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江苏省海头高级中学 2016-2017 学年度高二期末综合练习(五) 数学试题(理科)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分)

1.不等式 x2 ? x ? 2 ? 0 的整数解共有 2.命题“至少有一个实数,使 x2 ? 1 ”的否.定.为

个; ;

3.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a2 ? 2a ”的

条件;(填:充分不必要、必

要不充分、充要、既不充分又不必要).充分不必要

4.已知抛物线的焦点为 F (1,0),则抛物线的标准方程是



5.曲线 y ? sin x 在点 ( π , 3 ) 处的切线方程为



32

6.已知

F1

(?

5 2

,0)



F2

(

5 2

,0)

是双曲线

x2 4

?

y2 m

? 1 与椭圆

x2 9

?

y2 n

? 1的共同焦点,点 P

是它们的一个交点,则 ?PF1F2 的面积为



7.若函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? x 在 x ? (1,2) 上有极值,则实数 a 的取值范围是



? ? 8.在等差数列 an 中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 60 ,则 2a9 ? a10 的值为



9.已知等比数列?an? 满足 an ? 0 , n ? l,2,…,且 a5 ? a2n?5 ? 22n ?n ? 3? ,则当 n ? 3 时,

log2 a1 ? log2 a2 ? log2 a3 ? ? log2 a2n?1 ?



10.某企业在今年年初贷款 a 万元,年利率为 γ ,从今年年末开始每年偿还一定金额,预计

五年内还清,则每年应偿还

万元;

11.设 0 ? x ? 1, a, b 为大于零的常数,则函数 f (x) ? a2 ? b2 的最小值是



x 1? x

12 . 设 ?an ? 是 正 项 数 列 , 它 的 前 n 项 和 S n 满 足 : 4Sn ? ?an ?1?? ?an ? 3? , 则

a1005 ?



13.已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 的直线与椭圆相交于 P,Q 两点,若

PQ ? PF1 ,且 4PF1 ? 3PQ ,则椭圆的离心率 e ?



14.若不等式| ax3-lnx |? 1 对任意 x ?(0,1] 都成立,则实数 a 的取值范围是



二、解答题:(本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤) 15.(本题满分 14 分)



p

:实数

x

满足

x2

?

4ax

?

3a 2

?

0(a

?

0 ); q :实数

x

满足

? ? ?

x2-x-6 ? 0, x2 ? 2x-8>0.

(1)若 a ?1,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围;

(2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

16. (本题满分 14 分)

数列?an?

中,

a1

?

1 3

,前

n

项和

Sn

满足

Sn?1

?

Sn

?

1 3

n

?1(n ?

N?)

.

? ? (1)求数列 an 的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn

(2)若 S1,t(S1 ? S2 ),3(S2 ? S3) 成等差数列,求实数 t 的值.

17.(本题满分 14 分)

某学校要建造一个面积为 10000 平方米的运动场。如图,运动场是由一个矩形 ABCD 和分

别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道,运动场除跑道外,其他

地方均铺设草皮。

已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元,草皮每平方米造价为 30 元

(1)设半圆的半径 OA= r (米),试建立塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系 S( r )

(2)由于条件限制 r ??30, 40? ,问当 r 取何值时,

运动

场造价最低?(精确到元)

18.(本题满分 16 分)
已知函数 f ? x?=-x2+ax-lnx(a ?R). (1)当 a=3 时,(i)求函数 f ? x? 在 x ?1处的切线方程; (ii)求函数 f ? x? 在[ 1 ,2] 上的最值;
2
(2)当函数 f ? x? 在 (1 ,2) 上单调时,求 a 的取值范围.
2

19.(本题满分 16 分)

如图,已知椭圆 C : x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的右准线 l 的方程为 x ?

4 3 , 焦距为 2 3

3.

(1) 求椭圆 C 的方程;

(2) 过定点 B(1,0) 作直线 l 与椭圆 C 交于点 P,Q(异面椭圆 C 的左、右顶点 A1, A2 )两点,

设直线 PA1 与直线 QA2 相交于点 M.

① 若 M (4,2), 试求点 P,Q 的坐标; ② 求证:点 M 始终在一条直线上.

y M
P

A1

OB

A2

x

Q

第 19 题图

20.(本题满分 16 分)
已知数列?an? 的前 n 项和为 Sn , a1=1 , an ? 0 , ?Sn=anan+1 +1,其中 ? 为常数.

(1)证明:数列?a2 ? n?1 是等差数列;

(2)是否存在实数 λ ,使得?an? 为等差数列?并说明理由;

(3)若 ?an ?

为等差数列,令 bn

?

? ? ?1 n?1

4n an an ?1

,求数列 bn

的前 n

项和 Tn



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