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高中数学知识总结

高中数学知识点梳理

作者:短发眼镜控(bilibili)

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第一章集合与命题
一、集合的概念 1.集合的概念:把能够确切指定的一些对象看作一个整体,这个整体就叫做集合,简称集.集合中的各个对 象叫做这个集合的元素.任何一个对象 a 对于某一集合 A 来说,或是属于该集合(即 a ? A ) ,或是不属于该集合 (即 a ? A ) . 2.集合的表示法:常用的有列举法和描述法. 列举法是把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法. 描述法是在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式,再划一条竖线,在竖线后面写上集合中元素所共同 具有的特性,即 A ? ?x x 满足的性质 p? . 3.数集的记号:通常把自然数记作 N ,不含有零的自然数集记作 N? ,整数集记作 Z ,有理数记作 Q ,实数 集记作 R ,复数集记作 C . 4.空集:不含任何元素的集合叫做空集,记作 ? . 5.集合间的关系: (1)子集:对于两个集合 A 与 B ,如果集合 A 中任何一个元素都属于集合 B ,那么集合 A 叫做集合 B 的子 集,记作 A ? B 或 B ? A ,读作“ A 包含于 B ”或“ B 包含 A ”.空集是任何集合的子集. (2) 两个集合相等: 对于两个集合 A 与 B , 如果 A ? B 且 B ? A , 那么叫做集合 A 与集合 B 相等, 记作 A ? B , 读作“集合 A 等于集合 B ”. (3)真子集:对于两个集合 A 、 B ,如果 A ? B ,并且 B 中至少有一个元素不属于 A ,那么集合 A 叫做集 合 B 的真子集,记作 A ? B 或 B ? A ,读作“ A 真包含于 B ”或“ B 真包含 A ”. (4)交集:由集合 A 和集合 B 的所有公共元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集,记作 A ? B ,读作“ A 交 B ”, 即 A ? B ? ?x x ? A 且 x ? B? . (5)并集:由所有属于集合 A 或者属于集合 B 的元素组成的集合叫做集合 A 、 B 的并集,记作 A ? B ,读作 “ A 并 B ”,即 A ? B ? ?x x ? A 或 x ? B? . (6)全集:在研究集合与集合之间的关系时,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫做全 集,常用符号 U 表示. (7)补集:设 U 为全集, A 是 U 的子集,则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫做集合 A 在全集 U 中 的补集,记作 ?U A ,读作“ A 补”,即 ? U A ? ?x x ?U 且 x ? A? . 二、命题与条件 1.四种命题:如果用 ? 、 ? 分别表示原命题的条件和结论,用 ? 、 ? 分别表示 ? 、 ? 的否定,那么四种命 题的形式就是:

原命题:“如果 ? ,那么 ? ”. 否命题:“如果 ? ,那么 ? ”.

逆命题:“如果 ? ,那么 ? ”. 逆否命题:“如果 ? ,那么 ? ”.

2. 推出关系: 如果 ? 这件事成立可以推出 ? 这件事也成立, 那么就说 ? 可以推出 ? , 并用记号 ? ? ? 表示, 读作“ ? 推出 ? ”. 3.等价命题:如果 A 、 B 是两个命题, A ? B , B ? A ,那么 A 、 B 叫做等价命题. 4.充分条件、必要条件、充要条件:用 ? 、 ? 分别表示两件事,如果 ? 这件事成立,可以推出 ? 这件事也 成立,即 ? ? ? ,那么 ? 叫做 ? 的充分条件.如果 ? ? ? ,那么 ? 叫做 ? 的必要条件.如果既有 ? ? ? ,又有

? ? ? ,则 ? 叫做 ? 的充要条件.
第二章不等式
一、不等式的概念和性质 1.不等式的基本原理: (1) a ? b 的充分必要条件是 a ? b ? 0 . (2) a ? b 的充分必要条件是 a ? b ? 0 . (3) a ? b 的充分必要条件是 a ? b ? 0 . 2.不等式的基本性质: (1)传递性:如果 a ? b , b ? c ,那么 a ? c . (2)加法性质:如果 a ? b ,那么 a ? c ? b ? c . (3)乘法性质:如果 a ? b , c ? 0 ,那么 ac ? bc .如果 a ? b , c ? 0 ,那么 ac ? bc . (4)如果 a ? b , c ? d ,那么 a ? c ? b ? d . (5)如果 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,那么 ac ? bd .

1 1 ? . a b (7)如果 a ? b ? 0 ,那么 a n ? b n ,其中 n ? N? .
(6)如果 a ? b ? 0 ,那么 0 ? (8)如果 a ? b ? 0 ,那么 n a ? n b ,其中 n ? N? , n ? 1 . 二、不等式的证明 1.证明不等式的常用方法

?a ? ?1 ? a ? b ,通过计算不等式两边的差或商,进行比较. (1)比较法:依据 a ? b ? 0 ? a ? b 或依据 ? b ? ?b ? 0
(2)综合法:由已知条件出发,利用各种已知的命题和运算性质作为依据,推导出要求证明的结论. (3)分析法:从要求证的结论出发,经过适当的变形,分析出这个结论成立的条件,把证明结论转化为判定 这些条件是否成立的问题.如果能够判定这些条件成立,那么就可以判定原结论成立.
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(4)公式法:以基本不等式为基础,并利用不等式的性质进行证明的方法. (5)反证法:是一种间接证明的方法. 2.基本不等式: (1)对任意实数 a 和 b ,有 a2 ? b2 ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立. (2)对任意正数 a 和 b ,有 (3)基本不等式应用: 对于两个正数 a 和 b ,当积 ab 为定值时,和 a ? b 在 a ? b 时有最小值 2 ab ;

? f ( x) ? 0 ? ; f ( x) ? g ( x) 转化为 ? g ( x) ? 0 ? 2 ? f ( x) ? [ g ( x)] ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? 或 ? g ( x) ? 0 . f ( x) ? g ( x) 转化为 ? ? g ( x) ? 0 ? 2 ? f ( x) ? [ g ( x)]
6.解高次不等式利用标根法. 7 .指数不等式的解法:指数不等式 a f ( x ) ? a? ( x ) (a ? 1) 的解集即不等式 f ( x) ? ? ( x) 的解集;指数不等式

a?b ? ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立. 2

?a?b? 对于两个正数 a 和 b ,当和 a ? b 为定值时,积 ab 在 a ? b 时有最大值 ? ? . ? 2 ?
三、解不等式 1.一元二次不等式的解集: 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的 判别式

2

a f ( x ) ? a? ( x ) (0 ? a ? 1)的解集即不等式 f ( x) ? ? ( x) 的解集.
8.对数不等式的解法:对数不等式 loga f ( x) ? log a ? ( x) (a ? 1) 的解集,即不等式组

ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0 )
的解集

ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0 )
的解集

?? ( x) ? 0 的解集.对数不等式 loga f ( x) ? log a ? ( x) (0 ? a ? 1) 的解集,即不等式组 ? ? f ( x) ? ? ( x) ? f ( x) ? 0 的解集. ? ? f ( x) ? ? ( x)

? ? b2 ? 4ac ? 0

R
(??, ? b b ) ? (? , ??) 2a 2a

?

? ? b2 ? 4ac ? 0 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ,

?

第三章函数
一、函数概念 1.函数概念:在某个变化过程中有两个变量 x、y ,如果对于 x 在某个实数集合 D 内的每一个确定的值,按照 某个对应法则 f , y 都有唯一确定的实数值与它对应,那么 y 就是 x 的函数,记作 y ? f ( x) , x ? D .其中 x 叫做

x1 , x2 是方程的两个根,
且 x1 ? x 2

(??, x1 ) ? ( x2 , ??)

( x1 , x2 )

自变量, x 的取值范围 D 叫做函数的定义域;和 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值 域. 2.函数三要素:函数的定义域、对应法则、值域是构成函数的三个要素,缺一不可,当两个函数的定义域、 和对应法则分别相同时,那么这两个函数是同一函数.当两个函数的定义域、对应法则或值域有一个不相同时, 则能判定这两个函数不同. 3.函数的表示方法:一般地,函数有解析法、列表法和图象法三种表示方法. 4.函数的图象:函数的图象是“有序实数对”集 {( x , y) y ? f ( x) , x ? D} 在直角坐标系内对应的点集(图形) , 其中 x 为自变量, D 为定义域, y 为 x 的函数值,且自变量在横轴上取值,函数值在纵轴上取值.函数的图像有 以下的特征,经过函数定义域中任何一个点 x 作垂直于 x 轴的直线,它与函数的图像恰好有一个交点. 5.函数的运算:已知两个函数 f ( x) ( x ? D1 ) , g ( x) ( x ? D2 ) ,设 D ? D1 ? D2 ,并且 D 不是空集,那么当 x ? D 时 f ( x)与g ( x) 都有意义, 于是把函数 f ( x) ? g ( x) ( x ? D) 叫做函数 f ( x) 与 g ( x) 的和, 把函数 f ( x) ? g ( x) ( x ? D) 叫 做函数 f ( x)与g ( x) 的积. 二、求函数解析式
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2.理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间的关系. 3.解分式不等式转化为解整式不等式:

f ( x) f ( x) ? 0 转化为 f ( x) g ( x) ? 0 ; ? 0 转化为 f ( x) g ( x) ? 0 ; g ( x) g ( x)

? f ( x) g ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) f ( x) ? 0 转化为 ? ? 0 转化为 ? ; . g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0
4.解绝对值不等式,利用绝对值的意义进行转化:

f ( x) ? a 转化为 ?a ? f ( x) ? a ; f ( x) ? a 转化为 f ( x) ? a 或 f ( x) ? ?a ; f ( x) ? a 转化为 ?a ? f ( x) ? a ; f ( x) ? a 转化为 f ( x) ? a 或 f ( x) ? ?a .
5.解无理不等式,利用不等式的性质转化为有理不等式组:

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1.已知所要求的函数类型,如一次函数、二次函数等,那么利用待定系数法来求这个函数的解析式. 2.已知复合函数 f ( g ( x)) 求函数 f ( x) 的解析式,一般采用变量代换的方法. 3.涉及到实际问题求函数解析式时,就是要将实际问题转换为数学问题,即要建立数学模型. 三、函数的奇偶性 1.函数奇偶性定义:如果对于函数 y ? f ( x) 的定义域 D 内的任意实数 a ,都有 f (?a) ?

