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【步步高】2016高考数学大一轮复习 3.2导数与函数的单调性、极值、最值学案 理 苏教版


学案 14

导数在研究函数中的应用

导学目标: 1.了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函 数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件,会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值.

自主梳理 1.导数和函数单调性的关系: (1)对于函数 y=f(x),如果在某区间上 f′(x)>0,那么 f(x)为该区间上的________; 如果在某区间上 f′(x)<0,那么 f(x)为该区间上的________. (2)若在(a, b)的任意子区间内 f′(x)都不恒等于 0, f′(x)≥0?f(x)在(a, b)上为____ 函数,若在(a,b)上,f′(x)≤0,?f(x)在(a,b)上为____函数. 2.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧________,右侧________,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧________,右侧________,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x); ②求方程________的根; ③检查 f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负,那么 f(x)在这个根 处取得________;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得________. 3.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)上的________; (2)将函数 y=f(x)的各极值与________比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个 是最小值. 自我检测 1.(2010·济宁一模)已知函数 y=f(x),其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则关于 y=f(x)下列说法正确的是________(填序号).

①在(-∞,0)上为减函数; ②在 x=0 处取极小值; ③在(4,+∞)上为减函数; ④在 x=2 处取极大值. x 2.(2009·广东改编)函数 f(x)=(x-3)e 的单调递增区间为______________. 3 3 . 函 数 f(x) = x + ax - 2 在 区 间 (1 , + ∞) 上 是 增 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围 为 ______________. 4 4. 设 p: f(x)=x3+2x2+mx+1 在(-∞, +∞)内单调递增, q: m≥ , 则 p 是 q 的________ 3 条件. 3 2 2 5.(2010·福州模拟)已知函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处取极值 10,则 f(2)= ________.

1

探究点一 函数的单调性 2 x 例 1 已知 a∈R,函数 f(x)=(-x +ax)e (x∈R,e 为自然对数的底数). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围; (3)函数 f(x)能否为 R 上的单调函数,若能,求出 a 的取值范围;若不能,请说明理由.

变式迁移 1 (2009·浙江)已知函数 f(x)=x +(1-a)x -a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间(-1,1)上不单调,求 a 的取值范围.

3

2

探究点二 函数的极值 4 3 例 2 若函数 f(x)=ax -bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个零点,求实数 k 的取值范围.

变式迁移 2 设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=aln x+bx +x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.

2

探究点三 求闭区间上函数的最值 3 2 例 3 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y 2 +1=0,若 x= 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

变式迁移 3 已知函数 f(x)=ax +x +bx(其中常数 a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是 奇函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.

3

2

2

分类讨论求函数的单调区间 1 2 例 (14 分)(2009·辽宁)已知函数 f(x)= x -ax+(a-1)ln x,a>1. 2 (1)讨论函数 f(x)的单调性; f?x1?-f?x2? (2)证明:若 a<5,则对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,有 >-1. x1-x2 【答题模板】 (1)解 f(x)的定义域为(0,+∞). a-1 x2-ax+a-1 ?x-1??x+1-a? f′(x)=x-a+ = = .[3 分]

x

x

x

?x-1? ①若 a-1=1,即 a=2 时,f′(x)= .

2

x

故 f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②若 a-1<1,而 a>1,故 1<a<2 时,则当 x∈(a-1,1)时,f′(x)<0;当 x∈(0,a-1) 及 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1),(1,+∞) 上单调递增. ③若 a-1>1,即 a>2 时,同理可得 f(x)在(1,a-1)上单调递减, 在(0,1),(a-1,+∞)上单调递增.[7 分] 1 2 (2)证明 考虑函数 g(x)=f(x)+x= x -ax+(a-1)ln x+x. 2 则 g′(x)=x-(a-1)+
2

a-1 ≥2 x



a-1 -(a-1) x

=1-( a-1-1) . 由于 1<a<5,故 g′(x)>0,即 g(x)在(0,+∞)上单调递增, 从而当 x1>x2>0 时,有 g(x1)-g(x2)>0, 即 f(x1)-f(x2)+x1-x2>0, f?x1?-f?x2? 故 >-1.[12 分] x1-x2 f?x1?-f?x2? f?x2?-f?x1? 当 0<x1<x2 时,有 = >-1. x1-x2 x2-x1 f?x1?-f?x2? 综上,若 a<5,对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2 有 >-1.[14 分] x1-x2 【突破思维障碍】 (1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于 0 或小于 0 的不等式的解集,一般就是 归结为一个一元二次不等式的解集的讨论, 在能够通过因式分解得到导数等于 0 的根的情况 下,根的大小是分类的标准; (2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数,通过函数研究函数的性质进而 解决不等式问题. 1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法: (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求 f′(x),令 f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实根; (3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大 的顺序排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间; (4)确定 f′(x)在各个开区间内的符号,根据 f′(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应
3

