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2013届镇江高三数学期中考试试卷答案及评分标准


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高三数学试卷

答案及评分标准
一、填空题(每题 5 分) 1. {1,2,4,6} ; 2. (??,0] 3.对任意的实数 m ,方程 x ? m x ? 1 ? 0 无实根
2

4.必要不充分

5.(文)

? (理) 4 6
8.(文)

6. 4 x ? 2 y ? 3 ? 0

7.(文) ?

2 2 3

(理)

Ax0 ? By0 ? Cz0 ? D A2 ? B 2 ? C 2
12. ?2

511 (理) 8 2

9. (

2? 4? 1 , ) (开闭均可) 10. [ , 3) 3 3 3
14. ( 3,log8 3)

11. 1

13.(文) tan ? (理) h ? 2 R

填空题双向细目表
题号 1 2 3 4 命题 方式 改编 改编 改编 改编 试题出处 必修 1,P.12 例 1 必修 1,P.93,12 网络工程 选修 1,P17.6 必修 4.P.14 例 1 必修 1, .P.64 选修 1-1 必修 4.P.98 其他 必修 5,P51.例 2 期初考试卷 选修 1-1,P.77 例 2 期初考试卷 高二期末试卷 网络工程 P.164,3 课本 课本 课本 预计 得分 4.5 4.5 4.5 4.5 4.0 4.0 4.5 4.0 4.0 4.0 4.0 3.5 3.5 3 3 2.5 3 2.5 52 知识点 思想方法 能力考查 集合的运算 函数的定义域 量词的否定 充要条件的判定,函数的性质 三角函数的定义 对数的基本运算 切线方程 两角和差公式及诱导公式 类比思想 等比数列 基本不等式 函数的单调性 解对数不等式 函数与方程思想 函数的周期性,奇偶性,对称性 二倍角公式 导数的运用 对数函数的综合应用 能力 要求 A A A A B A A B B B C B B B B C B C

5(文) 改编 5(理) 改编 6 改编 7(文) 改编 7(理) 改编 8(文) 改编 8(理) 改编 9 改编 10 11 12 改编 改编 改编

13(文) 原题 13(理) 原题 14 合计 改编

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15. 解: (1) A ? [1,2] , B ? [a ? 1,??) .??4 分 若 p 为假命题,则 A ? B ? ? ,故 a ? 1 ? 2 ,即 a ? 3 .??6 分 (2)命题 p 为真,则 a ? 3 .??7 分 命题 q 为真,即转化为,当 x ? [1,2] 时, x ? ax ? 4 ? 0 恒成立,??9 分
2

即?

?1 ? a ? 4 ? 0, ??11 分 ?4 ? 2a ? 4 ? 0,

解得 a ? 0 .??12 分

由命题 p ? q 为真命题,可得 0 ? a ? 3 ??14 分 【说明】本题改编于网络工程 P.128,17 题,考查集合的概念、关系、运算;考查命题与逻 辑的概念,考查函数与不等式;考查运算能力. 16(文科).(1)

BD 1 DC 1 ? , tan ?DAC ? ? ,??2 分 AD 3 AD 2 tan ?BAD ? tan ?DAC ? tan ?BAC ? tan(?BAD ? DAC ) ? ? 1 .??6 分 1 ? tan ?BAD tan ?DAC tan ?BAD ?
0 ? ?BAC ? ? ,??7 分

??BAC ?

?

4

.??8 分

(2)由题,设 EH ? BC , FG ? BC ,垂足分别为 H , G ,则

2 1 AD AD EH 3 FG 3 tan?EDC ? ? ? 4 , tan?FDC ? ? ? 1 ,??12 分 HD 1 CD GD 2 CD 3 3 tan ?EDC ? tan ?FDC 3 tan ?EDF ? tan( ?EDC ? ?FDC ) ? ? ,??14 分 1 ? tan ?EDC tan ?FDC 5
【说明】本题改编于《必修 4》第 104 页第 4 题. 考查三角函数变换,考查三角应用. 16(理科).(1) f (?2) ? (?2) ? a ? (?2) ? 1 ? 0 ,??4 分
2

解得 a ? ?