的最小正周期. 六、函数图象、图象变换和函数零点 1.画函数图象主要有描点法、叠加法和图象变换三种方法,用描点法时也常要结合函数的基本性质. 2.函数图象变换有平移变换、对称变换和伸缩变换三种基本形式,重点是平移变换和对称变换. (1)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 a 个单位,得到 y ? f ( x ? a) 的图象,向右平移 a 个单位,得到函数

f (a ) ,那么函数 y ? f ( x) 叫做偶函数.
如果对于函数 y ? f ( x) 的定义域 D 内的任意实数 a ,都有 f (?a) ? ? f (a) ,那么函数

y ? f ( x ? a) 的图象.
(2)将函数 y ? f ( x) 的图象向上平移 a 个单位,得到 y ? a ? f ( x) 的图象,向下平移 a 个单位,得到函数

y ? f ( x) 叫做奇函数.
2.函数 y ? f ( x) 的定义域 D 关于原点对称是 y ? f ( x) 为偶(奇)函数的必要条件. 3.函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴轴对称的充要条件是 y ? f ( x) 为偶函数.函数 y ? f ( x) 的图像关于原点中心 对称的充要条件是 y ? f ( x) 为奇函数. 四、函数的单调性 1. 函数单调性概念: 对于给定区间上的函数 y ? f ( x) , 如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值 x1 ,x 2 , 当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ) ,那么就说 y ? f ( x) 在这个区间上是增函数(或减函数) . 2.单调区间:如果函数 y ? f ( x) 在某个区间 I 上是增(减)函数,那么就说函数 y ? f ( x) 在这个区间 I 上是 单调函数,区间 I 叫做函数 y ? f ( x) 的单调区间. 五、反函数与函数的周期性 1.反函数概念:对于函数 y ? f ( x) ,定义域是 D ,值域是 A .如果对 A 中任意一个值,在 D 中总有惟一确定 的 x 值与它对应,使得 y ? f ( x) ,这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f ?1 ( y) 。习惯上 自变量用 x 表示,而函数用 y 表示,所以表示为

y ? a ? f ( x) 的图象.
(3)函数 y ? f (? x) 与函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称; 函数 y ? ? f ( x) 与函数 y ? f ( x) 的图象关于 x 轴对称; 函数 y ? ? f (? x) 与函数 y ? f ( x) 的图象关于原点对称; 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ? x 对称. (4) 将函数 y ? f ( x) 的在 x 轴下方的图象对称到 x 轴的上方, 去掉原 x 轴下方的图象, 保留 x 轴上方的图象, 此时就是函数 y ? f ( x) 的图象. 将函数 y ? f ( x) 的在 y 轴右边的图象对称到 y 轴的左边,去掉原 y 轴左边的图象,保留 y 轴右边的图象,此 时就是函数 y ? f (| x |) 的图象. 3.函数零点概念:对于函数 f ( x) ( x ? D) ,如果存在实数 c (c ? D) ,当 x ? c 时, f (c) ? 0 ,那么就把 x ? c 叫 做函数 f ( x) ( x ? D) 的零点. 七、函数的最大、最小值与值域 1.函数的最大、最小值概念:设函数 y ? f ( x) 在 x 0 处的函数值是 f ( x0 ) ,如果对于定义域内任意 x ,不等式

y ? f ?1 ( x) ( x ? A) .
如果函数 y ? f ( x) 有反函数 y ? f ?1 ( x) ,那么函数 y ? f ?1 ( x) 的反函数就是 y ? f ( x) ,即函数 y ? f ( x) 与

f ( x) ? f ( x0 ) 都成立,那么 f ( x0 ) 叫做函数 y ? f ( x) 的最小值,记作 ymin ? f ( x0 ) ;如果对于定义域内任意 x ,不等式 f ( x) ? f ( x0 ) 都成立,那么 f ( x0 ) 叫做函数 y ? f ( x) 的最大值,记作 ymax ? f ( x0 ) .
2.求函数的最大、最小值与值域的几种基本方法: (1) 研究函数的单调性等性质: 定义在区间 ? a , b ? 上的函数 f ( x) , 如果函数 f ( x) 在 ? a , b ? 上是增 (减) 函数, 那么这个函数的最大(小)值是 f (b) ,最小(大)值是 f (a ) . (2)利用基本不等式 a ? b ? 2 ab (a ? 0 , b ? 0) . (3)利用基本函数的性质,如一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等的性质. (4)通过变量代换的数学思想方法,将函数转化为基本函数.

y ? f ?1 ( x) 互为反函数.
2.反函数性质:函数 y ? f ( x) 的定义域是它的反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域,函数 y ? f ( x) 的值域是它的反函数

y ? f ?1 ( x) 的定义域;
互为反函数的两个函数的图像关于直线 y ? x 对称;互为反函数的两个函数具有相同的增减性. 3.周期函数概念:对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得对于定义域内任意一个值 x ,都有等式

f ( x ? T ) ? f ( x) 成立,那么这个函数 f ( x) 就叫做周期函数,常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期.
如果常数 T 是函数 f ( x) 的周期,那么 kT (k ? N? ) 也是函数 f ( x) 的周期; 对于一个周期函数来说, 如果在所有的周期中存在一个最小的正周期, 那么这个最小的正周期就叫做这个函数
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(5)利用函数与方程的关系来求函数的最大、最小值与值域. 八、一次函数和二次函数 1.一次函数 f ( x) ? kx ? b (k ? 0) :当 k ? 0 时,在 (?? , ? ?) 上是增函数;当 k ? 0 时,在

时,图象一定经过点(1,1) ,在 (0 , ? ?) 上是减函数. 3.指数函数的定义:函数 y ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )叫做指数函数,其中 x 是自变量,定义域为 R . 4.指数函数 y ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )的性质: (1)定义域为 R . (2)值域为 (0 , ? ?) . (3)图像都在 x 轴的上方.

(?? , ? ?) 上是减函数.
2.二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) :当 b ? 0 时, f ( x) 是偶函数;当 b ? 0 时, f ( x) 是非奇非偶函数.

? b 4ac ? b2 ? b ? 4ac ? b 2 b ? 配方得 f ( x) ? a ? x ? ,图象的顶点是 ? ? , ? ,图象的对称轴是直线 x ? ? . ? ? 2a ? 4a 4a ? 2a ? ? 2a
当 a ? 0 时,图象的开口向上,函数 f ( x) 的最小值是 函数; 当 a ? 0 时,图象的开口向下,函数 f ( x) 的最大值是 函数. 九、函数的 f ( x) ? ax ?

2

(4)指数函数 y ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )的图像过点(0,1) . (5)当 a ? 1 时,指数函数 y ? a x 在 ?? ?,?? ? 上是增函数;当 0 ? a ? 1 时,指数函数 y ? a x 在 (?? , ? ?) 上是减 函数.

4ac ? b 2 b ? ? ? b ? , ? ? ? 是增 ,在 ? ?? , ? ? 是减函数,在 ? ? 4a 2 a 2 a ? ? ? ?

?1? (6)指数函数 y ? a 与指数函数 y ? ? ? 的图象关于 y 轴对称. ?a?
x

x

4ac ? b 2 b ? ? ? b ? , ? ? ? 是减 ,在 ? ?? , ? 是增函数,在 ? ? ? 4a 2a ? ? ? 2a ?

十一、对数 1.对数概念:如果 a ( a ? 0 且 a ? 1 )的 b 次幂等于 N ,就是 a b ? N ,那么实数 b 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 log a N ? b ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数. (1)对数式与指数式的互化公式: ab ? N (a ? 0 , a ? 1) ? b ? loga N (a ? 0 , a ? 1) . (2)对数性质: loga 1 ? 0 , log a a ? 1 ,在对数式中真数 N 永远大于零. (3)常用对数:常用对数 log10 N 简记为 lg N .

b x b 1.函数 f ( x) ? ax ? (a ? 0 , b ? 0) 的性质: x
(1)定义域为 (?? , 0) ? (0 , ? ?) . (3)单调性:在 ? ?? , ? (2)奇偶性:奇函数.

? ? ?

? b ? ? b ? ? b? b? 上是增函数,在 ? ? 上是减函数,在 ? 0 , 上是减函数,在 ? , ? ? , 0 ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a? a? ? ? ? ? ? ? ?

(4)自然对数:自然对数 log e N 简记为 ln N .

(5) a loga b ? b .

上是增函数. (4)值域: (?? , ? 2 ab ] ? [2 ab , ? ?) . (5)最值:无最大值与最小值. 2.函数 f ( x) ? ax ? (6)周期:无.

2.对数运算性质:如果 a ? 0 , a ? 1, b ? 0 , b ? 1, M ? 0 , N ? 0 ,那么有 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N .

?M ? (2) log a ? ? ? log a M ? log a N . ?N?
(4) logb N ?

b (a ? 0 , b ? 0) 的性质: x
(2)奇偶性:奇函数.

(3) loga M n ? n loga M .

(1)定义域为 (?? , 0) ? (0 , ? ?) .

log a N . log a b

(3)单调性:在 (?? , 0) 上是增函数,在 (0 , ? ?) 上是增函数. (4)值域: R . (6)周期:无. 十、幂函数与指数函数 1.幂函数的定义:函数 y ? x? ( ? 为常数, ? ? Q )叫做幂函数. 2.幂函数 y ? x? 的性质:当 ? ? 0 时,图象一定经过点(0,0)和(1,1) ,在 (0 , ? ?) 上是增函数;当 ? ? 0 (5)最值:无最大值与最小值.

