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高考数学单元复习训练题11-平面向量


山东省新人教版数学高三单元测试 11【平面向量】 本卷共 100 分,考试时间 90 分钟 一、选择题 (每小题 4 分,共 40 分)

1. 把平面上一切单位向量的始点放在同一点 , 那么这些向量的终点 所构成的图形是( ) 、圆上一群孤立点 、一个单位

A、一条线段 B、一段圆弧 圆
2. 下列命中,正确的是( A、| a |=| b | ? a = b C、 a = b ? a ∥ b )

B、| a |>| b | ? a > b D、| a |=0 ? a =0

3. 已 知 AB ? (6,1), BC ? ( x, y ), CD ? (?2,?3), BC ∥ DA , 则 x ? 2 y 的 值 为 ( ) A.2 B. 0 C. 0.5 D. -2 ) D.
? 2
3 2

4. 已知 a ? ? 3,1? , b ? ?2, ? ? ,若 a // b ,则实数 ? 的值为( A. ?
2 3

B. ?

3 2

C.

2 3

5. 已知非零向量 a 、 b 满足向量 a ? b 与向量 a ? b 的夹角为 ,那么下 列结论中一定成立 的是( ) .... (A) a ? b (B) | a |?| b | (C) a ? b (D) a
b

6. 若非零向量 a, b 满足 | a |?| b |, ? 2a ? b ? ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为( A. 30°° B. 60° C. 120° D. 150°



?C 的对边分别为 a, b, c 三角形的重心为 G . ?A , ?B , 7. 已知 ?ABC 中,

aGA ? bGB ? cGC ? 0 ,则 ? A ?
A. 30 ? B. 60 ? C. 90 ?




D. 120?

8. 已知点 P 为 ?ABC 所在平面上的一点,且 AP ? AB ? t AC ,其中 t 为 实数,若点 P 落在 ?ABC 的内部,则 t 的取值范围是( A. 0 ? t ?
1 4

1 3

) D. 0 ? t ?
2 3

B. 0 ? t ?

1 3

C. 0 ? t ?

1 2

9. 设 A(a,1) , B(2, b) , C (4,5) 是坐标平面上三点,O 为坐标原点,若
? ? ? 方向上的投影相同,则 OA与 OB 在 OC 方向

a 与 b 满足的关系式为(



A. 5a ? 4b ? 14 B. 4a ? 5b ? 3

C. 4a ? 5b ? 14 D. 5a ? 4b ? 3

10. 设平面向量 a =(-2,1), b =(λ ,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角, 则λ 的取值范围是( A、 (? 1 ,2) ? (2,??)
2 C、 (? 1 ,??) 2

) B、 (2,?? ) D、 (??,? 1 )
2

二、填空题 (每小题 4 分,共 16 分)

? ? ? ? ? 11. 已知向量 a ? 3, b ? (1,2) ,且 a ? b ,则 a 的坐标是



12. 直 线 l 上 有 不 同 三 点 A, B, C , O 是 直 线 l 外 一 点 , 对 于 向 量
OA ? (1- cos? )OB

+

sin ? OC

(?

是 锐 角 ) 总 成 立 , 则

? ? _________________;

13. 已知在平面直角坐标系中, 错误! 不能通过编辑域代码创建对象。 为原点,且错误!不能通过编辑域代码创建对象。 (其中错误!不能 通过编辑域代码创建对象。均为实数) ,若 N(1,0) ,则错误!不能 通过编辑域代码创建对象。的最小值是 .

14. 在平面直角坐标系中,双曲线 C 的中心在原点,它的一个焦点坐 标为 ( 5, 0) ,e1 ? (2,1) 、e2 ? (2, ?1) 分别是两条渐近线的方向向量。任取

双曲线 C 上的点 P ,若 OP ? ae1 ? be2 ( a 、 b ? R ) ,则 a 、 b 满足的一个 等式是 。

三、解答题 (共 44 分,写出必要的步骤) 15. (本小题满分 10 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, 向量 m ? (2sin B, 2 ? cos 2B),
n ? (2sin 2 ( B ? ? ), ?1) ,且 m ? n . 2 4

(Ⅰ)求角 B 的大小;

(Ⅱ)若 a ? 3, b ? 1 ,求 c 的值.