5 .??5 分 2
2

(2)由题 ? ? a ? 4 ? 0 ,即 a ? ?2 或 a ? 2 .??6 分

x ? x ?1 ? a ,而 x3 ? x?3 ? ( x ? x?1 )( x2 ?1 ? x?2 ) ? ( x ? x?1 )[( x ? x?1 )2 ? 3] .
则 g (a ) ? a(a ? 3) ? a ? 3a ( a ? ?2 或 a ? 2 ). ??9 分
2 3

而 g?(a) ? 3a ? 3 ,??10 分
2

当 a ? 2 时, g ?(a ) ? 0 恒成立,??11 分

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故 g ( a ) 在 a ? 2 时为增函数,即 g (a) ? 2 .??12 分 由函数 g ( a ) 为奇函数知,当 a ? ?2 时, g (a) ? ?2 ,??13 分 综上, g (a ) 的值域为 (??, ?2] [2, ??) .??14 分 17. (1)由 x2 ? (1 ? k ) x ? 4 ? k ? 4 , 即 ( x ? k )( x ? 1) ? 0 ,??2 分 当 k ? ?1 ,解集为 (??, ?1] ? [k , ??) ;??3 分 当 k ? ?1 ,解集为 R;??4 分 当 k ? ?1 ,解集为 (??, k ] ? [?1, ??) .??5 分 (2)由 x2 ? (1 ? k ) x ? 4 ? k ? 0在x ? (?1,2) 恒成立 ,

k ( x ? 1) ? x 2 ? x ? 4在x ? (?1,2)恒成立,由于 ?1 ? x ? 2 ,则 x ? 1 ? 0 ,
即k ?

x2 ? x ? 4 在x ? (?1,2)恒成立 .??8 分 x ?1 x2 ? x ? 4 ,令 x ? 1 ? t , t ? (0,3) x ?1

记y?

y?

t2 ?t ? 4 4 4 ? t ? ? 1 ? 2 t ? ? 1 ? 3 ,??11 分 t t t
4 ,即 t ? 2 ,也即 x ? 1 时, ymin ? 3 .??13 分 t

当且仅当 t ?

故 k ? 3 .??14 分 18(文科).(1)设 Sn ? an2 ? bn ,( a ? 0, n ?N )??2 分


因为 S

k

? Sk 对一切正整数 k 恒成立,设 k ? m, k ? m2 ,

即 (am2 ? bm)2 ? am4 ? bm2 对一切正整数 m 恒成立,??4 分

?a 2 ? a, ? ? ?2ab ? 0, ?b2 ? b, ?

??5 分

?a ? 1, a ? 0,? ? ? S n ? n 2 ,??6 分 ?b ? 0.

an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 (n ? 2) ,??8 分 当 n ? 1 时也满足该式.??9 分

?an ? 2n ? 1(n ? 1) .??10 分

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?S ? c? (2) 【法一】如果数列 ? n ? 成等差数列,则 n ? 1, 2,3 时有: ? n?c ?

2

4 ? c 1? c 9 ? c ? ? , ??12 分 2 ? c 1? c 3? c

得 c ? 0,

c ? ?1 (舍). ??14 分

当 c ? 0 时,

n2 ? 0 ? n ,成等差数列. ??16 分 n?0

n2 ? c ?S ? c? 【法二】如果数列 ? n ? pn ? q 恒成立, ? 成等差数列,则 n?c ? n?c ?

即 n2 ? c ? pn2 ? cq ? (cp ? q)n 对任意的 n ?N 恒成立,??12 分


? p ? 1, ? ??14 分 ? ?cq ? c, ?cp ? q ? 0, ?
? p ? 1, c ? 0, q ? 0; 或 q ? ?1 , c ? ?1 (舍).??15 分

? 常数 c ? 0 , ?

? Sn ? c ? ? 成等差数列. ??16 分 ? n?c ?

18(理科). (1) (法一)等价于斜率为 1 的切线与 y ? x 的距离. ??2 分

y? ? e x ,令 y ? ? 1 , 切点 P (0,1) ,??4 分
则d ?