(5) log a b ? 十二、对数函数

1 m . (6) log a b ? logb c ? log a c . (7) logan bm ? loga b . log b a n

1.对数函数的定义: 函数 y ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )叫做对数函数. 对数函数 y ? loga x( a ? 0 且 a ? 1 ) 与指数函数 y ? a x( a ? 0 且 a ? 1 ) 互为反函数, 他们的图象关于直线 y ? x

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对称. 2.对数函数 y ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )的性质: (1)定义域为 (0 , ? ?) ,对数函数 y ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图像都在 y 轴的右方. (2)值域为 R . (3)对数函数 y ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图像过点(1,0) . (4)当 a ? 1 时,对数函数 y ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )在 (0 , ? ?) 上是增函数. 当 0 ? a ? 1 时,对数函数 y ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )在 (0 , ? ?) 上是减函数. (5)对数函数 y ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )与对数函数 y ? log 1 x 的图象关于 x 轴对称.
a

3 .弧度制和角度制的换算关系是: 1? ?

? 180 ? 弧度 ? 0.017453 弧度, 1 弧度 ? ? ? ? ? 57.3? . 180 ? ? ?

?

4 .设扇形的圆心角为 ? ? 0 ? ? ? 2? ? ,半径为 r ,弧长为 l ,面积为 S ,则有 l ? ? r ,
1 1 S ? ? r 2 ? lr . 2 2
5 .在直角坐标系 xOy 中,把角 ? 的顶点置于坐标原点,角 ? 的始边与 x 轴的正半轴重合,此时角 ? 的终边在

第几象限,就称角 ? 为第几象限角.当角 ? 的终边在坐标轴上时,角 ? 不属于任何象限.
6 .在直角坐标系 xOy 中,把角 ? 的顶点置于坐标原点,角 ? 的始边与 x 轴的正半轴重合,在角 ? 的终边上任

y ) ,又设线段 OP 的长度为 OP ? r ? x 2 ? y 2 ,我们规定角 ? 的六 取不同于原点的一点 P ,设点 P 的坐标是 ( x,
个三角比是: ( 1 )角 ? 的正弦: sin ? ? ( 3 )角 ? 的正切: tan ? ? ( 4 )角 ? 的余切: cot ? ? ( 5 )角 ? 的正割: sec ? ? ( 6 )角 ? 的余割: csc ? ?

十三、指数、对数方程与不等式 1.指数方程、对数方程概念:指数里含有未知数的方程叫做指数方程;在对数符号后面含有未知数的方程叫 做对数方程. 2.解指数、对数方程与不等式的主要方法是利用等式或不等式的等价变形. 十四、函数综合问题 1.利用函数知识可以求一些代数式的取值范围,即把求代数式的取值范围问题转化为求函数的值域问题;利 用函数知识也可以解决解析几何中如距离的最值等问题. 2.函数、方程和不等式之间的关系是很密切的,如二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系, 利用他们之间的关系和函数的知识解决一些与方程、不等式有关的问题. 3.解函数型应用题的几个步骤: (1)由于应用题涉及许多实际的内容,有时还有许多数据、表格和图形等资料,因此题目的字数往往很多, 信息量大,所以对阅读的要求高,阅读题目要达到的基本要求是:理解题目所表达的实际意义,能理解题目中所 给出的有效的量之间的关系. (2)把实际问题抽象为数学问题,把实际问题中所给出的有效的量建立成函数关系,即实际问题转化为数学 问题. (3)根据(2)得到的函数关系,再结合题目具体要求,讨论研究这个函数的性质,得到这个函数的最值等 性质. (4)根据(3)得到的结论,再结合题目的要求,进行检验分析,从而得到符合题意的正确的结论.

y ? ? ? R? . r

( 2 )角 ? 的余弦: cos? ?

x ? ? ? R? . r

y? ? ? k ?Z? . ? ? ? R且? ? k? ? , x? 2 ?

x ?? ? R且? ? k? ,k ? Z ? . y
r? ? ? k ?Z? . ? ? ? R且? ? k? ? , x? 2 ?

r ?? ? R且? ? k? ,k ? Z ? . y

7 .当 ? 为第一象限角时,? 的所有三角比的值都是正的;当 ? 为第二象限角时,只有 sin ? 和 csc? 的值为正

的; 当 ? 为第三象限角时, 只有 tan? 和 cot ? 的值为正的; 当 ? 为第四象限角时, 只有 cos? 和 sec? 的值为正的. 二、同角三角比的关系和诱导公式

1 .同角三角比的关系:
( 1 )倒数关系: sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 . ( 2 )商数关系: tan ? ?

sin ? cos? , cot ? ? . cos? sin ?

( 3 )平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 1 ? tan 2 ? ? sec2 ? , 1 ? cot 2 ? ? csc2 ? .

2 .诱导公式:

第四章三角比
一、任意角的三角比

( 1 ) sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? ,

1 .一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角,其度量值是正的;按顺时针方向旋转所形成的角为
负角,其度量值是负的.当一条射线没有旋转时,我们也认为形成了一个角,这个角叫做零角,它的大小是 0? .

tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? , cot ? 2k? ? ? ? ? cot ? ,其中 k ? Z .
( 2 ) sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? ,

2 .在圆中,把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.

tan ? ?? ? ? ? tan ? , cot ? ?? ? ? ? cot ? ,其中 k ? Z .
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( 3 ) sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? ,

( 3 ) tan 2? ?

2tan ? . 1 ? tan 2 ?
b a ?b
2 2

tan ?? ? ? ? ? ? tan ? , cot ?? ? ? ? ? ? cot ? ,其中 k ? Z .
( 4 ) sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? ,

3 . a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? ,其中 sin ? ?

, cos ? ?

a a ? b2
2



4 .万能置换公式:
( 1 ) sin ? ?

tan ?? ? ? ? ? tan ? , cot ?? ? ? ? ? cot ? ,其中 k ? Z .
?? ? ?? ? ( 5 ) sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? , 2 2 ? ? ? ? ?? ? ?? ? tan ? ? ? ? ? cot ? , cot ? ? ? ? ? tan ? ,其中 k ? Z . ?2 ? ?2 ? ?? ? ?? ? ( 6 ) sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? , ?2 ? ?2 ? ?? ? ?? ? tan ? ? ? ? ? ? cot ? , cot ? ? ? ? ? ? tan ? ,其中 k ? Z . 2 2 ? ? ? ? ? 3? ? ? 3? ? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? , ( 7 ) sin ? ? 2 ? ? 2 ? ? 3? ? ? 3? ? tan ? ? ? ? ? cot ? , cot ? ? ? ? ? tan ? ,其中 k ? Z . ? 2 ? ? 2 ? ? 3? ? ? 3? ? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? , ( 8 ) sin ? ? 2 ? ? 2 ? ? 3? ? ? 3? ? tan ? ? ? ? ? ? cot ? , cot ? ? ? ? ? ? tan ? ,其中 k ? Z . 2 2 ? ? ? ?
三、三角公式

2 tan 1 ? tan

?
2?

2 . 2

( 2 ) cos ? ?

1 ? tan 2 1 ? tan
2

? ?
2 . ( 3 ) tan ? ? 2

2 tan 1 ? tan

?
2
2

?
2



5 .半角的正弦、余弦和正切公式:

( 1 ) sin

?
2

??

1 ? cos ? ? ,其中根号前的符号由 sin 的符号来确定. 2 2 1 ? cos ? ? ,其中根号前的符号由 cos 的符号来确定. 2 2 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? ? ,其中根号前的符号由 tan 的符号来确定. 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ? 2

( 2 ) cos

?
2

??

( 3 ) tan

?
2

??

6. (理)三角比的积化和差公式:

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? ?. 2? 1 ( 2 ) cos? sin ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? ?. 2? 1 ( 3 ) cos? cos ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ?? ?. 2? 1 ( 4 ) sin ? sin ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ?? ?. 2?
( 1 ) sin ? cos ? ?
7. (理)三角比的和差化积公式:

( 1 ) sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2 2

cos

? ??
2 2

. .

( 2 ) sin ? ? sin ? ? 2cos

? ??
2 2

sin

? ??
2 2

. .

1 .两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
( 1 ) sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? . ( 2 ) sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? . ( 3 ) cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? . ( 4 ) cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? . ( 5 ) tan ?? ? ? ? ?

( 3 ) cos? ? cos ? ? 2cos 四、解斜三角形

? ??

cos

? ??

( 4 ) cos? ? cos ? ? ?2sin

? ??

sin

? ??

1 .正弦定理:在 ?ABC 中,

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

( 6 ) tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

a b c . ? ? sin A sin B sin C 2 .余弦定理:在 ?ABC 中, a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A , b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ,
b2 ? c2 ? a 2 c2 ? a 2 ? b2 , cos B ? , 2bc 2ca

c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
余弦定理也可以写成下面的形式: cos A ?

2 .二倍角的正弦、余弦和正切公式:
( 1 ) sin 2? ? 2sin ? cos ? . ( 2 ) cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? .

cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 . 2ab

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3 .三角形面积公式: S?ABC ? bc sin A ? ca sin B ? ab sin C .

1 2 a b c ? ? ? 2R ,其中 R 为 ?ABC 外接圆的半径. 4 .扩充的正弦定理:在 ?ABC 中, sin A sin B sin C

1 2

1 2

第五章三角函数
一、三角函数的图像和性质 ( 2 )余弦函数 y ? cos x ? x ? R ? 的图像如图所示.

1? .当且仅当 x ? 2k? ? 1 .正弦函数 y ? sin x 的定义域为 R ,值域为 ? ?1,
当且仅当 x ? 2k? ?

?
2

? k ? Z? 时,正弦函数取最大值 1 ;

?
2

? k ? Z? 时,正弦函数取最小值 ?1.
( 3 )正切函数

1? .当且仅当 x ? 2k? ? k ? Z? 时,余弦函数取最大值 1 ;当 2 .余弦函数 y ? cos x 的定义域为 R ,值域为 ? ?1,
且仅当 x ? 2k? ? ? ? k ? Z? 时,余弦函数取最小值 ?1.