小开区间内的增减性. 2.可导函数极值存在的条件: (1)可导函数的极值点 x0 一定满足 f′(x0)=0,但当 f′(x1)=0 时,x1 不一定是极值 3 点.如 f(x)=x ,f′(0)=0,但 x=0 不是极值点. (2)可导函数 y=f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0,且在 x0 左侧与右侧 f′(x)的符号不同. 3.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较 极值点附近的函数值得出来的.函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区 间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能 成为最值,最值只要不在端点必定是极值. 4.求函数的最值以导数为工具,先找到极值点,再求极值和区间端点函数值,其中最 大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.(2011·泰州实验一模)函数 f(x)=x-ln x 的单调减区间为________. 3 2 2.已知函数 f(x)=2x -6x +m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[- 2,2]上的最小值是______. 3.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则 函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为________.

4.(2011·苏州模拟)若函数 y=a(x -x)在区间?-
3

? ?

3 3? , ?上为减函数,则 a 的取值 3 3?

范围为________. ax 5.设 a∈R,若函数 y=e +3x,x∈R 有大于零的极值点,则 a 的取值范围为________. 1 3 2 6.(2011·聊城一模)若 a>2,则函数 f(x)= x -ax +1 在区间(0,2)上有________个 3 零点. 7.已知函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,给出以下结论:

①函数 f(x)在(-2,-1)和(1,2)上是单调递增函数; ②函数 f(x)在(-2,0)上是单调递增函数,在(0,2)上是单调递减函数; ③函数 f(x)在 x=-1 处取得极大值,在 x=1 处取得极小值; ④函数 f(x)在 x=0 处取得极大值 f(0). 则正确命题的序号是________.(填上所有正确命题的序号). 3 2 8. 已知函数 f(x)=x +mx +(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值, 则实数 m 的取值 范围为________. 二、解答题(共 42 分)
4

2x+1 9.(12 分)求函数 f(x)= 2 的极值. x +2

10.(14 分)(2010·秦皇岛模拟)已知 a 为实数,且函数 f(x)=(x -4)(x-a). (1)求导函数 f′(x); (2)若 f′(-1)=0,求函数 f(x)在[-2,2]上的最大值、最小值.

2

11. (16 分)已知函数 f(x)=x +mx +nx-2 的图象过点(-1, -6), 且函数 g(x)=f′(x) +6x 的图象关于 y 轴对称. (1)求 m,n 的值及函数 y=f(x)的单调区间; (2)若 a>0,求函数 y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.

3

2

答案 自主梳理 1.(1)增函数 减函数 (2)增 减 2.(1)①f′(x)>0 f′(x)<0 ②f′(x)<0 f′(x)>0 (2)②f′(x)=0 ③f′(x)=0 极大值 极小值 3.(1)极值 (2)f(a) , f(b) 自我检测 1.③ 2.(2,+∞) 3.[-3,+∞) 4.充要 5.18 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)一般地,涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题,往 往可以借助导数这一重要工具进行求解.函数在定义域内存在单调区间,就是不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 在定义域内有解.这样就可以把问题转化为解不等式问题. (2)已知函数在某个区间上单调求参数问题,通常是解决一个恒成立问题,方法有①分 离参数法,②利用二次函数中恒成立问题解决. (3)一般地,可导函数 f(x)在(a,b)上是增(或减)函数的充要条件是:对任意 x∈(a, b),都有 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0),且 f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于零.特 别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时,要注意“等号”是否可以取到. 2 x 解 (1)当 a=2 时,f(x)=(-x +2x)e , x 2 x 2 x ∴f′(x)=(-2x+2)e +(-x +2x)e =(-x +2)e . 2 x 令 f′(x)>0,即(-x +2)e >0, x 2 ∵e >0,∴-x +2>0, 解得- 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(- 2, 2). (2)∵函数 f(x)在(-1,1)上单调递增, ∴f′(x)≥0 对 x∈(-1,1)都成立. 2 x ∵f′(x)=[-x +(a-2)x+a]e , 2 x ∴[-x +(a-2)x+a]e ≥0 对 x∈(-1,1)都成立. x ∵e >0, 2 ∴-x +(a-2)x+a≥0 对 x∈(-1,1)都成立, 2 即 x -(a-2)x-a≤0 对 x∈(-1,1)恒成立. 2 设 h(x)=x -(a-2)x-a,
5

只需满足?

?h?-1?≤0 ? ?h?1?≤0 ?

