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福建省福州市2014届高三毕业班3月质检 数学文


2014 年福州市高中毕业班质量检测

文科数学试卷
(完卷时间:120 分钟;满分:150 分)

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设集合 M ? x x ? 2 , N ? x x ? 1 , 则 M ? N ? ( A.{x|x<-2 或 x>2} B.{x|x>2}

?

?

?

?

) C.{x|x>1} ) D.既不充分又不必 D.{x|x<1}

2.“m=1”是“复数 z ? (1 ? mi)(1 ? i) (m∈R,i 为虚数单位)为纯虚数”的( A.充分非必要条件 要条件 3.在 ?ABC 中, AD ? 2 DC , BA ? a, BD ? b, BC ? c, ,则下列等式成立的是 ( B.必要非充分条件 C.充要条件

????

???? ??? ?

? ??? ?

? ??? ?

?

)

? ? ? A. c ? 2b ? a

? ? ? B. c ? 2a ? b

? ? ? 3a b ? C. c ? 2 2
)

? ? ? 3b a ? D. c ? 2 2

4.函数 y=lnx-1 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是 (
y

y
y

y

O 1 D x
O 1 B x

O 1 C x

O

1 A

x

A

B )


C

D

5.执行如图所示的程序框图,输出的 M 值是(

开始

M=2

i=1

i<5?

M?

1 1? M

i=i+1


输出 M 结束

A.2

B. ?1

C.

1 2

D. ?2
·1 ·

6.记等比数列 {a n } 的前 n 项积为 ? n ,若 a4 ? a5 ? 2 ,则 ? 8 = ( A.256 B.81 C.16 D.1



? y?x ? 7.已知 x,y 满足 ? x ? y ? 2 ,且目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的 8 倍,则实数 a 的值是( ? x?a ?
A.1 B.

)

1 3

C.

1 4

D.

1 8

8.将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来 3
) D.-

的 2 倍(纵坐标不变)得到函数 f(x)的图象,则 f(-π)等于( A.

3 2

B. ?

3 2
2

C.

1 2
2

1 2
??? ? ??? ?
)

9. 若直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 C: ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 4 相交于 A、B 两点,则 CA ? CB 的值为( A.-1 10. 若 函数f ( x) ? B.0 C.1 D.6 )

x3 a 2 ?1 ? ? x ? x ? 1 在区间 ? ,3 ? 上有极值点,则实数 a 的取值范围是( 3 2 ?2 ?
? 5? B. ? 2, ? ? 2? ? 10 ? C. ? 2, ? ? 3? ? 10 ? D. ? 2, ? ? 3?

? 5? A. ? 2, ? ? 2?

y

A

B x

11.如图,直线 y=m 与抛物线 y2=4x 交于点 A,与圆(x-1)2+y2=4 的实线部分交于点 B,F 为 抛物线的焦点,则三角形 ABF 的周长的取值范围是( A.(2,4) B.(4,6) C.[2,4] ) D.[4,6]
y

F

12. 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x), f(2-x)=f(x),且当 x∈[0,1]时,其图象是四分 之一圆(如图所示),则函数 H(x)= |xex|-f(x)在区间[-3,1]上的零点个数为 ( A.5 B.4 C.3 D.2 )
1

O

1

x

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.命题 p : ?x ? R ,使得 f ( x ) ? x ,则 ?p 为

共 90 分)

·2 ·

14.函数 f ( x) ? ? x ? 2 x, x ? ??1,3 ? ,则任取一点 x0 ? ? ?1,3? ,使得 f ( x0 ) ? 0 的概率为
2

15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

?x ? (?1) n sin ? 2n, x ? [2n, 2n ? 1) ? ? 2 16. 已知函数 f ( x) ? ? , (n ? N ) ?(?1) n ?1 sin ? x ? 2n ? 2, x ? [2n ? 1, 2n ? 2) ? 2 ?
则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? ??? ? f (2013) ? f (2014) ? =

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知数列 log 3 ? an ? 1?? n ? N *? 为等差数列,且 a1 ? 4, a2 ? 10 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;(Ⅱ) 求证:

?

?

