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三角函数、解三角形与平面向量


三角函数、解三角形与平面向量 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U=R,集合 P={x|x2≤1},那么?UP=( A.(-∞,-1) C.(-1,1) 【解析】 B.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ∵x2≤1?-1≤x≤1, )

∴?UP=(-∞,-1)∪(1,+∞). 【答案】 D )

2.(2013· 江西高考)函数 y= xln(1-x)的定义域为( A.(0,1) C.(0,1] 【解析】 【答案】 B.[0,1) D.[0,1] ?1-x>0 由? 得,函数定义域为[0,1). ?x≥0 B

3. (2012· 重庆高考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且以 2 为周期, 则“f(x) 为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( A.既不充分也不必要的条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.充要条件 【解析】 ①∵f(x)在 R 上是偶函数,∴f(x)的图象关于 y 轴对称. )

∵f(x)为[0,1]上的增函数, ∴f(x)为[-1,0]上的减函数. 又∵f(x)的周期为 2, ∴f(x)为区间[-1+4,0+4]=[3,4]上的减函数.

②∵f(x)为[3,4]上的减函数,且 f(x)的周期为 2, ∴f(x)为[-1,0]上的减函数. 又∵f(x)在 R 上是偶函数, ∴f(x)为[0,1]上的增函数. 由①②知 “f(x) 为 [0,1] 上的增函数 ” 是 “f(x) 为 [3,4] 上的减函数”的充要条 件. 【答案】 D )

? π? ? 1? 4.已知 f(x)=sin2?x+4?,若 a=f(lg 5),b=f?lg5?,则( ? ? ? ? A.a+b=0 C.a+b=1 【解析】 B.a-b=0 D.a-b=1

π?? 1+sin 2x 1? ? f(x)=2?1-cos?2x+2??= , 2 ? ? ??

1 sin?2lg 5? ∴a=2+ , 2 1 b=2+ 1? ? sin?2lg 5? ? ? 1 sin?2lg 5? =2- . 2 2

因此,a+b=1. 【答案】 C )

5.(2013· 重庆高考)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为( A.对任意 x∈R,都有 x2<0 B.不存在 x∈R,使得 x2<0 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0 D.存在 x0∈R,使得 x2 0<0

【解析】 因为“?x∈M,p(x)”的否定是“?x∈M,綈 p(x)”,故“对任 意 x∈R,都有 x2≥0”的否定是“存在 x0∈R,使得 x2 0<0”. 【答案】 D )

6.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 【解析】 B.直角三角形 D.不能确定

由正弦定理,得 a2+b2<c2,

a2+b2-c2 ∴cos C= 2ab <0,则 C 为钝角, 故△ABC 为钝角三角形. 【答案】 C

π? ? π 7.(2013· 福建高考)将函数 f(x)=sin(2x+θ)?-2<θ<2?的图象向右平移 φ(φ ? ? ? 3? >0)个单位长度后得到函数 g(x)的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P?0, ?, 2? ? 则 φ 的值可以是( 5π 5π A. 3 B. 6 π π C.2 D.6 【解析】 ? 3? ∵P?0, ?在 f(x)的图象上, 2? ? )

3 ∴f(0)=sin θ= 2 . π ? π π? ∵θ∈?-2,2?,∴θ=3, ? ? π? ? ∴f(x)=sin?2x+3?, ? ? π? ? ∴g(x)=sin ?2?x-φ?+3?. ? ? 3 ∵g(0)= 2 , 3 ?π ? ∴sin?3-2φ?= 2 . ? ? 5 验证,φ=6π 时, 3 ?π ? ?π 5 ? ? 4 ? sin?3-2φ?=sin?3-3π?=sin?-3π?= 2 成立. ? ? ? ? ? ? 【答案】 B

8.(2013· 安徽高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c. 若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C=( π A.3 2π 3π B. 3 C. 4 5π D. 6 )

【解析】

由 3sin A=5sin B,得 3a=5b.又因为 b+c=2a,

5 7 所以 a=3b,c=3b, ?5 ?2 ?7 ? b? +b2-?3b?2 ? 3 a +b -c ? ? ? ? 1 2π 所以 cos C= 2ab = =-2.因为 C∈(0, π), 所以 C= 3 . 5 2×3b×b
2 2 2

【答案】

B

?3x+y-6≥0, 9. (2013· 天津高考)设变量 x, y 满足约束条件?x-y-2≤0, ?y-3≤0,
z=y-2x 的最小值为( A.-7 C.1 【解析】 ) B.-4 D.2 可行域如图阴影部分(含边界).

则目标函数

令 z=0,得直线 l0:y-2x=0,平移直线 l0 知,当直线 l 过 A 点时,z 取得 最小值. ?y=3, 由? 得 A(5,3). ?x-y-2=0 ∴z 最小=3-2×5=-7. 【答案】 A

10.(2013· 课标全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的 是( ) A.?x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)上单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 【解析】 若 c=0,则有 f(0)=0,所以 A 正确.