? ? ? y ? tan x ? x ? R 且 x ? k? ? , k ? Z ? 的图像如图所示. 2 ? ?

? ?? ? 3 .正切函数 y ? tan x 的定义域为 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? ,值域为 R .正切函数没有最大值和最小值. 2 2? ?

? ?? ? 2 k? ? ? ? k ? Z ? 上 是 增 函 数 , 在 区 间 ? R ? 是 奇 函 数 ; 它 在 区 间 ? 2k? ? , 4 . 正 弦 函 数 y ? s i nx? x
? 2 2?

? 3? ? ? 2k? ? ? 2k? ? , ? ? k ? Z ? 上是减函数;它是周期函数,它的最小正周期为 2? . 2 2 ? ?
5 . 余 弦 函 数 y ? cos x ? x ? R ? 是 偶 函 数 ; 它 在 区 间 ? 2k? ? ? , 2k? ?? k ? Z? 上 是 增 函 数 , 在 区 间 9 .我们可以用“五点法”作出函数 y ? Asin ?? x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 以及函数

2k? ? ? ?? k ? Z? 上是减函数;它是周期函数,它的最小正周期为 2? ? 2k? ,



y ? A cos ?? x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 的图像的草图.
10 .把函数 y ? sin x 的图像向左(当 ? ? 0 )或向右(当 ? ? 0 )平移 ? 个单位,可得函数

? ? ?? ? ? ? 6 .正切函数 y ? tan x ? x ? R, x ? k? ? , k ? Z ? 是奇函数;它在区间 ? k? ? , k? ? ? 2 2 2? ? ? ?

y ? sin ? x ? ? ? 的图像;再把函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图像上所有的点的横坐标变为原来的

1

? k ? Z ? 上是增函数;它是周期函数,它的最小正周期为 ? .
7 .函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 的最小正周期为 T ?

?

,可得函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图像;最后把函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图像上所有点的纵坐 ?? ? 0? 倍(纵坐标不变)

2?

?



标变为原来的 A ? A ? 0 ? 倍(横坐标不变) ,即得函数 y ? Asin ?? x ? ? ?

函数 f ? x ? ? A cos ?? x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 的最小正周期为 T ?

2?

?



? ? 0? 的图像. ? A ? 0,

? ? 0? 的性质: 11 .函数 y ? Asin ?? x ? ? ?? A ? 0,
( 1 )函数的定义域为 R . ( 2 )函数的值域为 ?? A, A? . ( 3 )函数的单调递增区间为不等式 2k? ?

函数 f ? x ? ? A tan ?? x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 的最小正周期为 T ?
8 .正弦、余弦、正切函数的图像:

? . ?

?
2

? ? x ? ? ? 2k? ?

?
2

,单调递减区间 ? k ? Z? 的解集(用区间表示)

( 1 )正弦函数 y ? sin x ? x ? R ? 的图像如图所示.

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为不等式 2k? ?

?
2

? ? x ? ? ? 2k? ?

3? . ? k ? Z? 的解集(用区间表示) 2

反正切函数 y ? arctan x ? x ? R ? 的图像如图所示. 三、最简三角方程

( 4 )函数可能为奇函数,可能为偶函数,也有可能为非奇非偶函数. ( 5 )函数的最小正周期为 T ?

2?

?



1 .方程 sin x ? a 的解集:
1 ? ,相位和初相分别为 ? x ? ? 和 ? . ? T 2?
? ? ? ( 1 )当 a ? 1 时,方程 sin x ? 1 的解集为 ? x x ? 2k? ? , k ? Z? . 2 ? ? ? ? ? ( 2 )当 a ? ?1 时,方程 sin x ? ?1 的解集为 ? x x ? 2k? ? , k ? Z? . 2 ? ?
, k? Z ,该方程的解集也可表示为 ( 3 )当 a ? 1 时,方程 sin x ? a 的解集为 x x ? k? ? ? ?1? k ?arcsina
k ? Z? . ?x x ? 2 k? ? arcsina或 x ? 2k? ? ? ? arcsin a,
( 4 )当 a ? 1 时,方程 sin x ? a 的解集为 ? .

? ? 0? 的振幅为 A ,频率为 f ? 12 .函数 y ? Asin ?? x ? ? ?? A ? 0,
二、反三角函数

1 .函数 y ? sin x ? ?

?? ? ? ? x ? ? 的反函数叫做反正弦函数,记作 y ? arcsin x ? ?1 ? x ? 1? . 2? ? 2

? ? ?? 反正弦函数的值域为 ? ? , ? ;它是奇函数;它在定义域 ? ?1, 1? 上单调递增. ? 2 2? ? ? ?? 当 x ?? ?1, 1? 时, sin ? arcsin x ? ? x ;当 x ? ? ? , ? 时, arcsin ? sin x ? ? x . ? 2 2?
反正弦函数 y ? arcsin x ? ?1 ? x ? 1? 的图像如图所示.

?

?

2 .方程 cos x ? a 的解集:
( 1 )当 a ? 1 时,方程 cos x ? 1 的解集为 ?x x ? 2k? , k ? Z? . ( 2 )当 a ? ?1 时,方程 cos x ? ?1 的解集为 ?x x ? 2k? ? ? , k ? Z? . ( 3 )当 a ? 1 时,方程 cos x ? a 的解集为 ?x x ? 2k? ? arccos a, k ? Z? . ( 4 )当 a ? 1 时,方程 cos x ? a 的解集为 ? .
3 .方程 tan x ? a 的解集为 ?x x ? k? ? arctan a, k ? Z? .

2 .函数 y ? cos x ? 0 ? x ? ? ? 的反函数叫做反余弦函数,记作
y ? arccos x ? ?1 ? x ? 1? .
反余弦函数的值域为 ?0, 1? 上单 ? ? ;它既非奇函数也非偶函数;它在定义域 ? ?1, 调递减. 当 x ?? ?1, ? ? 时, arccos ? cos x ? ? x . 1? 时, cos ? arccos x ? ? x ;当 x ??0, 反余弦函数 y ? arccos x ? ?1 ? x ? 1? 的图像如图所示.

第六章数列
一、数列的有关概念 1.按一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列可以看作以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数

?? ? ? 3 .函数 y ? tan x ? ? ? x ? ? 的反函数叫做反正切函数,记作 2? ? 2
y ? arctan x ? x ? R ? .
? ? ?? 反正切函数的值域为 ? ? , ? ;它是奇函数;它在定义域 R 上单调递增. ? 2 2? ? ? ?? 当 x ? R 时, tan ? arctan x ? ? x ;当 x ? ? ? , ? 时, ? 2 2?

an ? f (n) ,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
2. 如果数列 {an } 的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示, 这个公式就叫做这个数列的通项公式. 如 果数列 {an } 的任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系可用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列 的递推公式. 3.如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列叫做等差数列.这个常 数叫做等差数列的公差.如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

a?b . 2

arctan ? tan x ? ? x .

4.如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,这个数列叫做等比数列.这个常 数叫做等比数列的公比.如果 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b b 的等比中项,且 G ? ? ab .

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?Sn ? Sn ?1 , n ? 2 5.定义数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , an 与Sn 的关系:an ? ? . n ?1 ?S1 ,
二、等差数列与等比数列 1. 等差数列的通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1)d , n ? N , 其中 d 是数列 {an } 的公差, 通项公式 an 是 n 的一次函数. 2.等差数列的性质: (1)任意两项 an , am 满足 an ? am ? (n ? m)d . (2)若 m ? n ? p ? q , m , n , p , q ? N? ,则 am ? an ? a p ? aq . 3.等比数列的通项公式为 an ? a1 ? q n?1 , n ? N? ,其中 q 是数列 {an } 的公比. 4.等比数列的性质: (1)任意两项 an , am 满足 an ? am ? q n?m . (2)若 m ? n ? p ? q , m , n , p , q ? N? ,则 am ? an ? a p ? aq . 三、数列求和 1.等差数列前 n 项和 Sn ?
?

(2)通过观察找出几个特殊值中蕴含的内在规律,猜想对于正整数 n 的一般结论; (3)用数学归纳法证明上述猜想的结论成立. 六、数列极限 1.数列的极限:在 n 无限增大的变化过程中,如果无穷数列 {an } 中的项 an 无限趋近于一个常数 A ,那么称 A 为数列 {an } 的极限,记作 lim an ? A .
n??

2.数列极限的运算性质:如果 lim an ? A , lim bn ? B ,那么
n?? n??

(1) lim(an ? bn ) ? lim an ? lim bn ? A ? B . (2) lim(an ? bn ) ? lim an ? lim bn ? A ? B .
n?? n?? n?? n?? n?? n??

(3) lim(an ? bn ) ? lim an ? lim bn ? A ? B . (4) lim(
n?? n?? n??
n ??

lim an A an ) ? n ?? ? bn lim bn B
n ??

( B ? 0) .

两个数列的和、积的极限运算性质可推广到有限个数列的情况. 3.数列极限的几个重要结论: (1) lim c ? c ( c 为常数) .
n??

n(a1 ? an ) 1 ? na1 ? n(n ? 1)d ,当 d ? 0 时, Sn 是 n 的二次函数且常数项为零. 2 2
(q ? 1) , (q ? 1)


(3) lim q n ? 0 ( q ? 1) .
n ??

1 ?0. n 1 (4) lim(1 ? )n ? e . n?? n
(2) lim
n ??