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? . a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an 4

18. (本小题满分 12 分)近年来,我国许多地方出现雾霾天气,影响了人们的出行、工作与健康.其 形成与 PM 2.5 有关. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.
PM 2.5 日均值越小,空气质量越好.为加强生态文明建设,我国国家环保部于 2012 年 2 月 29 日,发

布了《环境空气质量标准》见下表:
PM 2.5 日均值 k(微克)
k ? 35
35 ? k ? 75 k ? 75

空气质量等级 一级 二级 超标

某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况,在某月中分别随机抽取了甲、乙两市 6 天的
·3 ·

. PM 2.5 日均值作为样本,样本数据茎叶图如右图所示(十位为茎,个位为叶) (Ⅰ)求甲、乙两市 PM 2.5 日均值的样本平均数,据此判断该月中哪个市的空气质量较好; (Ⅱ) 若从甲市这 6 天的样本数据中随机抽取两天的数据, 求恰有一天空气质量等级为一级的概率.

19. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 2cos x ? 2 3 sin x cos x( x ? R). .
2

(Ⅰ)当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

(Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A, B , C 的对应边分别为 a , b, c ,且 c ? 3, f (C ) ? 2, 若向量

m ? (1, sin A) 与向量
n ? ( 2, sin B ) 共线,求 a, b 的值.

20. (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1⊥平面 ABC,△ABC 为正三角形, 侧面 AA1C1C 是正方形, E 是 A1B 的中点,F 是棱 CC1 上的点. (Ⅰ)当 VE-

ABF

=

3 时,求正方形 AA1C1C 的边长; 3

(Ⅱ)当 A1F+FB 最小时,求证:AE⊥平面 A1FB.

·4 ·

21. (本小题满分 12 分)动点 P( x, y ) 到定点 F (1,0) 与到定直线, x ? 2 的距离之比为

2 . 2

(Ⅰ)求 P 的轨迹方程; (Ⅱ)过点 F (1,0) 的直线 l (与 x 轴不重合)与(Ⅰ)中轨迹交于两点

M 、 N .探究是否存在一定点 E(t,0),使得 x 轴上的任意一点(异于点 E、F)到直线 EM、EN 的距离
相等?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由.

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ln x, g ( x) ? x .其中 x ? R .
2

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=1 处的切线相互平行,求两平行直线间的距离; (Ⅱ)若 f(x)≤g(x)-1 对任意 x>0 恒成立,求实数 a 的值; (Ⅲ)当 a<0 时,对于函数 h(x)=f(x)-g(x)+1,记在 h(x)图象上任取两点 A、B 连线的斜率为 k AB , 若 k AB ? 1 ,求 a 的取值范围.

2014 年福州市高中毕业班质量检测

数学(文)评分标准及参考答案
1--12; BCDAB CDDBC 14.1/2 BB 15.10
·5 ·

13. ?x ? R ,都有 f(x)≠x

16.-1007

17. 解: (Ⅰ)设等差数列的公差为 d, 由 a1 ? 4, a2 ? 10 得 log3 (4 ? 1) ? 1,log3 (10 ? 1) ? 2 所以 d=1;????3 分 所以 log3 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n 即 an ? 3n ? 1 .????6 分 (Ⅱ)证明: 所

1 1 1 1 ? n ?1 ? ? n ????8 分 n an ?1 ? an 3 ? 3 2 3

1 ? n? 1 1 3 ? ( 1 ? ? ??? ? n ) ? ( 1 ? an 2 3 3 3 3 2 1? 3 ? ? ? ?

1 ? ? ??? ? a2 ? a a ? a an ?


n

? ? 12
1

1

18. 解 : ( Ⅰ ) 甲 市 抽 取 的 样 本 数 据 分 别 是 32 , 34,45,56,63,70 ; 乙 市 抽 取 的 样 本 数 据 为 33,46,47,51,64,71.
x甲 ? 32 ? 34 ? 45 ? 56 ? 63 ? 70 33 ? 46 ? 47 ? 51 ? 64 ? 71 ? 50 , x乙 ? ? 52 .??3 分 6 6

因为 x甲 ? x乙 ,所以甲市的空气质量较好.

?? 4 分

(Ⅱ)由茎叶图知,甲市 6 天中有 2 天空气质量等级为一级,有 4 天空气质量等级为二级,空气质 量等级为二级的 4 天数据为 a, b, c, d ,空气质量等级为一级的两天数据为 m, n ,则 6 天中抽取两天 的所有情况为 ab, ac, ad , am, an, bc, bd , bm, bn, cd , cm, cn, dm, dn, mn ,基本事件总数为 15. ?? 记“恰有一天空气质量等级为一级”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为:
am, bm, cm, dm, an, bn, cn, dn ,事件数为 8. ??