由 f(x)=x3+ax2+bx+c 得 f(x)-c=x3+ax2+bx, 因为函数 f(x)=x3+ax2+bx 的对称中心为(0,0), 所以 f(x)=x3+ax2+bx+c 的对称中心为(0, c), 所以 B 正确. 由 三次函数的图象可知,若 x0 是 f(x)的极小值点,则极大值点在 x0 的左侧,所以函 数在区间(-∞,x0)单调递减是错误的,D 正确. 【答案】 C 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线 上) 11. 若非零向量 a, b 满足|a|=|b|, (2a+b)· b=0, 则 a 与 b 的夹角为________. 【解析】 ∵(2a+b)· b=0,

∴2a· b+b2=0, 1 ∴a· b=-2b2, 设 a 与 b 的夹角为 θ,又|a|=|b|, 1 -2b2 a· b 1 ∴cos θ=|a||b|= |a||b| =-2, ∴θ=120° . 【答案】 120°

12. (2013· 江西高考)设 f(x)= 3sin 3x+cos 3x, 若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a, 则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 由于 f(x)= 3sin 3x+cos 3x=

π? π?? ? ? ? 2sin?3x+6?,则|f(x)|=2?sin?3x+6??≤2,要使|f(x)|≤a 恒成立,则 a≥2. ? ? ? ? ?? 【答案】 [2,+∞)

π 13.设 e1,e2 为单位向量, 且 e1,e2 的夹角为3,若 a=e1+3e2,b=2e1, 则向量 a 在 b 方向上的射影为________. 【解析】 由于 a=e1+3e2,b=2e1,

1 2 所以|b|=2,a· b=(e1+3e2)· 2e1=2e1 +6e1· e2=2+6×2=5, a· b 5 所以 a 在 b 方向上的射影为|a|· cos<a,b>= |b| =2.

【答案】

5 2

14.(2013· 北京高考)已知点 A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域 D 由所 → =λAB → +μAC → (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点 P 组成,则 D 的面积为________. 有满足AP 【解析】 → =(2,1),AC → =(1,2). 设 P(x,y),且AB

→ =OA → +AP → =(1,-1)+λ(2,1)+μ(1,2), ∴OP ?x=1+2λ+μ, ?3μ=2y-x+3, ∴? ∴? ?y=-1+λ+2μ, ?3λ=2x-y-3, 又 1≤λ≤2,0≤μ≤1, ?0≤x-2y≤3, ∴? 表示的可行域是平行四边形及内部. ?6≤2x-y≤9 3 5 如图,点 B(3,0)到直线 x-2y=0 的距离 d= 5 .又|BN|= 5.

3 5 ∴区域 D 的面积 S= 5 × 5=3. 【答案】 3

1 15.在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点.若 sin∠BAM=3,则 sin∠ BAC=________. 1 2 2 【解析】 因为 sin∠BAM=3,所以 cos∠BAM= 3 .在△ABM 中,利用正 BM AM BM sin∠BAM 1 1 弦定理,得 =sin B,所以AM= sin B =3sin B= . sin∠BAM 3cos∠BAC CM 在 Rt△ACM 中,有 AM=sin∠CAM=sin(∠BAC-∠BAM).由题意知 BM= CM,所以 1 =sin(∠BAC-∠BAM). 3cos∠BAC

化简,得 2 2sin∠BACcos∠BAC-cos2∠BAC=1.

所以

2 2tan∠BAC-1 =1,解得 tan∠BAC= 2. tan2∠BAC+1

6 再结合 sin2∠BAC+cos2∠BAC=1,∠BAC 为锐角可解得 sin∠BAC= 3 . 【答案】 6 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) π 16.(本小题满分 12 分)函数 f(x)=Asin(ωx-6)+1(A>0,ω>0)的最大值为 3, π 其图象相邻两条对称轴之间的距离为2. (1)求函数 f(x)的解析式; π α (2)设 α∈(0,2),f(2)=2,求 α 的值. 【解】 (1)∵函数 f(x)的最大值为 3,

∴A+1=3,即 A=2. π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2, ∴最小正周期 T=π,∴ω=2, π ∴函数 f(x)的解析式为 y=2sin(2x-6)+1. α π (2)∵f(2)=2sin(α-6)+1=2, π 1 ∴sin(α-6)=2. π ∵0<α<2, π π π ∴-6<α-6<3, π π π ∴α-6=6,∴α=3. 17.(本小题满分 12 分)(2013· 北京高考)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B =2∠A, (1)求 cos A 的值;

(2)求 c 的值. 【解】 (1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A,

3 2 6 所以在△ABC 中,由正弦定理得sin A=sin 2A. 所以 2sin Acos A 2 6 6 = . 故 cos A = sin A 3 3.