1 2 .??6 分 ? 2 2

x x (法二)设 y ? e 上任一点 P 坐标为 ( x0 , e 0 ) ,则点 P 到直线 y ? x 的距离为

d ( x0 ) ?

e x0 ? x0 2

e x0 ? x0 ,??1 分 ? 2

则 d ?( x0 ) ?

1 x0 (e ? 1) .??2 分 2

令 d ?( x0 ) ? 0 ,解得 x0 ? 0 ,??3 分 且在 ( ??, 0) 上 d ?( x0 ) ? 0 ,在 (0, ??) 上 d ?( x0 ) ? 0 ,??4 分 故 d ( x0 ) 在 ( ??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增, ??5 分 所以 d ( x0 ) min ? d (0) ?

2 .??6 分 2

(2)由题意得 y ? e x ? b , 令 x ? 0 , B(0,1 ? b) ,令 y ? 0 , A(ln b,0) ,??8 分

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OA ? ln b , OB ? 1? b , ??9 分
① 0 ? b ? 1 时, OA ? ? ln b , OB ? 1 ? b , 设函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1(0 ? x ? 1) , ??11 分

f ?( x) ?

1 ? 1 ? 0 ,??12 分 x

? f ( x) ? ln x ? x ? 1在x ? (0,1)上单调递增 ,??13 分
? f ( x) ? f (1) ? 0

?? l nx ? ? x ? 1 , OA ? OB .??14 分

② b ? 1 时,同理可得 OA ? OB . ??16 分 【说明】本题改编于《必修 1》第 68 页例 3. 考查曲线的切线方程;考查分类讨论思想、 函数思想.

19.解: (1)由题意,软、硬地带的工程总量分别为 50000,40000 工时, 设甲组人数为 x ( x ? N* ,0 ? x ? 400)

50000 (工时); ??1 分 x 40000 乙组施工时间 h( x) ? (工时).??2 分 400 ? x
则甲组施工时间 s ( x ) ? 要使甲组比乙组先完成施工,即 s( x) ? h( x) , 因为 s( x) ? h( x) ?

50000 40000 10000 (2000? 9 x) ? ? ,??4 分 x 400? x x(400? x)
2 时, s( x) ? h( x) ,??5 分 9

又 x(400? x) ? 0 ,当 2000 ? 9 x ? 0 ,即 x ? 222

答:当甲组人数不少于 223 人时,甲组比乙组先完成施工.??6 分

? s( x ), (2)由题意, f ( x ) ? ? ?h( x ),
又由(1)知: x ? 222

s( x ) ? h( x ), ??7 分 s( x ) ? h( x ).

2 2 时, s( x) ? h( x) ; 0 ? x ? 222 时, s( x) ? h( x) ,??8 分 9 9

? 50000 , 0 ? x ? 222, ? ? x ??10 分 ? f ( x) ? ? ? 40000 , 223 ? x ? 400. ? ? 400 ? x
定义域为 ?x x ? N * ,0 ? x ? 400? ,??11 分

,400) 上递增. ??13 分 (3)由(2)易知 f ( x) 在 (0,222] 上递减,在 [223
故只需比较 f (222) 与 f (223) 的大小.??14 分
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计算得 f (222) ? 225.2, f (223) ? 225.9 , ? f ( x)min ? f (222) .??15 分 答:甲、乙两组分别安排 222 人和 178 人时,工程工期最短.???16 分 【说明】 一、 本题考查函数的单调性、作差比较大小的方法. 考查函数思想,方程思想;考查阅读 能力、建模能力、解决实际问题的能力. 二、本题本质上可以这样理解:当两组越接近同时完工,工期越短,也就是赋闲越少,工期 越短. 其哲学思想是:最优化下必大同.如:镇江 2010 年中考数学选择题最后一题. 三、本题进一步可以加强为:如果甲组工人每工时工资为 10 元,乙组工人每工时工资为 15 元,怎样安排,所付总工资最少? 20. 解: (1)该函数的定义域为 R,

f ( x) ? 4 ?