16. (本小题满分 10 分)已知 ?ABC 内接于圆 O : x2 + y 2 =1( O 为坐 标原点) , 且 3 OA +4 OB +5 OC = 0 。 (I)求 ?AOC 的面积; (Ⅱ)若 ?xOA ? ? ,设以射线 Ox 为始边,射线 OC 为终边所形
4

?

成的角为 ? , 判断 ? 的取值范围。 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求 C 点的坐标。 17. (本小题满分 12 分)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD=4,BC=6, CD=2,

3 AB ? AD ? 4CB ? CD ? 0

(1) 求







ABCD









源:.Com] (2) 求三角形 ABC 的外接圆半径 R; (3) 若 ?APC ? 600 ,求 PA+PC 的取值范围。 18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 ?A B C , AB ? (cos
AC ? (cos x x ? , sin ) ,其中 x ? (0 , ) . 2 2 2
3x 3x , ? sin ) , 2 2

⑴求 | BC | 和 ?ABC 的边 BC 上的高 h ; ⑵若函数 f ( x) ?| BC |2 ?? ? h 的最大值是 5 ,求常数 ? 的值.

答案 一、选择题 1. D2. C3. B4. C5. B6. C7. B8. D9. B10. 答案:A 点评:易误选 C,错因:忽视 a 与 b 反向的情况。 二、填空题 11. ? ?
?3 5 6 5 ? ? 3 5 6 5 ? ,? 或? ? , 12. 450 13. 错误!不能通过编辑域代 ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 5 ? ? 5

码创建对象。14. 4ab?1 三、解答题 15. 解: (1) m ? n ? 2 sin B ? 2 sin 2 ( ? ) ? (2 ? cos 2 B)
4 B 2

?

? 2 sin B ? (1 ? cos(B ?

)) ? 2 ? cos2 B 2 ? 2 sin B ? 2 sin 2 B ? 2 ? cos2 B
? 2 sin B ? 1 ? 0

?

,? sin B ?

1 2

因为 0 ? B ? ? 所以 B ?
?
6



5? 6

(2)在 ?ABC 中,因为 b<a,所以 B ? 由余弦定理 b2 ? a2 ? c2 ? 2accosB 得 c 2 ? 3c ? 2 ? 0 所以 c ? 1 或 c ? 2 ,

?
6

16. 解: (1)由 3 OA +4 OB +5 OC = 0 得 3 OA +5 OC = ?4 OB , 平方化简,得 OC · OA = ? 3 ,所以 cos ? OA, OC ? = ? 3 ,
5 5

而 ? OA, OC ??[0,? ] 所以 sin ? OA, OC ? = 4 。
5
?AOC 的面积是 S?AOC =

2 1 OA OC sin ? OA, OC ? = 2 5
5



(2)由(1)可知 cos ? OA, OC ? = ? 3 ? 0 ,得 ? OA, OC ? 为钝角, 又 ? ? OA, OC ? ? ? ? ? 2k? 或 ? OA, OC ? = ? ? ? ? 2k? , k ? Z
4 4

?

所以 ? 5 ? ? 2k? ? ? ? ? 3 ? ? 2k? 或 1 ? ? 2k? ? ? ? 3 ? ? 2k? , k ? Z
4 4 4 4

(3)由题意,C 点的坐标为 (cos? ,sin ? ) ,进而 OC ? (cos? ,sin? ) ,
2 2 2 2 ? ,? ) ,可得 OA ? OC ? cos? ? sin ? ? ? sin(? ? ) 2 2 2 2 4 ? 3 3 OA ? OC ? ? ,于是有 sin(? ? ) ? 4 5 5 5 3 当 ? ? ? 2k? ? ? ? ? ? ? 2k? 时, ? 3 ? ? 2k? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2k? , 4 4 2 4 所以 cos(? ? ? ) ? ? 4 4 5

又 OA ? (

sin ? ? sin[(? ? ) ? ] ? sin(? ? )cos ? cos(? ? )sin 4 4 4 4 4 4 3 2 4 2 2 ? ? ? (? ) ? ?? 5 2 5 2 10 从而 cos? ? ? 7 2 。 10 1 3 当 ? ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? 时, 0 ? 2k? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 2k? , 4 4 4 2

?

