

1 1 2 2x + 1 ln x 2 + x + 1 ? ? arctg +C 2 2 3 3 1 1 2x + 1 ln x 2 + x + 1 ? arctg +C 2 3 3

=x?

*8. 求

x 2 e x dx ∫
2

∫x

e x dx = ∫ x 2 de x = x 2 e x ? ∫ e x d ( x 2 ) = x 2 e x ? 2∫ xe x dx
=x =x
2

e x ? 2 ∫ xde x

=x

2

e x ? 2 xe x + 2 ∫ e x dx

2

e x ? 2 xe x + 2e x + c

*9. 求 e sin x sin 2 xdx = e sin x 2 ? sin x ? cos xdx = 2 e sin x sin xd sin x = 2 sin xde sin x = 2 sin x ? e sin x ? 2 e sin x d sin x = 2 sin x ? e
3











sin x

? 2e sin x + C

*10.求

∫x

2

dx 1 1 1 1 1 x+2 ? =- ∫ ( )dx = ? [ln x + 2 ? ln x ? 3 ] + C = ? ln +C 5 5 x ?3 ? x?6 5 x+2 x?3

三﹑综合题(10×3)
1. 设 y = y (x ) 是由方程 y 2 ( x ? y ) = x 2 所确定的隐函数,试求

∫y

dx
2

解:

y2 y 1 (1 ? ) = 2 x x x



y 1 1 = t 代入方程得 t 2 (1 ? t ) = ,即 x = 2 x x t (1 ? t ) dx = dx
2

3t ? 2 1 dt , y = 2 t (1 ? t ) t (1 ? t )
2

∫y

= ∫ t 2 (1 ? t ) 2
=

3t ? 2 2 dt = ∫ (3 ? )dt = 3t ? 2 ln t + C 2 t t (1 ? t )
2

3y y ? 2 ln + C x x

2. 设

f (sin 2 x ) =

x x f ( x)dx , 求∫ sin x 1? x
x = arcsin t x 1? x ? arcsin x x f (t ) = arcsin t t

sin 2 x = t

sin x = t



x 1? x

f ( x)dx = ∫

dx = ? 2 ∫ arcsin x d 1 ? x
1 2 x dx 1? x

= ? 2 1 ? x arcsin x + 2 ∫ 1 ? x

= ? 2 1 ? x arcsin x + 2 x + c

3.设 f(x)在区间[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 证明在 (a,b) 内至少存在一点 ξ , 使

证:令 F ( x) = xf ( x)

bf (b) ? af ( a ) = f (ξ ) + ξf ' (ξ ) b?a
F (x) 在 [a, b] 上连续,在(a,b)上可导

4

∴ 存在ξ ∈ a, b) (


使得

bf (b) ? af ( a ) = f (ξ ) + ξf ′(ξ ) b?a

F (b) ? F (a ) = F ′(ξ ) b?a

补充题:
1. 设需求量 Q 对价格 p 的函数为 Q A. ?

= e

?

p 4

,则需求弹性为 η ( p ) =( C.

C



1 p 4

B. 4 p

1 p 4

D. ? 4 p

2.设

f ( x) ? ? ln ?1 + sin 2 x ? ? = 5 ,则 lim f ( x) = lim ? x x →0 x →0 x 2 3 ?1 1 3 1 2 x ? x ? x ,的极大值点为( 9 3
A



3.函数 y =

).

A.x=-1 B.x=1 C.x=3 D.x=-3 Page 200: 习题 3-7, 1(1) ,2(1) (5) (3) (3) Page 253: 习题 4-2, 2 (1)到(31)单数题 Page 258: 习题 4-3, (1)到(22)全部

5


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