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苏教版高数选修2第3讲:椭圆的标准方程与性质(教师版) ——方庄董珍珍


椭圆的标准方程与性质 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1 了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 1.椭圆的定义 在平面内与两定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做 椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 a>c,则集合 P 为椭圆; (2)若 a=c,则集合 P 为线段; (3)若 a<c,则集合 P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 + =1 a2 b2 (a>b>0) y2 x2 + =1 a2 b2 (a>b>0) 图形 性 范围 -a≤x≤a 1 -b≤x≤b 质 对称性 顶点 -b≤y≤b -a≤y≤a 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) 轴 焦距 离心率 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) 长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c c e= ∈(0,1) a c2=a2-b2 a,b,c 的关系 类型一 椭圆的定义及其应用 例 1:如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 ,进而可以知道 【 解 析 】 根 据 CD 是 线 段 MF 的 垂 直 平 分 线 . 可 推 断 出 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点 P 的轨迹 【答案】 根据题意知,CD 是线段 MF 的垂直平分线. (定值),又显然 A 选项是正确的 练习1:已知 F1,F2 是椭圆 C: , , 根据椭圆的定义可推断出点 P 轨迹是以 F、O 两点为焦点的椭圆.所以 x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,且 a 2 b2 ???? → PF1⊥ PF2 ,若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. 【解析】由题意 【答案】3 的面积 ∴ 故答案为: x2 y2 ) C.4 2 练习 2:已知 F1,F2 是椭圆16+ 9 =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点,在△AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为( A.6 B.5 D.3 【解析】由椭圆方程知,椭圆的长轴 确答案为 A. 【答案】A 类型二 求椭圆的标准方程 ,则 周长为 16,故第三边长为 6.所以正 例 2:在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为________. 【解析】设椭圆方程为 2

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