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2015-2016学年广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试数学文试卷


2015-2016 学年广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试数学文试卷
本试卷由两部分组成。第一部分:本学期前基础知识和能力考查,共 知识考查,共 10 分。 全卷共计 150 分。考试时间为 120 分钟。 140 分;第二部分:本学期

注意事项:
1、答题前,考生务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上。 2、选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后, 再涂其它答案,不能答在试题卷上。 3、考试结束,监考人员将答题卡收回。

第一部分

基础知识和能力部分(140 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知 U ? ?2,3,4,5,6,7?, M ? ?3,4,5,7? , N ? ?2,4,5,6?,则( A. M ? N ? ?4,6? 2.若复数 A.-2 ) D. (Cu M ) ? N ? N

B. M ? N? U C. (Cu N ) ? M ? U


是纯虚数,则实数 a 的值为( B.4

C.-6
)

D.6

? x ? 1, ? 3.已条变量 x , y 满足 ? y ? 2, 则 x ? y 的最小值是( ? x ? y ? 0, ?
A.4 B.3 C.2

D.1 ) D. 7 ) D.243

? ? ? ? ? ? o 4.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , a ? 2 , b ? 1 则 a ? b 等于(
A.7 B. 3 C.3

5.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( A.64 B.81 6.如右图为一个几何体的 三视图,其中俯视图为 正三角形,A1B1=2,AA1=4, 则该几何体的表面积为( ) A. 6+ 3 C.24+2 3 B .24+ 3 D.32 A C 正视图 B C.128 C1

A1

B1

侧视图

俯视图

7.给出计算

1 1 1 1 ? ? ??? 的值的 2 4 6 20
-1-

一个程序框图如右图,其中判断框内应填入的

条件是( A. i ? 10 C. i ? 20

) . B. i ? 10 D. i ? 20 )

8.一个正方体的顶点都在球面上, 此球与正方体的表面积之比是( A. ? 3 C. ?
2

B. ? 4 D.

?
1 , 则 m ?( 5
( ) A. 1

9. 已知双曲线 9 y 2 ? m2 x2 ? 1(m ? 0) 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 B.2 C.3 D.4

? ? ?? 2 10. 已知 ? , ? ? ? - , ? , 且 tana, tan ? 是方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根, 则 ? ? ? 等于 ? 2 2?

) A.

? 2? ? 2? 或? D. ? 或 3 3 3 3 1 1 11. 已知 log a > log b >0,则 a、b 满足( ) 3 3
B. ?

2? 3

? 3

C.

A. 0<b<a<1

B.1<a<b

C.0<a<b<1

D.1<b<a

1 x 1 12 .已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (1) ? 1 ,且 f ( x ) 的导函数 f ?( x) ? ,则 f ( x) ? ? 的解集为 ( ) 2 2 2
A. x ?1 ? x ? 1

?

?

B. x x ? ?1

?

?

C. x x ? ?1或x ? 1

?

?

D. x x ? 1

?

?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. 取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位 置剪断,那么被剪得的两段绳长都不小于 1m 的概率 是 .

, 2, 3, ?) 14.数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 , 且 a1,a2,a3 成
公比不为 1 的等比数列.则实数 c 的值为 .

15. 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax 2 相切,则 a ? ______ . 16. f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数, f ? x ? 3? ? ?

1 , 又当 ? 3 ? x ? ?2时, f ? x ? ? 2 x 则 f (11.5) = f ? x?

三、解答题:本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分 17. (本小题满分 12 分)在三角形 ABC 中,a,b,c 分别为角 A、B、C 的对边, (Ⅰ)若 sin(B ? C) ? 3cosA ? 0 , 求角 A 的大小; (Ⅱ)若 A ?
?
3

, a ? 3,b ? 2 ,求三角形 ABC 的面积。

18. (本小题满分 12 分)某高校在 2016 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩 分组,得到的频率分布表如下左图所示. (Ⅰ)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图;
-2-

(Ⅱ)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进 入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (Ⅲ)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试, 求第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率? 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.000


?160,165?