9分

11 分

所以 P( A) ?

8 8 . 即恰有一天空气质量等级为一级的概率为 .---------12 分 15 15

2 19. 解:(I) f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x = cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 = 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1 ?????????2分 6?

令-

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2 k? , k ? Z ,

解得 2k? ?

? ? ………………6 分 ? x ? [0, ] ,f(x)的递增区间为 [0, ] 2 6 ? ? 1 (Ⅱ)由 f (C ) ? 2 sin(2C ? ) ? 1 ? 2 ,得 sin(2C ? ) ? 6 6 2

2? ? ? ? ? 2 x ? 2k? ? 即 k? ? ? x ? k? ? …………4 分 3 3 3 6

·6 ·

而 C ? ? 0, ? ? ,所以 2C ?

?

? ? 13? ?? , 6 ?6 6

? 5 ? ? ? ,所以 2C ? ? ? 得 C ? ?????????8分 6 6 3 ?
sin A 1 ? , sin B 2

因为向量 m ? (1, sin A) 与向量 n ? ( 2, sin B ) 共线,所以

由正弦定理得:

a 1 ? b 2
2 2 2

①……………10 分

由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos 由①②解得 a ?

?
3

,即 a2+b2-ab=9 ②………11 分

3 , b ? 2 3 ……………12 分

20. 解: (Ⅰ)设正方形 AA1C1C 的边长为 x 由于 E 是 A1B 的中点,△EAB 的面积为定值。

? CC1 ∥平面 AA1B ,?点 F 到平面 EAB 的距离为定值
即为点 C 到平面平面 AA1B 的距离 又 VE ? ABF ? VF ? ABE ,且 VF ? ABE ?

3 1 S?ABE ? h = 3 3
??????5 分

即 ?

1 1 x 3 3 3 ,? x ? 8, x ? 2 ? x? ? x? 3 2 2 2 3

(Ⅱ)解法一:将侧面 BCC1 B1 展开到侧面 A1 ACC1 得到矩形 ABB1 A1 ,连结 A1 B ,交 C1C 于点 F ,此时 点 F 使得 A1 F ? BF 最小.此时 FC 平行且等于 A1 A 的一半,

? F 为 C1C 的中点.??7 分
取 AB 中点 O,连接 OE,EF,OC,?OEFC 为平行四边形,

? OC ? AA1 ,且 AB ? AA1 ? A ,?OC ? 又 AA1 ? 平面 ABC, ?△ABC 为正三角形, ? OC ? AB ,
平面 A1AB ,? AE ? 平面 A1AB ,

?OC ? AE ,又 EF ∥ OC ,? AE ? EF ………… 11 分
由于 E 是 A1B 的中点,所以 AE ? A1B ,又 A1 B ? EF ? E ,
·7 ·

所以直线 AE 与平面 A1 FB 垂直…………12 分 解法二: 将侧面 BCC1 B1 展开到侧面 A1 ACC1 得到矩形 ABB1 A1 ,连结 A1 B ,交 C1C 于点 F ,此时点 F 使得

A1 F ? BF 最小.此时 FC 平行且等于 A1 A 的一半,? F 为 C1C 的中点.…………7 分
过点 E 作 EG // A1 F 交 BF 于 G ,则 G 是 BF 的中点, EG ? 过点 G 作 GH ? BC , 交 BC 于 H ,则 GH ? 又 AH ?

1 5 A1 F ? .. 2 2

1 1 FC ? . 2 2

3 , 于是在 Rt?AGH 中, AG ?

AH 2 ? GH 2 ?

13 ; 2

在 Rt?ABA1 中, AE ?

2.

在 ?AEG 中, AE 2 ? GE 2 =AG 2 ,? AE ? EG, ∴ AE ? A1 F . ………… 11 分 由于 E 是 A1B 的中点,所以 AE ? A1B ,又 A1 B ? A1 F ? E , 所以直线 AE 与平面 A1 FB 垂直…………12 分

21. 解: (Ⅰ)由题意得,

( x ? 1) 2 ? y 2 2 ? ,…………2 分 | x?2| 2
x2 ? y 2 ? 1 ,即点 P 的轨迹方程 …………4 分 2

化简得, x 2 ? 2 y 2 ? 2 ,即

(Ⅱ)若存在点 E(t,0)满足题设条件.并设 M(x1,y1)、N(x2,y2), 当 MN ⊥x 轴时,由椭圆的对称性可知,x 轴上的任意一点(异于点 E、F)到直线 EM、EN 的距离相 等……5 分 当 MN 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0).