?na1 ? 2.等比数列前 n 项和 Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

| 1 4 . 已 知 无 穷 等 比 数 列 {an } 的 公 比 为 q , 前 n 项 和 为 Sn , 当 0 ? | q ? 时 , 数 列 {an } 的 所 有 项 的 和

S ? lim Sn ?
n ??

a1 (0 ?| q |? 1) . 1? q

四、数学归纳法 1.完全归纳法与不完全归纳法 对一个问题的所有可能出现的情况逐一加以研究, 从中得出它们共有的性质, 这种产生结论的方法称为完全归 纳法.对一个问题的一部分可能出现的情形加以研究,从中推出问题所具有的性质,这种产生结论的方法称为不 完全归纳法.完全归纳法往往是不可行的,而由不完全归纳法产生的结论其正确性不能保证,但是作为由特殊推 出一般的归纳法,却在自然科学中被大量的使用. 2.数学归纳法 数学归纳法适用于证明与正整数有关的命题 P (n) .它的证明步骤如下: 第一步:证明命题在 n 取第一个值 n0 (n0 ? N? ) 时成立,即 P ( n0 ) 正确; 第二步:假设当 n ? k ( k ? N? , k ? n0 )时命题成立,则证明当 n ? k ? 1 时命题也成立,即由 P (k ) 正确推出

第七章排列、组合与概率、统计
一、排列组合 1.加法原理和乘法原理 加法原理: 如果完成一件事有 n 类办法, 第 1 类办法中有 m1 种不同的方法, 第 2 类办法中有 m2 种不同的方法, …, 在第 n 类办法有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ?

? ? mn 种不同的方法. 乘法原理:如果完成一件事需要 n 个步骤,第 1 步有 m1 种不同的方法,第 2 步有 m2 种不同的方法,…,第 n 步 有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ?? ? mn 种不同的方法.
2.排列与组合: (1)从 n 个不同的元素中取出 m (m ? n) 个元素,按照一定的次序排成一列,叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)从 n 个不同的元素中取出 m (m ? n) 个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素 的排列数,记作 Pnm . (3)从 n 个不同的元素中取出 m (m ? n) 个元素组成一组,叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个组 合. (4)从 n 个不同的元素中取出 m (m ? n) 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素
m 的组合数,记作 C n .

P(k ? 1) 正确.
由上述的两个步骤可知命题对于从 n0 开始的所有自然数 n 都正确. 第一步是一次验证,是递推的始点;第二步以一次逻辑推理代替了无限次的验证过程,是递推的依据. 五、归纳-猜想-证明 归纳猜想证明的方法是解决数学问题的重要方法,它对于解决数列问题尤为适用,它的一般步骤是: (1)先根据题意求出 n ? 1, 2 , 3 等值时的一些特殊值;

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3.主要公式:

n! ( m ? n) ; 排列数公式: Pnm ? n(n ? 1)(n ? 2) ? ? ? (n ? m ? 1) ? (n ? m)!

0 n 1 n?1 1 r n ?r r n n r 1. 二项式定理: 其中 C n 称为二项展开式中第 r ? 1 (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b .

项的二项式系数.
r n ?r r 2.通项公式: Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0 ,1, 2 , ? , n) .

P ? 1? 2 ? 3 ??? n ? n! ; 0! ? 1 .
n n
m ? 组合数公式: Cn

n(n ? 1)(n ? 2) ?? ? (n ? m ? 1) n! ( m ? n) . ? 1 ? 2 ?? ? m m!? (n ? m)!

m n ?m r r r ?1 ( m ? n) ; (1 ? r ? n) . 组合数性质: (1) Cn (2) Cn ? Cn ?1 ? Cn ? Cn

二、概率初步 1.现象与事件 (1) 现象: 在一定条件下必定会出现或必定不出现的现象叫做确定性现象, 必定会出现的现象叫做必然现象, 必定不出现的现象叫做不可能现象.在一定条件下可能出现也可能不出现且有统计规律的现象叫做随机现象. (2)事件:对随机现象的一次观察叫做一次试验,一次试验的所有可能结果都叫做试验结果或基本事件.所 有可能的基本事件所组成的集合叫做基本事件全集,记作 ? .基本事件全集的子集叫做随机事件,简称事件,用 大写的拉丁字母 A , B , C 等来表示.试验后必定出现的事件叫做必然事件;不可能出现的事件叫做不可能事件. 2.概率 (1)定义:对随机事件出现可能性大小的数值度量叫做这个随机事件的概率,随机事件 A 的概率记作 P ( A) . (2)古典概型:具有以下两个特点①基本事件全集都只包含有限个基本事件;②每个基本事件的出现具有相 等的可能性.

3.二项式定理的应用 主要有四个方面:求二项式展开式的某一项;近似计算;证明整除性问题或不等式;证明组合恒等式或求和. 4.二项式系数的性质
0 1 n (1) Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2n ; 0 2 4 1 3 5 (2) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1 ; m n ?m (3)在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即: Cn . ? Cn

二、 (文)线性规划 1.在线性约束条件下寻找线性目标函数的最大(小)值的问题叫做线性规划问题. 2.解线性规划有两个主要步骤: (1)找出满足线性约束条件的坐标为 ( x , y) 的点所构成的区域. (2)找出区域边界的顶点,计算属于该区域的顶点处线性目标函数的值,目标函数取最大(小)值所对应的 ( x , y) 就是线性规划的解. 三、 (文)统筹规划 1.一项工作由若干个独立的活动组成,每个活动叫做工序,工序可以用字母 A 、 B 等表示.也可以把工序的

m 3.频率:对某一事件 A 在 n 此重复试验中出现了 m 此,那么 就是该事件出现的频率,也叫做该事件出现的 n m 经验概率,记作 P( A) ? . n
4.大数定律:频率(经验概率)在大数次重复试验中稳定于某一常数(概率) . 三、基本统计方法 1.总体:研究对象的全体叫做总体.总体中的每一个成员叫做个体.

名称写在一个箭杆上面, 记为

? 表示工序 A 的始点, , 其中 t 代表完成这道工序所需要的时间.

1 ( x1 ? x2 ? ? ? xN ) . N 1 (2)总体方差: ? 2 ? [( x1 ? ? )2 ? ( x2 ? ? ) 2 ? ? ? ( xN ? ? ) 2 ] .总体方差反映了各个个体偏离平均数 ? 的程 N
(1)总体平均数: ? ? 度. (3)总体标准差: ? ?

是 ? 工序 A 的终点.工序 A 也可以表示 (i, j ) . 2.一项工作可以分成若干道工序,由各道工序间的相互衔接关系,用箭杆来表示工序间先后顺序,画出一个 反映各道工序相互关系的箭头图,并注上完成各道工序所需的时间,这样的图称为工序流程图. 3.对于两道工序 A 和 B ,如果工序 A 完成后才紧接着进行工序 B ,那么称工序 A 是 B 的紧前工序, B 是 A 的紧后工序. 4.在工序流程图中,从工程的初始状态开始要箭杆所示的方向连续不断地达到最终状态的一系列工序叫做 路.其中所需要的时间最长的路叫做关键路,关键路上各工序所需的时间和是完成整项工程所需的最短时间,叫 做工程总时数.

1 [( x1 ? ? )2 ? ( x2 ? ? )2 ? ? ? ( xN ? ? ) 2 ] . N

2.样本:从总体中抽出的一部分个体所组成的集合叫做样本.样本中所含个体的个数叫做样本容量.

1 n 1 (2)样本方差: s 2 ? [( x1 ? ? )2 ? ( x2 ? ? )2 ? ? ? ( xn ? ? )2 ] . n ?1
(1)样本平均数: x ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) . (3)样本标准差: s ?

第九章复数
一、复数有关概念 1.虚数单位:数 i 满足 i2 ? ?1 ,且规定 i 可以与实数在一起按实数的运算律进行四则运算. i 叫做虚数单位 2.形如 a ? bi (a、b ? R) 的数叫做复数.复数全体组成的集合叫做复数集,通常用字母 C 表示.实数集 R 是 复数集 C 的真子集,即 R ? C .定义了复数的加法和乘法运算后的复数集叫做复数系. 3.单个复数常常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi (a、b ? R) .把复数 z 表示成 a ? bi 时,叫做复数的代数形式, 并规定 0i ? 0 , 0 ? bi ? bi . a 与 b 分别叫做复数 z ? a ? bi 的实部与虚部.复数 z 的实部记作 Re z ,复数 z 的虚 部记作 Im z .当 b ? 0 时,复数 z ? a ? bi ? a 是实数;当 b ? 0 时, z 叫做虚数;当 a ? 0 且 b ? 0 时, z ? a ? bi ? bi

1 [( x1 ? ? ) 2 ? ( x2 ? ? ) 2 ? ? ? ( xn ? ? ) 2 ] . n ?1

第八章(理)二项式定理(文)线性规划与统筹规划
一、 (理)二项式定理

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叫做纯虚数;当且仅当 a ? b ? 0 时, z 是实数 0 . 4.复数相等:两个复数相等,当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 5.共轭复数:两个复数共轭,当且仅当它们的实部相等,虚部互为相反数, z 的共轭复数记为 z . 6. 建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面, 在复平面内, 复数 z ? a ? bi x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴. 所对应的点 Z (a, b) 到坐标原点的距离叫做复数 z 的模(或绝对值) ,记作 z . z ? a ? bi ? a 2 ? b 2 . 7.复数集 C 中的元素与复平面上以原点为起始点的向量是一一对应的(实数 0 与零向量对应) ,可以把复数 ??? ? z ? a ? bi 看作点 Z (a, b) 或看作向量 OZ . 二、复数的四则运算 1.四则运算法则: (1)加减法: (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i . (2)乘除法: (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i , 实数) . 2.运算律 (1)加法的交换律和结合律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 , ? z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ? ? z2 ? z3 ? . (2)乘法的交换律和结合律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 , ? z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ? ? z2 ? z3 ? . (3)分配律: z1 ? z2 ? z3 ? ? z1 z2 ? z1 z3 .

