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数列的通项公式及求和公式


数列的通项公式及求和公式 数列的通项公式求法 一、公式法 当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数

列的通项公式,只需求得首项及公差公比。 例 1: 已知数列{an}满足 an+1=an-2,a1=3,求通项

例 2. 等差数列 ?an ?是递减数列,且 a2 ? a3 ? a4 =48, a2 ? a3 ? a4 =12,则数列的通 项公式是( ) (D) an ? ?2n ? 10

(A) an ? 2n ? 12 (B) an ? 2n ? 4 (C) an ? ?2n ? 12

二、 叠加法 一般地,对于型如 an?1 ? an ? f (n) 类的通项公式,只要 f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) 能进行求和,则宜采用此方法求解。 例 3:已知数列 6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项。

例 4. 若在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? n ,求通项 an 。

三、 叠乘法一般地, 对于型如 an?1 = f (n)· 当 f (1) ? f (2)? ? f (n) an 类的通项公式, 的值可以求得时,宜采用此方法。 例 5:在数列{ an }中, a1 =1, (n+1)· an?1 =n· an ,求 an 的表达式。

四、Sn 法利用 an ? S n ? S n?1 ( n ≥2) 点评:要先分 n=1 和 n ? 2 两种情况分别进行运算,然后验证能否统一。 例 6. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? ,前 n 项和 S n 与 an 的关系是 S n ? n(2n ? 1)an , 试求通项公式 an 。
1 3

1

五、代入法或者待定系数法:形如 an?1 ? can ? d , (c ? 0 ,其中 a1 ? a )型变形为
an?1 ? ? ? c(an ? ? )

例 7、已知数列 {an } 中,a1 ? 2, an ?1 ? an ? , 证明{ an ? 1}是等比数列,并求 an 通项

1 2

1 2

例 8:已知数 {an} 的递推关系为 an ?1 ? 2an ? 1,且 a1 ? 1 求通项 an 。

求和公式
一、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项) 分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的。 (1) a n ?
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(2) an ?

1 1?1 1 ? ? ? ? ?; n?n ? k ? k ? n n ? k ?

(3) an ?

1 1 ? n?k ? n k

?

n?k ? n .

?

例 1、如果数列{ (A)11

1 n ? n ?1

}的前 n 项之和为 10,那么 n=………………(



(B)99(C)120(D)121

例 2、等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , (I)求 ?an ? 的通项公式;(II)设 bn ?
1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

2

二、错位相减法求和: 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求各项是由一 个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn } 分别是等差数列和等比数列。

例 3、设 S n 为数列{ a n }的前项和,已知 a1 ? 0 ,2 a n ?a1 ? S1 ? S n , n ? N ? (Ⅰ)求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{ na n }的前 n 项和.

三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法, 就是将一个数列倒过来排列 (反序) , 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) 。 例 4、求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值

四、绝对值求和 例 5、在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (Ⅰ)求 d,an; (Ⅱ) 若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|++|an| .

3

五、分组法求和 有一类数列, 既不是等差数列, 也不是等比数列, 若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、 等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。形如:
??a n ?是等差数列; ① ?an ? bn ?,其中 ? ??bn ?是等比数列;
? f ?n ?, n ? 2k ? 1, ② an ? ? ? ? g ?n ?, n ? 2k , k ? N

例 6 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 3n ? 1, 求数列 ?an ? 的前 n 项和.

例 7、求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

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