3 ,解得 a≥ . 2

(3)若函数 f(x)在 R 上单调递减, 则 f′(x)≤0 对 x∈R 都成立, 2 x 即[-x +(a-2)x+a]e ≤0 对 x∈R 都成立. x 2 ∵e >0,∴x -(a-2)x-a≥0 对 x∈R 都成立. 2 2 ∴Δ =(a-2) +4a≤0,即 a +4≤0,这是不可能的. 故函数 f(x)不可能在 R 上单调递减. 2 x 若函数 f(x)在 R 上单调递增, 则 f′(x)≥0 对 x∈R 都成立, 即[-x +(a-2)x+a]e ≥0 对 x∈R 都成立. x 2 ∵e >0,∴x -(a-2)x-a≤0 对 x∈R 都成立. 2 而 x -(a-2)x-a≤0 不可能恒成立, 故函数 f(x)不可能在 R 上单调递增. 综上可知函数 f(x)不可能是 R 上的单调函数. 2 变式迁移 1 解 (1)由题意得 f′(x)=3x +2(1-a)x-a(a+2), ?f?0?=b=0 ? 又? , ?f′?0?=-a?a+2?=-3 ? 解得 b=0,a=-3 或 a=1. (2)由 f′(x)=0,得 x1=a,x2=- 又 f(x)在(-1,1)上不单调, -1<a<1, ? ? 即? a+2 a≠- ? 3 ? -1<a<1, ? ? 解得? 1 ?a≠-2 ?

a+2
3

.

a+2 -1<- <1, ? ? 3 或? a+2 a≠- . ? ? 3
-5<a<1, ? ? 或? 1 ?a≠-2. ?

1 1 所以 a 的取值范围为(-5,- )∪(- ,1). 2 2 例 2 解题导引 本题研究函数的极值问题. 利用待定系数法, 由极值点的导数值为 0, 以及极大值、极小值,建立方程组求解.判断函数极值时要注意导数为 0 的点不一定是极值 点, 所以求极值时一定要判断导数为 0 的点左侧与右侧的单调性, 然后根据极值的定义判断 是极大值还是极小值. 2 解 (1)由题意可知 f′(x)=3ax -b.

f′?2?=12a-b=0 ? ? 于是? 4 f?2?=8a-2b+4=- ? 3 ?

1 ? ?a= , ,解得? 3 ? ?b=4

1 3 故所求的函数解析式为 f(x)= x -4x+4. 3 2 (2)由(1)可知 f′(x)=x -4=(x-2)(x+2). 令 f′(x)=0 得 x=2 或 x=-2, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示: x (-∞,-2) -2 (-2,2) f′(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值 单调递减

2 0 极小值

(2,+∞) + 单调递增
6

因此,当 x=-2 时, 28 f(x)有极大值 , 3 4 当 x=2 时,f(x)有极小值- , 3 所以函数的大致图象如图,

故实数 k 的取值范围为 4 28 (- , ). 3 3 变式迁移 2 解 (1)f′(x)= +2bx+1,

a x

f′?1?=a+2b+1=0 ? ? ∴? a f′?2?= +4b+1=0 ? 2 ?

2 1 .解得 a=- ,b=- . 3 6

2 x ?x-1??x-2? (2)f′(x)=- +(- )+1=- . 3x 3 3x 函数定义域为(0,+∞),列表 x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ∴x=1 是 f(x)的极小值点,x=2 是 f(x)的极大值点. 例 3 解题导引 设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上 的最大值和最小值的步骤: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值. (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值. 3 2 解 (1)由 f(x)=x +ax +bx+c, 2 得 f′(x)=3x +2ax+b, 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0;① 2 ?2? 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f′? ?=0, 3 ?3? 可得 4a+3b+4=0.② 由①②解得 a=2,b=-4, 又切点的横坐标为 x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5. 3 2 (2)由(1),得 f(x)=x +2x -4x+5, 2 ∴f′(x)=3x +4x-4. 2 令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x= , 3