??? ? ? ? ??? ? ? 的模,记作 | AB | . AB 也可记作 a . a 的模记作 | a | . ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? 2.如果向量 AB 和 CD 的模相等且方向相同,那么这两个向量叫做相等的向量.如果向量 AB 和 CD 的方向相 ??? ? ??? ??? ? ? 同或方向相反,那么这两个向量叫做平行的向量.如果向量 AB 和 CD 的模相等且方向相反,那么把向量 AB 叫做

??? ? ? ? CD 的负向量. 始点与终点重合的向量称为零向量, 记作 0 . 模为 1 的向量叫做单位向量. 对于任意的非零向量 a ,

? ? ?? ? ?? ? a 与它同方向的单位向量叫做向量 a 的单位向量,记作 a0 , a0 ? ? . |a|
二、向量的加减法运算

a ? bi ac ? bd bc ? ad ? ? i (以上 a、b、c、d 均为 c ? di c2 ? d 2 c2 ? d 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1.向量的加法:以 OA 、 OB 为邻边的平行四边形 OABC 的对角线 OC ,叫做 OA 与 OB 两个向量的和.记作 ??? ? ??? ? ???? OA ? OB ? OC . 求两个向量的和的运算叫做向量的加法. 求两个不平行的向量的和可按平行四边形法则进行. 如 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? 图, OA ? OB ? OC .也可按首尾相接的三角形法则进行,如图, OA ? AC ? OC . ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.向量的减法:已知 a 和 b ,如果 b ? c ? a ,那么 c 叫做向量 a 与向量 b 的差,记作 c ? ? ? ? ? a ? b .求两个向量 a 与 b 的差的运算叫做向量的减法.向量的减法可按三角形法则进行,即连结两向量的终点,

?z ? z 3.共轭复数运算性质: z1 ? z2 ? z1 ? z2 , z1 ? z2 ? z1 ? z2 , zz ? z , ? 1 ? ? 1 . ? z2 ? z2
2

???? ??? ? ???? ? ? ? ? 箭头指向被减向量的方向,如图, OC ? OA ? AC .也可把 a ? b 看作 a ? (?b) ,转化为加法进行.
3.运算法则: ? ? ? ? (1) a ? b ? b ? a .

4.复数模的运算性质: z1 z2 ? z1 z2 , 三、复数与方程

z z1 n ? 1 , zn ? z , z2 z2

z ? z.

(2) (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ? a ? b ? c .

? ?

?

?

? ?

? ? ?

? ? ? ? ? ? (3) a ? 0 ? a ; a ? (?a) ? 0 .
三、向量的坐标表示 ??? ? ??? ? 1.位置向量 OA 的坐标:在直角坐标平面内,以原点为始点,点 A 为终点的向量 OA ,叫做位置向量.设点 A

实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a, b, c ? R且a ? 0? 在复数集中恒有解. 当判别式 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,方程有实数解 x1,2 ?

?b ? b 2 ? 4ac ; 2a

??? ? ??? ? 的坐标是 ( x , y) ,通常把有序实数对 ( x , y) 叫做位置向量 OA 的坐标,记作 OA ? ( x , y) .
2.基本单位向量:在平面直角坐标系内,方向与 x 轴和 y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量, ? ? 记作 i 和 j . 3.向量 PQ 的坐标:设点 P 的坐标是 ( x1 , y1 ) ,点 Q 的坐标是 ( x2 , y2 ) ,通常把有序实数对

b 4ac ? b 2 ? i. 当判别式 ? ? b ? 4ac ? 0 时,方程有一对共轭虚根 x ? ? 2a 2a
2

第十章向量
一、向量概念 1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫做向量.常用带有箭头的线段表示向量, 以线段的长表示向量的大小,以箭头所指的方向(即从始点到终点的方向)表示向量的 ??? ? ??? ? ??? ? 方向. 一般地, 以点 A 为始点, 点 B 为终点的向量记作 AB . 向量 AB 的大小叫做向量 AB

??? ?

??? ? ??? ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) 叫做向量 PQ 的坐标,记作 PQ ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) .
4.向量加减法的坐标表示:若 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,则 a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ) ,

?

?

? ?

? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ) .
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四、数量与向量的积

? ? 1.数与向量的乘法:对于实数 k , k a 表示一个向量,叫做实数 k 与向量 a 的积. ? ? ? ? ? ? k a 的模与方向规定如下:当 k ? 0 时,k a 与 a 的方向相同;当 k ? 0 时,k a 与 a 的方向相反;当 k ? 0 时,k a
为零向量. 以上规定的实数与向量求积的运算叫做实数与向量的乘法. 2.若 a ? (a1 , a2 ) , k ? R ,则 ka ? (ka1 , ka2 ) . 3.运算性质:

叫做 P 点在 x 轴、 y 轴和 z 轴上的射影.若 A 、 B 和 C 在 x 轴、 y 轴和 z 轴上的坐标分别为 x 、 y 、 z ,那么把有 序实数组 ( x , y , z ) 叫做点 P 的坐标,记作 P( x , y , z ) . 3.空间向量的坐标表示及运算 ??? ? ? ??? ? ? 以坐标原点 O 为起点,作向量 OA ? a ,把 OA 叫做位置向量.若 ( x , y , z ) 为向量 a 的终点 A 的坐标,把有序

? 实数组 ( x , y , z ) 叫做向量 a 的坐标.
设空间中点 P 的坐标是 ( x1 , y1 , z1 ) ,点 Q 的坐标是 ( x2 , y2 , z2 ) ,则把有序实数组

?

?

? ? ? ? ? (1) m(na) ? (mn)a (m , n ? R) . (2) (m ? n)a ? ma ? na (m , n ? R) . ? ? ? ? (3) m(a ? b) ? ma ? mb (m ? R) .
五、向量的数量积

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) 叫 做 空 间 向 量 PQ 的 坐 标 , 记 作 P Q ? ( 2x ? 1 x ,
? ? ?? P Q? ( 2 x ? 12 ) x ? ( 2y ?
2 1 2 ) y ? ( 2 z ?. z 1)

??? ?

? ? ??

2

y ?

1

,y

2

显 然 ? z . )1 z

设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) , ? 是一个实数,则 ( x1 , y1 , z1 ) ? ( x2 , y2 , z2 ) ?

?

?

? ? ? ? ? ? 1.向量的数量积:一般地,如果 a 和 b 的夹角为 ? (0 ? ? ? ? ) ,那么把 a b cos? 叫做 a 和 b 的数量积,记作 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos? .特别规定,对任意的 a , a ? 0 ? 0 .把 b cos ? 叫做向量 b 在向量 a 的方向上的投影. ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b 的几何意义:两个向量 a 、 b 的数量积是其中的一个向量 a 的模 a 与另一个向量 b 在向量 a 的方向上的 ? 投影 b cos ? 的乘积.
2.若 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,则 a ? b ? a1b1 ? a2b2 . 3.运算性质: ? ? ? ? ? ? ? ? (1) a ? b ? b ? a . (2) (ka) ? b ? k (a ? b) (k ? R) .

? ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ) , ? ( x1 , y1 , z1 ) ? (? x1 , ? y1 , ? z1 ) , a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 .
4.平行与垂直的充要条件:设非零向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) , ? 是一个实数,

?

?

? ? (1) a 与 b 平行的充要条件是存在非零实数 ? ,使得 x2 ? ? x1 , y2 ? ? y1 , z2 ? ? z1 . ? ? ? ? (2) a 与 b 垂直的充要条件是 a ? b ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 .

?

?

? ?

第十一章空间图形
一、有关平面与直线的公理 公理 1:如果一条直线上有两个不同的点在同一平面上,那么这条直线上所有的点都在这个平面上(即直线在 平面上) . 公理 2:如果两个不同的平面有一个公共点,那么这两个平面的公共部分是过这个点的一条直线. 公里 3:不在同一直线上的三点确定一个平面(这里“确定一个平面”含义是“有且只有一个平面”) . 推论 1:一条直线和直线外的一点确定一个平面. 推论 2:两条相交的直线确定一个平面. 推论 3:两条平行的直线确定一个平面. 公理 4:平行于同一直线的两条直线相互平行. 二、空间点、直线及平面的位置关系 1.空间点与直线的位置关系: (1)点在直线上. (2)点不在直线上. 2.空间点和平面的位置关系: (1)点在平面上. (2)点不在平面上. 3.空间直线与直线的位置关系: (1)相交——直线和直线有一个公共点. (2)平行——在同一平面上没有公共点. (3)异面——两条直线不能置于同一个平面上. 定理 1:如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组相交直线所成的锐角(或直角)相等. 异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 对于异面直线 a 和 b ,在空间任取一点 P ,过 P 分别作 a 和 b 的平行线 a ' 和 b ' ,那么 a ' 和 b ' 所成的锐角或直

(3) (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c .

? ? ?

? ? ? ?

4.向量平行与垂直的充要条件:若 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? a a (1) 向量 a 与向量 b 平行的充要条件: 存在非零常数 ? , 使 a ? ?b , 即 1? 2; 或利用数量积 a ? b ? ? | a | ? | b | . b1 b2 ? ? ? ? (2)向量 a 与向量 b 垂直的充要条件是 a ? b ? 0 ,即 a1b1 ? a2b2 ? 0 .
六、空间向量 1.空间向量的概念:空间中既有大小又有方向的量叫做空间向量. 2.空间直角坐标系 取有公共原点 O 的三条两两互相垂直,且有相同单位长度的数轴 Ox 、Oy 、 Oz ,这样就构成了一个空间直角 坐标系,记作 O ? xyz .通常将 x 轴和 y 轴置于水平面上, z 轴置于铅垂线方向,并规定 x 轴、 y 轴和 z 轴构成右 手系,其中点 O 称为坐标原点, x 轴、 y 轴和 z 轴统称坐标轴,由 x 轴和 y 轴所确定的平面叫做 xOy 平面,类似 地,还有 xOz 平面和 yOz 平面,它们统称坐标平面.三个坐标平面将整个空间分割成八个部分,被称为空间的八 个卦限,在 xOy 平面的上、下方分别是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限和Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.设 P 是空间任一点,经过点 P 作三个平面分别垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴,它们与各坐标轴的交点依次为 A 、 B 和 C .把垂足 A 、 B 和 C 分别

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角叫做异面直线 a 和 b 所成的角.