?4 在 R 上为增函数,值域为 (0, 4) , e ?1
x

设图象为 F ,则对称中心的纵坐标必为 2,猜测 M (0,2) 为 F 的对称中心.??2 分

f (? x) ? f ( x) ?

4e ? x 4e x 4(e x ? 1) ? ? ? 4 .??4 分 e? x ? 1 e x ? 1 ex ? 1

即: f ( ? x ) ? 4 ? f ( x )

? F 上任一点 A( x, y ) 关于 M (0,2) 的对称点 A?(? x,4 ? y ) 也在 F 上,故 M (0,2)
为该函数的对称中心. ??5 分 假设点 N (a,2) (a ? 0) 也是图象的对称中心,

M (0, 2) ? F ,则 M (0,2) 关于 N (a,2) (a ? 0) 的对称点 M ?(2a,2) ? F , ? f (2a ) ? 2 ,又 f (0) ? 2 ,且函数为单调函数, ? 2a ? 0, a ? 0, 与 a ? 0 矛盾. ? M (0,2) 为图象的唯一对称点. ??7 分
(2) f ?( x) ?

4e x (e x ? 1) ? 4e x (e x ) 4e x . ??8 分 ? (e x ? 1) 2 (e x ? 1) 2
又 e ? 0 , f ?( x) ?
x

4 , ??9 分 1 x e ? x ?2 e
x 当 e ? 1, 即 x ? 0 时取得“=”.

而e ?
x

1 ? 2 ? 2?2 ? 4, ex

当 e x ? ?? 时, f ?( x ) ? 0 ,函数的值域为 ? 0,1? . ??10 分 (3)证明:① 记 g ( x ) ? x ? f ( x) , 由(1)得 g ?( x ) ? 1 ? f ?( x) ? 0 ,

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故 g ( x) 在 R 上为增函数,又 a ? t ,故 g (a ) ? g (t ) ? 0 , 即 a ? f (a ) ,根据 f (a) ? b ,得 a ? b . ??12 分 ③ 于 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 R 上单调递增, 根据 a ? b , f (a) ? f (b) ,故 f (a) ? a ? f (b) ? b , ??14 分 ③由于 f ?( x) ? 1 ,故 f ( x) ? x 在 R 上单调递减, 根据 a ? b , f (a) ? a ? f (b) ? b , 而 0 ? b ? f (a) ? b ? f (b) . 综上可得 a ? f (a) ? b ? f (b) ? 0 .??16 分 【说明】 一、本题改编于上学期期末试卷和本学期期初试卷第 20 题. 考查导数的运算与应用,函数 性质;考查构造法、函数思想、整体思想;考查推理论证能力. 二、本题背景深刻,涉及到压缩映象,不动点理论等. 即 a ? f (a) ? b ? f (b) ,

加试题
21. A 证明:因为 CP 与圆 O 相切,所以 ?DPA ? ?PBA .??4 分 因为 AB 为圆 O 直径,所以 ?APB ? 90 ,??6 分
0

所以 ?BAP ? 90 ? ?PBA.??8 分
0 0 因为 AD ? CP ,所以 DAP ? 90 ? ?DPA,

所以 ?DAP ? ?BAP .

??10 分

? 2 a ? ? 1 ? ? ?4 ? ? ? ? = ? ? ,??2 分 ? 2 1 ? ? ?2 ? ? 0 ? 所以 2 ? 2a ? ?4 ? a ? 3 .??4 分 ? 2 3? (2)由(1)知 M ? ? ? ,则矩阵 M 的特征多项式为 ? 2 1? ? ? 2 ?3 f (? ) ? ? (? ? 2)(? ? 1) ? 6 ? ? 2 ? 3? ? 4 .??5 分 ?2 ? ? 1 令 f (? ) ? 0 ,得矩阵 M 的特征值为 ?1 与 4.??6 分 ?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 当 ? ? ?1 时, ? ? x? y ?0 ??2 x ? (? ? 1) y ? 0
B. (1)由于 ?
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∴矩阵 M 的属于特征值 ?1 的一个特征向量为 ? 当 ? ? 4 时, ?