6 3 (2)由(1)知 cos A= 3 ,所以 sin A= 1-cos2A= 3 . 1 又因为∠B=2∠A,所以 cos B=2cos2A-1=3. 2 2 所以 sin B= 1-cos2B= 3 . 在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+ 5 3 cos Asin B= 9 . asin C 所以 c= sin A =5. π? ? 18.(本小题满分 12 分)(2013· 广东高考)已知函数 f(x)= 2cos?x-12?,x∈ ? ? R. ? π? (1)求 f?-6?的值; ? ? π? 3 ?3π ? ? (2)若 cos θ=5,θ∈? 2 ,2π?,求 f?2θ+3?. ? ? ? ? 【解】 π? ? (1)因为 f(x)= 2cos?x-12?, ? ?

? π? ? π π? 所以 f?-6?= 2cos?-6-12? ? ? ? ? π 2 ? π? = 2cos?-4?= 2cos 4= 2× 2 =1. ? ? 3 ?3π ? (2)因为 θ∈? 2 ,2π?,cos θ=5, ? ? 所以 sin θ=- 1-cos2θ=- 4 ?3? 1-?5?2=-5, ? ?

7 ?3? cos 2θ=2cos2θ-1=2×?5?2-1=-25, ? ?

3 ? 4? 24 sin 2θ=2sin θcos θ=2×5×?-5?=-25. ? ? π? π π? ? ? 所以 f?2θ+3?= 2cos?2θ+3-12? ? ? ? ? π? ? 2 ? 2 ? = 2cos?2θ+4?= 2×? cos 2θ- sin 2θ? ? ? 2 ?2 ? 7 ? 24? 17 =cos 2θ-sin 2θ=-25-?-25?=25. ? ? 3x 3x x 19.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(cos 2 ,sin 2 ),b=(-sin 2,-cos x π ) ,其中 x ∈ [ 2 2,π]. (1)若|a+b|= 3,求 x 的值; (2)函数 f(x)=a· b+|a+b|2,若 c>f(x)恒成立,求实数 c 的取值范围. 【解】 3x x 3x x (1)∵a+b=(cos 2 -sin 2,sin 2 -cos 2), 3x x 3x x ?cos 2 -sin 2?2+?sin 2 -cos 2?2= 2-2sin 2x,

∴|a+b|=

1 由|a+b|= 3,得 2-2sin 2x= 3,即 sin 2x=-2. π ∵x∈[2,π],∴π≤2x≤2π. π π 7π 11π 因此 2x=π+6或 2x=2π-6,即 x=12或 x= 12 . 3x x 3x x (2)∵a· b=-cos 2 sin 2-sin 2 cos 2=-sin 2x, ∴f(x)=a· b+|c+b|2=2-3sin 2x, ∵π≤2x≤2π,∴-1≤sin 2x≤0, ∴2≤f(x)=2-3sin 2x≤5,∴[f(x)]max=5. 又 c>f(x)恒成立, 因此 c>[f(x)]max,则 c>5. ∴实数 c 的取值范围为(5,+∞). 20.(本小题满分 13 分)(2013· 湖北高考)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边 分别是 a,b,c,已知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小;

(2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值. 【解】 (1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,得

2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0. 1 解得 cos A=2或 cos A=-2(舍去). π 因为 0<A<π,所以 A=3. 1 1 3 3 (2)由 S=2bcsin A=2bc·2 = 4 bc=5 3,得 bc=20. 又 b=5,所以 c=4. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故 a= 21. b c bc 2 20 3 5 又由正弦定理,得 sin Bsin C=asin A· sin A=21×4=7. asin A= a2 · 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围. 【解】 (1)∵曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),

∴b=d=2. ∵f′(x)=2x+a,故 f′(0)=a=4. ∵g′(x)=ex(cx+d+c), ∴g′(0)=2+c=4,故 c=2. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)令 F(x)=kg(x)-f(x),则 F′(x)=(kex-1)(2x+4), 由题设可得 F(0)≥0,故 k≥1, 令 F′(x)=0 得 x1=-ln k,x2=-2, ①若 1≤k<e2,则-2<x1≤0, 从而当 x∈[-2,x1)时,F′(x)<0, 当 x∈(x1+∞)时,F′(x)>0,
2 即 F(x) 在 [ - 2 ,+ ∞) 上最小值为 F(x1) = 2x1 + 2 - x 1 - 4x1 - 2 =- x1(x1 +

2)≥0,此时 f(x)≤kg(x)恒成立;

②若 k=e2,F′(x)=(ex+2-1)(2x+4), 故 F(x)在[-2,+∞)上单调递增, 因为 F(-2)=0,所以 f(x)≤kg(x)恒成立; ③若 k>e2,则 F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0, 从而当 x∈[-2,+∞)时, f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 综上所述 k 的取值范围为[1,e2].


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