?? ? ?? ? 设空间直线 a 和 b 所成的角为 ? ? 0 ? ? ? ? ,它们的一个方向向量分别为 d1 ? (l1 , m1 , n1 ) 和 2? ? ?? ? ?? ? ?? ? d2 ? (l2 , m2 , n2 ) , d1 与 d2 的夹角为 ? (0 ? ? ? ? ) .则 ? 与 ? 的关系是:
? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?

?? ? 2 ?? ? ? ?? ?? ? ? ? 2 ?

?? ? ?0 ?? ? ? , 2? ? 可知 sin ? ? cos? . ?? ? ? ?? ?? ?. ?2 ?

?? ? ?0 ?? ? ? , 2? ? 可知 cos? ? cos ? . ?? ? ? ?? ?? ?. ?2 ?

5.二面角 当两个平面相交时,它们的交线 AB 将各平面分割成两个半平面,由两个半平面 ? 、 ? 及其交线 AB 所组成的 空间图形叫做二面角,记作 ? ? AB ? ? .交线 AB 叫作二面角的棱,两个半平面 ? 、 ? 叫做二面角的面. 在二面角 ? ? AB ? ? 的棱 AB 上任取一点 O ,过 O 分别在面 ? 、 ? 上作棱 AB 的垂线 OM 和 ON ,那么射线 OM 和 ON 所成的角叫做二面角 ? ? AB ? ? 的平面角. 若二面角 ? ? AB ? ? 的两个半平面 ? 、 ? 的法向量分别为 n1 与 n2 ,两个法向量的夹角为 ? ,二面角的大小为

?? ?

?? ?

4.空间直线与平面的位置关系: (1)直线在平面上——直线上所有点都在平面上. (2)直线与平面相交——直线与平面只有一个公共点. (3)直线与平面平行——直线与平面没有公共点. 5.空间平面与平面的位置关系: (1)重合——一个平面上所有点都在另一个平面上. (2)相交——不同的两个平面有公共点. (3)平行——两个平面没有公共点. 三、距离、角的计算 1.点和平面的距离 如果一条直线 l 与平面 ? 上的任何一条直线都垂直,那么直线 l 与平面 ? 互相垂直.记作 l ? ? ,直线 l 叫做平 面 ? 的垂线, l 与 ? 的交点叫做垂足. 定理2:如果直线 l 与平面 ? 上的两条相交直线 a 、 b 都垂直,那么直线 l 与平面 ? 上的所有直线都垂直 点和平面的距离:过平面 ? 外一点 M 作平面的垂线,垂足为 N ,把点 M 到垂足 N 之间的距离叫做点 M 和平 面 ? 的距离. 2. 直线和平面的距离: 直线 l 平行于平面 ? , 在直线 l 上任取一点 M , 把点 M 到平面 ? 的距离叫做 l 和平面 ? 的距离. 3.平面和平面的距离 平面 ? 平行于平面 ? , 在平面 ? 上任取一点 M , 把点 M 到平面 ? 的距离叫做平面 ? 与平面 ? 的距离. ? 若点 M 是平面 ? 外的一点, A 是平面 ? 上任意一点, n 是平面 ? 的法向量,则点 M 到平面 ? 的距离

? (0 ? ? ? ? ) ,可以看出 ? ? ? 或 ? ? ? ? ? .
四、多面体的有关概念 1.多面体 由一些平面多边形所围成的封闭体叫做多面体. 构成多面体的各平面多边形叫做多面体的面. 其相邻多边形的 公共边叫做多面体的棱,棱与棱的交点叫做多面体的顶点. 2.棱柱 有两个全等的多边形的面相互平行,且不在这两个面上的棱都相互平行,那么这个多面体叫做棱柱.棱柱的两 个相互平行的面叫做棱柱的底面,其他的面叫做棱柱的侧面,棱柱的侧面都是平行四边形,不在底面上的棱叫做 棱柱的侧棱,两个底面间的距离叫做棱柱的高. 侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱. 3.棱锥 有一个面是多边形, 其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥. 棱锥的多边形的面叫做棱锥的底 面,其他的面叫做棱锥的侧面,棱锥的侧面都是三角形.不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱,侧棱的公共点叫做棱 锥的顶点,顶点与底面所在平面间的距离叫做棱锥的高. 底面是正多边形,且底面中心与顶点的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 五、体积与面积的计算 1.祖暅原理体积可看成是由面积叠加而成,用一组平行平面截两个空间图形,若在任意等高处的截面面积都 对应相等,则这两个空间图形的体积必然相等. 2.棱柱、棱锥和棱台的体积公式 (1)棱柱的体积: V ? Sh . (2)棱锥的体积: V ? Sh .

? ???? ? | n ? AM | ? . d? |n|
4.直线和平面所成角 一条直线和一个平面相交,但不垂直,叫做直线与平面斜交. 直线与平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角. 当 直线和平面垂直时,它们所成的角等于 90? ;当直线和平面平行或直线在平面上时,它们所成的角为 0 ? .

1 3

第十二章解析几何
一、与直线有关的概念 1.点的直角坐标 当平面上建立直角坐标系后, 平面上的点集和有序实数对 ( x , y) 的集合之间有着一一对应的关系.如果点 P 对 应于某个 ( x , y) ,那么这个 ( x , y) 叫做点 P 的直角坐标,表示为 P( x , y) . 2.两点的距离

? ? ?? ? ? 直线 l 和平面 ? 相交且不垂直时,设它们所成的角为 ? ? 0 ? ? ? ? , d 是直线 l 的一个方向向量, n 是平面 ? 2? ? ? ? ? 的一个法向量, d 与 n 的夹角为 ? ,那么 ? 与 ? 的关系是:

P P ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 . 设点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ,则 1 2
3.定比分点、线段的中点坐标计算公式 定比分点公式:设 P1 、 P2 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) , ? 为实数,且 ? ? ?1 ,并有
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? x? ? ??? ? ???? ? PP ? ? PP2 ,则点 P 的坐标为 ? 1 ?y ? ? ?

x1 ? ? x2 1? ? . y1 ? ? y2 1? ?

(4)垂直: l1 与 l2 垂直的条件是 A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . 2.点到直线的距离 点 P( x0 , y0 ) 到一条直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离是 d ? 3.平行线之间的距离 两条平行直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 之间的距离是 d ?

x1 ? x2 线段的中点公式: 设 P1 、P2 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、( x2 , y2 ) , 则P , 1P 2 的中点 M ( x0 , y0 ) 的坐标为 x0 ? 2 y ? y2 . y0 ? 1 2
4.直线的方向向量和法向量 平行于直线的非零向量 d ? (u, v) 称为直线的方向向量,垂直于直线的非零向量 n ? (a, b) 称为直线的法向量. 5.直线的倾斜角和斜率 直线 l 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) , 斜 率 记 为 k , 当 x1 ? x2 时 , k ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



C1 ? C2 A2 ? B 2



?

?

4.两条直线的夹角 设直线 l1 的方程为: A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与直线 l2 的方程为: A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,且两条直线的夹角为 ? ,则

y2 ? y1 ,直线 l 的倾斜角 x2 ? x1

cos? ?

A1 A2 ? B1 B2 A ?B
2 1 2 1

? arctan k , (k ? 0) ? ,当 x1 ? x2 时,直线 l 的斜率不存在,直线 l 的倾斜角是 . ? ?? 2 ?? ? arctan k , (k ? 0)
倾斜角的取值范围 ? ?[0, ? ) ,斜率的取值范围 k ? R . 二、直线方程 1.点方向式方程

A2 ? B2
2

2

? ?? , ? ? ?0 , ? . ? 2?

四、曲线与方程 1.曲线与方程 在直角坐标系中,如果曲线 C 上的点与方程 F ( x, y ) ? 0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 2.曲线的交点 两条曲线的交点的坐标是由这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解. 3.弦长公式 若曲线 F ( x, y ) ? 0 与直线 y ? kx ? b 相交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点, 则 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 或 AB ? 1 ? 五、圆 1.圆的方程 (1)标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,其中 ( a, b) 为圆心的坐标, r 为半径. (2)一般方程: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ; (其中 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ) . 2.点和圆的位置关系:设点 P( x0 , y0 ) 和圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,则 (1)点 P( x0 , y0 ) 在圆内 ? ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 . (2)点 P( x0 , y0 ) 在圆上 ? ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 . (3)点 P( x0 , y0 ) 在圆外 ? ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 .

, v0 ? , 若直线过点 P( x0 , y0 ) , 直线的方向向量 d ? (u , v) , 且u ? 0 则直线的点方向式方程为:
2.点法向式方程

?

x ? x0 y ? y0 . ? u v

? 若直线过点 P( x0 , y0 ) ,直线的法向量 n ? (a , b) ,则直线的点法向式方程为:

a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? 0 .
3.点斜式方程 若直线过点 P( x0 , y0 ) ,直线的斜率为 k ,则直线的点斜式方程为: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) . 4.一般式方程 形如 ax ? by ? c ? 0 ( a , b 不全为零)的方程称为直线的一般式方程. 三、直线的位置关系 1.两条直线的位置关系 已知直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 (其中 A2 , B2 , C2 全不为零) . (1)相交: l1 与 l2 相交的条件是

1 y1 ? y2 . k2

A1 B1 A B C ? ; (2)平行: l1 与 l2 平行的条件是 1 ? 1 ? 1 ; A2 B2 C2 A2 B2
A1 B1 C1 ? ? ; A2 B2 C2

(3)重合: l1 与 l2 重合的条件是

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3.直线和圆的位置关系:已知直线 Ax ? By ? C ? 0 和圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , (1)利用直线和圆心位置关系的定义 若圆心 C (a, b) 到直线 l 的距离为 d ?

个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离为 F1F2 ? 2c 叫做焦距,即:

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

PF1 ? PF2 ? 2a .
,则 2.双曲线的标准方程

d ? r 时,直线和圆相交; d ? r 时,直线和圆相切; d ? r 时,直线和圆相离.