?165,170? ?170,175? ?175,180?
[180,185]

AB ? 2 , ?PAC 和 ?PBC 是边长为 2 的等边三角形, O, D 19. (本小题满分 12 分) 在三棱锥 P ? ABC 中,
分别是 AB, PB 的中点. (Ⅰ)求证: OD ∥平面 PAC ; (Ⅱ)求证:平面 PAB ⊥平面 ABC ; (Ⅲ)求三棱锥 P ? ABC 的体积.

P

D A

C
O
B
20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C . (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 A,B 两点.k 为何值时 OA ? OB ? 21. (本小题满分 12 分)已知函数

??? ?

??? ?

f ( x) ? ln x ? ax (a ? R, a ? 0)

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,讨论 f ( x ) 在定义域上的单调性; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最小值是

3 , 求实数 a 的值。 2
-3-

第二部分

本学期知识和能力部分(10 分)

本学期学习的不等式、几何、极坐标与参数方程选讲三选一题
请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22.(本小题满分 10 分)选修 4 — 1:几何证明选讲 P 如图,已知 AP 是⊙O 的切线, P 为切点, AC 是⊙O 线, 与⊙O 交于 B,C 两点, 圆心 O 在 ?PAC 的内部,

M 是 BC 的中点. ,P,O,M 四点共圆; (Ⅰ)证明 A
(Ⅱ)求 ?OAM ? ?APM 的大小. 23.(本小题满分 10 分)选修 4 — 4: 坐标系与参数方程

A

的割 点

O
B M

C

? 2 t ?x ? ? ? 2 (t是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) . 已知直线 l 的参数方程是 ? 4 2 ? y ? t ? 4 2 ? 2 ?
(Ⅰ)求圆心 C 的直角坐标; (Ⅱ)由直线 l 上一点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4 —5: 不等式证明选讲 已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-3|+a。 (Ⅰ)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥6; (Ⅱ)若不等式 f(x)≥ a 2 对一切实数 x 恒成立时,求实数 a 的取值范围。

参考答案

BCCBA CACDB AD

13. 3

1

14.2

15.

1 4

16.

1 5

17.本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识.满分 12 分. 解: (1)因为 sin(B ? C ) ? sinA 所以 tanA= 3 又 ? A ? (0, ? ),? A ? (2). -----2 分 ------4 分

?
3

.

------6 分

由正弦定理得:sinB=1, 所以 c=1

B ? (0, ? ), B ? ? 2

------9 分 . ------ 10 分

S?ABC ? 1 2 bcsinA ?

3 2

.

------ 12 分 ……………… 1 分

18. 解: (1)由题可知,第 2 组的频数为 0.35 ?100 ? 35 人,

-4-

第 3 组的频率为 频率分布直方图如下:

30 ? 0.300 , 100

……………… 2 分 ……………… 5 分

(2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组分别为:第 3

30 ? 6 ? 3 人, ……… 6 分 60 20 ? 6 ? 2 人, 第 4 组: ……… 7 分 60 10 ? 6 ? 1 人, 第 5 组: ……… 8 分 60
组: 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人。 (3)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 ,第 5 组的 1 位同学为 C1 , 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下:

( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , C1 ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ),
第 4 组至少有一位同学入选的有: …………… 10 分

( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ), ( B1 , B2 ), ( A3 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), 9 种可能。
所以其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的概率为

9 3 ? ………… 12 分 15 5

19.(共 12 分) (Ⅰ)? O, D 分别为 AB, PB 的中点,

? OD ∥ PA
又 PA ? 平面 PAC , OD ? 平面 PAC
-5-

?OD ∥平面 PAC .
(Ⅱ)连结 OC , OP

----------4 分

? AC ? CB ? 2 , O 为 AB 中点, AB ? 2 ,
?OC ⊥ AB , OC ? 1 .
同理, PO ⊥ AB , PO ? 1 . 又 PC ? 2 ,

? PC 2 ? OC 2 ? PO2 ? 2 , ??POC ? 90? .
? PO ⊥ OC .
? PO ⊥ OC , PO ⊥ AB , AB ? OC ? O ,

? PO ⊥平面 ABC .
PO ? 平面 PAB
? 平面 PAB ⊥平面 ABC .
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 OP 垂直平面 ABC ----------8 分

? OP 为三棱锥 P ? ABC 的高,且 OP ? 1

? VP ? ABC ?