?

?

?

?

?

所以 cos(? ? ? ) ? 4
4 5
cos? ? cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? )cos ? sin(? ? )sin 4 4 4 4 4 4 4 2 3 2 2 ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10 从而 sin ? ? 7 2 。 10

?

?

?

?

?

?

综上, C 点的坐标为 (?

2 7 2 2 7 2 , )。 ,? )或( 10 10 10 10

17. (1)由 3AB ? AD ? 4CB ? CD ? 0 得 ?BAD ? ?BCD ? ?
??ABC ? ?ADC ? ?
? AC 2 ? 42 ? 62 ? 2 ? 4 ? 6cos ?ABC ? 42 ? 22 ? 2 ? 2 ? 4cos ?ADC
? cos ?ABC ? 1 2

故 ?ABC ? 600

1 1 ? S ABCD ? ? 2 ? 4 ? sin1200 ? ? 4 ? 6sin 600 ? 8 3 2 2

(2)由(1)知 AC ? 2 7 ,? 2R ?
?R ? 2 21 3

AC 2 7 4 21 ? ? 0 sin ?ABC sin 60 3

(3) 由 (1) 和 (2) 知点 P 在三角形 ABC 的外接圆上, 故 PA=2Rsin ∠ACP, PC=2Rsin∠CAP,设∠ACP=θ ,则∠CAP=
2? ?? , 3

2? ? ? ? ? PA ? PC ? 2R ?sin ? ? sin( ? ? ) ? ? 4 7 sin(? ? ) , 3 6 ? ?

? ? (0,

2? ? ? 5? ) ?? ? ? ( , ) 3 6 6 6

? ?1 ? ? sin(? ? ) ? ? ,1? 6 ?2 ?

? PC ? PA ? 2 7, 4 7 ? ?

?

18. ⑴ BC ? AC ? AB ? (cos

x 3x x 3x ? cos , sin ? sin ) , 2 2 2 2

x 3x x 3x | BC | 2 ? (cos ? cos ) 2 ? (sin ? sin ) 2 2 2 2 2

x 3x x 3x ? 2 ? 2(sin sin ? cos cos ) ? 2 ? 2 cos 2 x ? 4 sin 2 x 2 2 2 2
因为 x ? (0 ,
?
2 ) ,所以 | BC

|? 2 sin x ,因为 | AB |?| AC |? 1 ,?ABC
1 2

2 2 是等腰三角形,所以 h ? | AB | ?( | BC |) ? cos x

注:运用数形结合解三角形的办法求解 | BC | 也可参(照给分。
cos A ? AB ? AC | AB | ? | AC |

, ? cos 2 x ,依题意, 0 ? A ? ? , 0 ? 2 x ? ? ,所以

A ? 2x
,因为 | AB ⑵
2

|?| AC |? 1,所以 | BC |? 2 sin x ,

2

h ? cos x







? 2 ?2 f ( x) ?| BC | ?? ? h ? ?4 cos x ? ? cos x ? 4 ? ?4(cosx ? ) ? 4 ? , 8 16
因为 x ? (0 , ①
?
2 ) , cos x ? (0 , 1) ,所以

?2 ? 若 0 ? ? ? 8 ,则当 cos x ? 时, f ( x) 取得最大值 4 ? ,依题意 8 16

?2 4 ? ? 5 ,解得 ? ? 4 16
② ② 若

??0
2







cos x ? (0 , 1)







f ( x) ? ?4 c
③若 ?

o x ? ?sc xo? 4 ? s 4 ,与 f ( x) 取得最大值 5 矛盾

? 8 ,因为 cos x ? (0 , 1) ,

2 2 所 以 f ( x) ? 4 s i nx ? ? c o xs? 4 s i nx ? 8 c o xs , f ( x) 的 最 大 值

? M ? f ( ) ? 7 ? 5 ,与“函数 f ( x) 的最大值是 5 ”矛盾 3
o s x ? 1 时,f ( x) 取得最大值, (或: 若? ? 8, 当c 最大值为 f (0) ? ?

依题意 ? ? 5 ,与 ? 综上所述, ?

? 8 矛盾

? 4.


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