(2)利用曲线与方程的关系

x2 y 2 ? ? 1 ( a, b ? 0) ,其中 a 2 ? b 2 ? c 2 . a 2 b2 它的实轴在 x 轴上, 虚轴在 y 轴上, 中心在坐标原点, 实轴长为 2 a , 虚轴长为 2b , 焦点的坐标为 (c,0) , (?c,0) ,
(1)焦点在 x 轴上的标准双曲线方程为: 顶点的坐标为 (a,0) , (?a,0) ,渐近线方程 y ? ? x .

?( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 设方程组 ? 消元后得到一元二次方程的判别式为 ? ,则 ? Ax ? By ? C ? 0
? ? 0 时,直线和圆相交; ? ? 0 时,直线和圆相切; ? ? 0 时,直线和圆相离.

4.圆和圆的位置关系 若圆 C1 : ( x ? a1 )2 ? ( y ? b1 )2 ? r12 ,圆 C2 : ( x ? a2 )2 ? ( y ? b2 )2 ? r22 ,圆心距为 C1C2 ,则 (1) r1 ? r2 ? C1C2 ? r1 ? r2 时,圆和圆相交. (2) C1C2 ? r1 ? r2 时,圆和圆外切. (3) C1C2 ? r1 ? r2 时,圆和圆内切. (5) C1C2 ? r1 ? r2 时,圆和圆内含. 六、椭圆 1.椭圆的定义 平面内到两个定点 F1 , F2 的距离之和为定长 2a (2a ? F1F2 ) 的动点 P ( x, y ) 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做 椭圆的焦点,两定点间的距离为 F1F2 ? 2c 叫做焦距,即: PF1 ? PF2 ? 2a . 2.椭圆的标准方程
2 2

b a x2 y 2 (2)焦点在 y 轴上的标准双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 ( a, b ? 0) ,其中 a 2 ? b 2 ? c 2 . b a 它的实轴在 y 轴上, 虚轴在 x 轴上, 中心在坐标原点, 实轴长为 2 a , 虚轴长为 2b , 焦点的坐标为 (0, c) , (0, ?c) , a b

顶点的坐标为 (0, a) , (0, ?a) ,渐近线方程 y ? ? x . 3.双曲线的性质 (1)方程

(4) C1C2 ? r1 ? r2 时,圆和圆外离.

x2 y 2 - ? 1 所对应的双曲线关于 x 轴, y 轴,坐标原点都对称,且双曲线上点 ( x , y) 的坐标满足 a2 b2

的取值范围是 x ? a , y ? R . (2)方程

y 2 x2 - ? 1 所对应的双曲线关于 x 轴, y 轴,坐标原点都对称,且双曲线上点 ( x , y) 的坐标满足 a 2 b2

的取值范围是 y ? a , x ? R . 八、抛物线 1.抛物线的定义 平面内到定点 F 的距离等于到定直线 l 的距离的动点 P ( x, y ) 的轨迹叫做抛物线. 这个定点 F 叫做抛物线的焦 点,定直线 l 叫做抛物线的准线,定点到定直线的距离叫做焦距. 2.抛物线的标准方程及性质 (1)焦点在 x 轴正半轴上的标准抛物线方程为: y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,它的对称轴是 x 轴,顶点在坐标原点,焦

x y ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) ,其中 b 2 ? a 2 ? c 2 . 2 a b 它的长轴在 x 轴上, 短轴在 y 轴上, 中心在坐标原点, 长轴长为 2 a , 短轴长为 2b , 焦点的坐标为 (c,0) , (?c,0) , 顶点的坐标为 (a,0) , (?a,0) 和 (0, b) , (0, ?b) .
(1)焦点在 x 轴上的标准椭圆方程为:

x2 y 2 (2)焦点在 y 轴上的标准椭圆方程为: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) ,其中 b 2 ? a 2 ? c 2 . b a 它的长轴在 y 轴上, 短轴在 x 轴上, 中心在坐标原点, 长轴长为 2 a , 短轴长为 2b , 焦点的坐标为 (0, c) , (0, ?c) , 顶点的坐标为 (0, a) , (0, ?a) 和 (b,0) , ( ?b,0) .
3.椭圆的性质

p ?p ? 点坐标为 ? , 0 ? ,开口向右;准线方程 x ? ? ; 2 ?2 ?
(2)焦点在 x 轴负半轴上的标准抛物线方程为: y 2 ? ?2 px ( p ? 0) ,它的对称轴是 x 轴,顶点在坐标原点,

x2 y 2 方程 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 所对应的椭圆关于 x 轴, y 轴,坐标原点都对称,且椭圆上点 ( x , y) 的坐标满足 a b
的取值范围是 ? a ? x ? a , ?b ? y ? b . 七、双曲线 1.双曲线的定义 平面内到两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值为定长 2a (2a ? F1F2 ) 的动点 P( x , y) 的轨迹叫做双曲线.这两

p ? p ? 焦点坐标为 ? ? , 0 ? ,开口向左;准线方程 x ? ; 2 ? 2 ?
(3)焦点在 y 轴正半轴上的标准抛物线方程为: x2 ? 2 py ( p ? 0) ,它的对称轴是 y 轴,顶点在坐标原点,焦

p ? p? 点坐标为 ? 0 , ? ,开口向上;准线方程 y ? ? ; 2 ? 2?

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高中数学知识点梳理

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(4)焦点在 y 轴负半轴上的标准抛物线方程为: x2 ? ?2 py ( p ? 0) ,它的对称轴是 y 轴,顶点在坐标原点,

p? p ? 焦点坐标为 ? 0 , ? ? ,开口向下;准线方程 y ? . 2? 2 ?
九、 (理)坐标平移 1.坐标轴的方向和长度单位都不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫作坐标轴的平移. 2.设原坐标系 xOy 经过坐标轴平移得到新坐标系 x 'O ' y ' ,点 O' 在原坐标系中的坐标为

? x ? 2 pt 2 (3)标准方程为 y 2 ? 2 px 的抛物线的参数方程: ? ( t 为参数) . ? y ? 2 pt
? x ? x0 ? t cos? (4)标准方程为 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ) 的直线的参数方程: ? ( t 为参数) . ? y ? y0 ? t sin ?
十一、极坐标方程 1.在平面上取定一点 O ,以点 O 为端点引射线 Ox ,在选定一个单位长度和旋转角的正方向(一般规定逆时 针方向为正方向) . 这时对于平面上异于点 O 的任意一点 M , 设 ? 表示以射线 Ox 为始边、 射线 OM 为终边的角, 则点 M 的位置可以用有序数对 ( ? ,? ) 表示.对于点 O ,显然有 ? ? 0,? 可以取任意值.这样就在平面上建立了一 个不同于直角坐标系的坐标系,我们把它叫做极坐标系. 2. 在极坐标系中, 定点 O 叫做极点, 射线 Ox 叫做极轴,( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标, 其中 ? 叫做点 M 的极径,

( h, k ) ,平面内任意一点 M 在原坐标系中的坐标为 ( x , y ) ,在新坐标系中的坐标为 ( x' , y ' ) ,则平移公式为

? x ? x' ? h ? . ? ' ? ?y ? y ? k
3.对于方程 ax2 ? cy 2 ? dx ? ey ? f ? 0 的讨论: (1)当 ac ? 0 时,方程为椭圆型方程.这时方程可能表示为椭圆、圆、点或没有轨迹. (2)当 ac ? 0 时,方程为双曲线型方程,这时方程可能表示为双曲线或两条相交直线. (3)当 ac ? 0 时,方程为抛物线型方程,这时方程可能表示为抛物线、两条平行直线、两条重合直线或没有 轨迹. 十、 (理)参数方程 1.参数方程的概念 在平面直角坐标系中,如果曲线 C 上任意一点的坐标 ( x , y) 都是某个变量 t 的函数

? 叫做点 M 的极角. 3.在极坐标系中,平面内的一条曲线可以用含有 ? ,? 这两个变数的方程 F ( ? ,? ) ? 0 来表示,方程 F ( ? ,? ) ? 0
叫做这条曲线的极坐标方程. 4.等速螺线(或称阿基米德螺线)的极坐标方程: ? ? ?0 ? a? . 5.直角坐标与极坐标的互化:若点 M 的直角坐标为 ( x, y ) ,其极坐标为 ( ? ,? ) . 互化公式为: x ? ? cos? , y ? ? sin ? ; ? 2 ? x2 ? y 2 , tan ? ?

y ( x ? 0) . x
x2 ? y2 ;

一个点的极坐标虽然有无穷多种表示形式,但在一般情况下,常取? 为正数,即 ? ? 由 tan ? ?

? x ? f (t ) (t ? D) ,并且对于 t 的每一个允许值,由方程组所确定的点 P( x , y) 都在这条曲线 C 上,那么方程组就 ? ? y ? g (t )
叫做这条曲线的参数方程.变量 t 叫做参变量,简称参数. 相对于参数方程来说, F ( x, y ) ? 0 叫做曲线的普通方程.

y ( x ? 0) 确定 ? 时,通常根据此点所在的象限取最小正角,即是 0 ? ? ? 2? . x

? x ? a ? r cos? , 2.标准方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的圆的参数方程: ? ( ? 为参数, ? y ? b ? r sin ? ,

? ?[0,2?) ) .
3.参数方程与普通方程的互化 参数方程和普通方程是直角坐标系下曲线方程的两种不同表现形式, 它们都是表现曲线上点的坐标之间关系的, 故在一般情况下,它们可以互相转化.将曲线的参数方程化为普通方程,可以借助于已熟悉的普通方程的曲线来 研究参数方程的曲线的类型,形状,性质等;而将普通方程化为参数方程,可用参变量作为中介来表示曲线上点 的坐标,从而给研究曲线的有关问题带来方便. 4.直线和圆锥曲线的参数方程 (1)标准方程为

? x ? a cos? x2 y2 ? 2 ? 1 的椭圆的参数方程: ? ( ? 为参数) . 2 a b ? y ? b sin ? ? x ? a sec? x2 y2 ? 2 ? 1 的双曲线的参数方程: ? ( ? 为参数) . 2 a b ? y ? b tan ?
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(2)标准方程为


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