1 1 1 1 S? ABC ? OP ? ? ? 2 ?1?1 ? . 3 3 2 3

----------12 分

20.本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识,考查综合运用 解析几何知识解决问题的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点,长半轴为 2 的椭圆.它 的短半轴 b ?

22 ? ( 3) 2 ? 1
2

………… 3 分

故曲线 C 的方程为 x ?

y2 ? 1. 4

……… 6 分

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 ? 1, ?x ? 4 ? ? y ? kx ? 1. ?
消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0
2 2

………… 8 分

故 x1 ? x2 ? ?

??? ? ??? ? OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 . k ?4 k ?4
2

………… 10 分
-6-

而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 , 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 所以 k ? ?

3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 ? ? ? 1 ? . k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4

??? ? ??? ? 1 时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,故 OA ? OB . ………… 12 分 2 1 1 1 x ?1 21.解:⑴当 a ? ?1 时, f ( x ) ? ln x ? , ∴ f ?( x) ? ? 2 ? 2 ………… 2 分 x x x x
∵ x ? 0, ∴ f ( x ) 在区间 (0,1) 上递减,在区间 (1, ??) 上递增。 ⑵由已知 f ?( x) ? ……6 分

x?a ,①当 a ? ?1 时,而 x ? 1, ∴ x ? a ? a ? 1 ? 0, x2 3 3 ∴ f ( x ) 在 [1, e] 上递增,于是 f ( x) min ? f (1) ? ? a ? , 有 a ? ? 不成立……8 分 2 2
②当 a ? ? e 时,而 x ? e, ∴ x ? a ? e ? a ? 0, ∴ f ( x ) 在 [1, e] 上递减, 于是 f ( x) min ? f (e) ? 1 ?

a 3 e ? , 有 a ? ? 不成立。 e 2 2

……10 分

③当 ?e ? a ? ?1 时,在区间 [1, ?a] 上, a ? 1 ? x ? a ? 0, 则 f ?( x) ? 0, ∴ f ( x ) 递减, 在区间 (?a, e] 上, 0 ? x ? a ? a ? e, 则 f ?( x) ? 0, ∴ f ( x ) 递增,

3 ∴ f ( x) min ? f (?a) ? ln(?a) ? 1 ? , ∴ a ? ? e 2
综上所述得:实数 a ? ? e 。 ……12 分

22. (Ⅰ)证明:连结 OP,OM . 因为 AP 与⊙O 相切于点 P ,所以 OP ? AP . 因为 M 是⊙O 的弦 BC 的中点,所以 OM ? BC . 于是 ?OPA ? ?OMA ? 180° . ,P,O,M 四点共圆. 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知四边形 APOM 的对角互补,所以 A ,P,O,M 四点共圆,所以 ?OAM ? ?OPM . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A 由(Ⅰ)得 OP ? AP . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知 ?OPM ? ?APM ? 90° . 所以 ?OAM ? ?APM ? 90° .

P

A
23.(I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,

O
B M

? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? , ?圆C的直角坐标方程为 x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 ,
2 2

C

-7-

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ). 2 2 2 2 (II) :直线 l 上的点向圆 C 引切线长是
即 (x ?

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2 ∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 (
∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 12 ? 2 6

1 ? x?? ?? 4 x ? 2 2 ? 1 3 ? ? ? x? 24。(1)当 a=0 时,求得 f ( x ) ? ? 4 2 2 ? 3 ? 4x ? 2 x? ? 2 ?
? f ( x ) ? 6 ? x ? ?1, x ? 2
所以,不等式的解集是 ( ?? ,?1] ? [2,?? )

1 ? x?? ?? 4 x ? 2 ? a 2 ? 1 3 ? (2) f ( x ) ? ? 4 ? a 的最小值是 4 ? a ? ? x? 2 2 ? 3 ? 4x ? 2 ? a x? ? 2 ?
要使不等式 f(x)≥ a 2 恒成立, 4 ? a ? a 2 ?

1 ? 17 1 ? 17 ?a? 2 2

-8-


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