?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 ? 2 x ? 3 y ? 0 .??9 分 ??2 x ? (? ? 1) y ? 0 ?3? ∴矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为 ? ? .??10 分 ?2?

?1? ? ; ??8 分 ? ?1?

4 ? ? x ? 1? 5 t C.将参数方程 ? 消去参数得普通方程为 3x ? 4 y ? 1 ? 0 .??2 分 3 ? y ? ?1 ? t 5 ? ? 曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 在直角坐标系下的方程为 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0, ??5 分 4
曲线表示圆心在 ? , - ? ,半径 r ? 圆心到直线的距离为 d ?

?1 ?2

1? 2?

2 的圆,??6 分 2

1 ,??7 分 10
2 2

圆心被直线所截的弦长为 2 r ? d D.由柯西不等式得

?

7 .??10 分 5

?x ? 2 y ? 3z ?2 ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )(12 ? 22 ? 32 ) ? 56?14 ,??3 分
所以 x ? 2 y ? 3z ? 28 ,??5 分 由题意不等式 a ? 2 ? x ? 2 y ? 3z 对一切实数 x, y , z 恒成立 等价于 a ? 2 ? ?x ? 2 y ? 3z ?max .??8 分 所以 a ? 2 ? 28,即 a ? 30 或 a ? ?26 .??10 分 22. f ( x) 的定义域为 (? (1) f ?( x) ? 当?

3 ,?? ) ,??2 分 2

2 4x 2 ? 6x ? 2 ? 2x ? .??4 分 2x ? 3 2x ? 3

1 3 1 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; ? 1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2 3 1 从而, f ( x) 在区间 ( ? ,?1) , (? ,?? ) 上单调递增, 2 2 1 在区间 ( ?1,? ) 上单调递减.??6 分 2
(2)由(1)知 f ( x) 在区间 ??

1 1 ? 3 1? , ? 的最小值为 f (? ) ? ? ln 2 .??8 分 2 4 ? 4 4?

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又 f (? ) ? f ( ) ? ln 所以 f ( x) 在区间 ??

3 4

1 4

3 9 7 1 3 1 1 49 ? ? ln ? ? ln ? ? (1 ? ln ) ? 0 , 2 16 2 16 7 2 2 9

1 1 7 ? 3 1? ? ln .??10 分 , ? 的最大值为 f ( ) ? 4 16 2 ? 4 4?

23.证:(1)当 n ? 1 时,不等式显然成立.??1 分 (2)假设当 n ? k 时,不等式成立,即

ak ? bk a?b k ?( ) .??2 分 2 2 a k ?1 ? b k ?1 a ? b k ?1 ?( ) .??3 分 2 2

要证明 n ? k ? 1 时,不等式成立,即证明



a?b ak ? bk a?b k ?( ) 的两边同时乘以正数 , 2 2 2



(a ? b)(a k ? b k ) a ? b k ?1 ?( ) ,??4 分 4 2

a k ?1 ? b k ?1 a ? b k ?1 ?( ) , 因此,要证明 2 2
只需要证明

a k ?1 ? b k ?1 (a ? b)(a k ? b k ) ? .??6 分 2 4



a k ?1 ? b k ?1 (a ? b)(a k ? b k ) ? 2 4

? 2(a k ?1 ? b k ?1 ) ? (a ? b)(a k ? b k ) ? 2(a k ?1 ? b k ?1 ) ? (a k ?1 ? abk ? bak ? b k ?1 ) ? 0
? a k ?1 ? abk ? bak ? b k ?1 ? 0 ? (a ? b)(a k ? b k ) ? 0 ,
因为 a ? b 与 a ? b 同为正数、负数或 0 ,所以最后一个不等式显然成立.??8 分
k k

这就证明了当 n ? k ? 1 时,不等式成立.??9 分 综合(1) 、 (2)可知,对任何 n ? N ,不等式
*

an ? bn a?b n ?( ) 成立.??10 分 2 2

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