7

2? ? ∴f′(x)<0 的解集为?-2, ?,即为 f(x)的减区间. 3? ? 2 ? ? [-3,-2)、? ,1?是函数的增区间. ?3 ? ?2? 95 又 f(-3)=8,f(-2)=13,f? ?= ,f(1)=4, ?3? 27 95 ∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 . 27 2 变式迁移 3 解 (1)由题意得 f′(x)=3ax +2x+b. 3 2 因此 g(x)=f(x)+f′(x)=ax +(3a+1)x +(b+2)x+b. 因为函数 g(x)是奇函数, 所以 g(-x)=-g(x),即对任意实数 x, 3 2 有 a(-x) +(3a+1)(-x) +(b+2)(-x)+b 3 2 =-[ax +(3a+1)x +(b+2)x+b], 1 从而 3a+1=0,b=0,解得 a=- ,b=0, 3 1 3 2 因此 f(x)的表达式为 f(x)=- x +x . 3 1 3 (2)由(1)知 g(x)=- x +2x, 3 2 所以 g′(x)=-x +2, 令 g′(x)=0, 解得 x1=- 2,x2= 2, 则当 x<- 2或 x> 2时,g′(x)<0, 从而 g(x)在区间(-∞,- 2),( 2,+∞)上是减函数; 当- 2<x< 2时,g′(x)>0, 从而 g(x)在区间(- 2, 2)上是增函数. 由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在 x=1, 2,2 时取得, 5 4 2 4 而 g(1)= ,g( 2)= ,g(2)= . 3 3 3 4 2 因此 g(x)在区间[1,2]上的最大值为 g( 2)= , 3 4 最小值为 g(2)= . 3 课后练习区 1.(0,1) 2.-37 3.1 4.(0,+∞) 5.a<-3 ax 解析 ∵y′=ae +3, 1 3 由 y′=0 得 x= ln(- ),

a

a

3 ∴- >0,即 a<0.

a

a<0 ? ? 又∵极值点大于零,即 x>0,∴? 3 0<- <1 ? a ?



得 a<-3. 6.1 2 解析 f′(x)=x -2ax=x(x-2a)=0? x1=0,x2=2a>4,易知 f(x)在(0,2)上为减函
8

11 1 3 2 -4a<0,由零点判定定理知,在函数 f(x)= x -ax +1 在区 3 3 间(0,2)上恰好有 1 个零点. 7.②④ 解析 观察函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象,由单调性、极值与导数值的关系直接判 断. 8.(-∞,-3)∪(6,+∞) 2 2 解析 f′(x)=3x +2mx+m+6=0 有两个不等实根,则 Δ =4m -12×(m+6)>0, ∴m>6 或 m<-3. 2x+1 -2?x+2??x-1? 9 . 解 f′(x) = ( 2 )′ = , 由 f′(x) = 0 得 x = - 2 2 x +2 ?x +2? 2,1.?????(4 分) 当 x∈(-∞,-2)时 f′(x)<0,当 x∈(-2,1)时 f′(x)>0,故 x=-2 是函数的极小 值 点 , 故 f(x) 的 极 小 值 为 f( - 2) = - 1 ;????????????????????????(8 分) 2 当 x∈(-2,1)时 f′(x)>0,当 x∈(1,+∞)时 f′(x)<0, 故 x=1 是函数的极大值点, 所以 f(x)的极大值为 f(1)=1.??????????????????????? (12 分) 3 2 10.解 (1)由 f(x)=x -ax -4x+4a, 2 得 f′(x)=3x -2ax-4.?????????????????????????(4 分) 1 (2)因为 f′(-1)=0,所以 a= , 2 1 3 2 2 所以 f(x)=x - x -4x+2,f′(x)=3x -x-4. 2 4 又 f′(x)=0,所以 x= 或 x=-1. 3 4 50 9 ? ? 又 f? ?=- ,f(-1)= , 27 2 ?3? f(-2)=0,f(2)=0, 9 50 所以 f(x)在[-2,2]上的最大值、 最小值分别为 、 - .????????????(14 2 27 分) 11.解 (1)由函数 f(x)图象过点(-1,-6), 得 m-n=-3.① 3 2 由 f(x)=x +mx +nx-2, 2 得 f′(x)=3x +2mx+n, 2 则 g(x)=f′(x)+6x=3x +(2m+6)x+n. 而 g(x)的图象关于 y 轴对称, 2m+6 所以- =0. 2×3 所以 m=-3,代入①,得 n=0.??????????????????????(5 分) 2 于是 f′(x)=3x -6x=3x(x-2). 由 f′(x)>0,得 x>2 或 x<0, 故 f(x)的单调递增区间是(-∞,0)∪(2,+∞); 由 f′(x)<0,得 0<x<2, 故 f(x)的单调递减区间是(0,2). ??????????????????????(8 数,且 f(0)=1>0,f(2)=
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分) (2)由(1)得 f′(x)=3x(x-2), 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 ?? ?? ?? ??????????????????????????????????? (12 分) 由此可得: 当 0<a<1 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值 f(0)=-2,无极小值; 当 a=1 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当 1<a<3 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值 f(2)=-6,无极大值; 当 a≥3 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.?????????????????(14 分) 综上得:当 0<a<1 时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当 1<a<3 时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当 a=1 或 a≥3 时,f(x)无极值.?????????????????????(16 分)

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