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推荐下载 高中数学新人教A版必修5教案 3-2 一元二次不等式及其解法第2课时

一元二次不等式及其解法(第二课时) 教学目标:
1、知识与技能目标: (1)理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系. (2)熟练掌握一元二次不等式的解法. (3)掌握含参数的一元二次不等式的解法及简单的不等式中的恒成立问题的解题方法. (4)培养学生数形结合的能力,分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能 力; 2、过程与方法目标:培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力. 3、情感态度价值观目标:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神, 同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 教学重难点: 1、一元二次不等式的解法. 2、含参数的一元二次不等式以及不等式中的恒成立问题. 教学方法:情景教学法、问题教学法、引探式教学法。 教学过程: 一、复习回顾,引入新课 1、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系是什么?

? ? b2 ? 4ac

? ?0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象

? ?0

? ?0

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 不 相 等 的 两 实 根

的根

x1 、x(2 x1 ? x2 )

相等的两实根

x1

?

x2

?

?

b 2a

无实根

? ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) x x ? x1或x ? x2
的解集

R

??x ?

x

?

?

b?

2a

? ?

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

?

?

2、解一元二次不等式的基本步骤是什么?
(1)化不等式为标准形式: ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 或 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 。

(2)求方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根。

(3)画出函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图像。
(4)由图像找出不等式的解集。 即:转化、求根、画图、找解。 二、讲授新课: 例题 1. 一元二次不等式的解法:

解不等式: 3x2 ? 7x ? 10
教师展示做题步骤:

解:原不等式可化为: 3x2 ? 7x ?10 ? 0

因为 3x2

? 7x ?10

?

0

的两根分别为

x1

?

?1 、

x2

?

10 3

所以原不等式的解集为

??x ?

?1

?

x

?

10 3

? ? ?

变式训练:解下列不等式:

(1) ? 2x2 ? 4x ? 4 ? 0
学生演板:

(2) ? 2x2 ? x ? ?3

(1) 解:原不等式可化为: x2 ? 2x ? 2 ? 0

因为 ? ? (?2)2 ? 4? 2 ? ?4 ? 0

所以原不等式的解集为 ? 学生复述做题过程:

(2)解:原不等式可化为: 2x2 ? x ? 3 ? 0

因为 2x2

?

x?3

?

0

的两根分别为

x1

?

?1 、

x2

?

3 2

所以原不等式的解集为

??x ?

x

?

?1或x

?

10?

3

? ?

例题 2. 已知解集,求参数的取值或取值范围。

? ? 关于 x 的不等式 x2 ? ax ? b ? 0 的解集为 x1 ? x ? 2 ,则 a ? b ?



师生共同参与:

解:由题意可知:方程 x2 ? ax ? b ? 0 的两根分别为 x1 ? 1、 x2 ? 2
由根与系数的关系可得:
1? 2 ? ?a ,1?2 ? b 所以 a ? ?3, b ? 2
? ? 变式训练:关于 x 的不等式 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 x x ?1或x ? b ,求 a 、b 的值。

学生先讨论,再做题,并复述做题过程:

解:由题意可知: ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根分别为: x1 ? 1 、 x2 ? b

并且 a ? 0

由根与系数的关系得:

1? b ? 3 ,1?b ? 2

a

a

所以 a ?1 , b ? 2 .

例题 3. 不等式中的恒成立问题。 师生共同参与:
例题:如果关于 x 的不等式: (a ? 2)x2 ? 2(a ? 2)x ? 4 ? 0 的解集为 R,求实数 a 的取
值范围.
解:当 a ? 2 时,原不等式可化为: ? 4 ? 0 ,恒成立;

?a ? 2 ? 0 当 a ? 2 时,应满足: ??? ? 4(a ? 2)2 ?16(a ? 2) ? 0
即?a ? 2 ? a ? 2? ? ? 综上:实数 a 的取值范围为 a ? 2 ? x ? 2
备用练习:不等式 mx2 ? 4x ?1 ? 0 的解集为 R,求 m 的取值范围 。
学生演版,并找其他同学进行评价:
解:当 m ? 0 原不等式可化为: ? 4x ?1 ? 0 与题意不符;

?m ? 0

当 m ? 0 应满足:

? ??

?

(?4)2

?

4m

?

0

解得: m ? 4

? ? 故 m 的求取值范围为 m m ? 4

三、课堂小结: 1、一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系; 2、解一元二次不等式的一般步骤; 3、一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系的应用; 4、与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法。
四、布置作业: 1、必做题 解下列不等式:

(1) ? x2 ? 3x ? 4 ? 0
2、选做题

(2) ? x2 ? 2x ? ?3

(1)若函数 y ? mx2 ? 4x ?1 对一切 x ? R 都有意义,求 m 的取值范围。 (2)若函数 y ? log 2 (mx 2 ? 4x ?1) 的定义域为 R,求 m 的取值范围。
3、创做题

板书设计

一元二次不等式及其解法

1、一元二次不等式的解题步骤

2、典型例题

例题1

例题2

3、学生练习

练习1

练习2

4、课堂小结

例题3 练习3

教学反思:
1、学生在学习过程中出现了解题时步骤不完善的情况,从而导致解题的错误了,这本身是
不完善的地方,但是如果能够利用这一点对学生进行规范解题方面的教育,使学生能够深刻
认识到这个问题,反而成为成功的环节。
2、学生在解关于不等式恒成立问题时出现的问题是一种普遍现象,往往会丢掉其中一种情 况,有待继续培养学生严谨的学习态度和学习作风。精品推荐 强力推荐 值得拥有
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