? y ? k ( x ? 1) ? y ? k ( x ? 1) ? 2 ? ,得 ? x 2 , (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ?x 2 2 ? ? y ?1 ? ? y ?1 ?2 ?2
所以 x1 ? x2 ?

4k 2 1 ? 2k

,x x ? 2 1 2

2k 2 ? 2 1 ? 2k 2

, …………7 分

根据题意,x 轴平分∠MEN,则直线 ME、NE 的倾斜角互补,即 KME+KNE=0.……8 分
·8 ·

设 E(t,0),则有

y1 y ? 2 ? 0 (当 x1=t 或 x2=t 时不合题意) x1 ? t x2 ? t

又 k≠0,所以

y1 y k ( x1 ? 1) k ( x2 ? 1) ? 2 ? 0 ,将 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)代入上式,得 ? ?0 x1 ? t x2 ? t x1 ? t x2 ? t x1 ? 1 x2 ? 1 ( x ? 1)( x2 ? t ) ? ( x2 ? 1)( x1 ? t ) ? ? 0 ,即 1 ?0, x1 ? t x2 ? t ( x1 ? t )( x2 ? t )

又 k≠0,所以

2 x1 x2 ? (1 ? t )( x1 ? x2 ) ? 2t ? 0 , 2 x1x2 ? (1 ? t )( x1 ? x2 ) ? 2t ? 0 ,…………10 分 ( x1 ? t )( x2 ? t )
将 x1 ? x2 ?

4k 2 1 ? 2k

,x x ? 2 1 2

2k 2 ? 2 1 ? 2k 2

代入,解得 t=2.…………11 分

综上, 存在定点 E(2, 0), 使得 x 轴上的任意一点(异于点 E、 F)到直线 EM、 EN 的距离相等。 ……………12 分 22. 解: (Ⅰ) f ' ( x ) ?

a , g ' ( x) ? 2 x ,依题意得:a=2; ……………2 分 x

曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线为 2x-y-2=0, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 2x-y-1=0. ……………3 分 两直线间的距离为

5 ……………4 分 5

(Ⅱ)令 h(x)=f(x)-g(x)+1, ,则 h' ( x ) ?

a a ? 2x 2 ? 2x ? x x

当 a≤0 时, 注意到 x>0, 所以 h' ( x ) <0, 所以 h(x)在(0,+∞)单调递减, ………………5 分 又 h(1)=0,故 0<x<1 时,h(x)>0,即 f(x)> g(x)-1,与题设矛盾. ……………6 分 当 a>0 时, h' ( x ) ?

2 a a ( ? x )( ? x )( x ? 0) x 2 2 a 时, h' ( x) ? 0 2
a ? ,+∞ 上是减函数, ……………8 分 2 ?

当0 ? x ?

a , h' ( x) ? 0, 当 x ? 2

所以 h(x)在?0,

?

a? 上是增函数,在? 2? ?

∴h(x)≤ f (

a a a a ) ? ln ? ? 1 2 2 2 2
·9 ·

因为 h(1)=0,又当 a≠2 时, 所以 a=2. ……………9 分

a a a ) ? h ( 1 ) ? 0 ) ? 0 不符. ≠1, h( 与 h( 2 2 2

(Ⅲ)当 a<0 时,由(2)知 h' ( x ) <0,∴h(x)在(0,+∞)上是减函数, 不妨设 0<x1≤x2,则|h(x1)-h(x2)|=h(x1)-h(x2),|x1-x2|=x2-x1, ……………10 分 ∴|h(x1)-h(x2)|≥|x1-x2| 等价于 h(x1)-h(x2)≥x2-x1,即 h(x1)+x1≥h(x2)+x2, ……………11 分 令 H(x)=h(x)+x=alnx-x2+x+1,H(x)在(0,+∞)上是减函数, ∵ H ' ( x) ?

a ? 2x 2 ? x ? a (x>0), ……………12 分 ? 2x ? 1 ? x x

∴-2x2+x+a≤0 在 x>0 时恒成立,∴a≤(2x2-x)min ……………13 分 又 x>0 时, (2x2-x)min= ?

1 8

1 1 ∴a≤- ,又 a<0,∴a 的取值范围是 ( ??,? ] . ……………14 分 8 8

·10·


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