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高考备考精品:数学选择题解题方法实例


高考备考精品:数学选择题解题方法实例
数学选择题在当今高考试卷中,不但题目多,而且占分比例高,即使今年江苏试题的题 量发生了一些变化, 选择题由原来的 12 题改为 10 题, 但其分值仍占到试卷总分的三分之一。 数学选择题具有概括性强,知识覆盖面广,小巧灵活,且有一定的综合性和深度等特点,考 生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题,成为高考成功的关键。 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件,选择题不设中 间分,一步失误,造成错选,全题无分,所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏, 确保准确;迅速是赢得时间获取高分的必要条件,对于选择题的答题时间,应该控制在不超 过 40 分钟左右,速度越快越好,高考要求每道选择题在 1~3 分钟内解完,要避免“超时失 分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题, 个别题属于较难题, 当中的大多数题的解 答可用特殊的方法快速选择。 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想, 但更 应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,因而,在解答 时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的 信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题 的基本策略。

(一)数学选择题的解题方法
1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与 选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例 1、某人射击一次击中目标的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有 2 次击中目标 的概率为 ( )

A.

81 125

B.

54 125

C.

36 125

D.

27 125

解析:某人每次射中的概率为 0.6,3 次射击至少射中两次属独立重复实验。
6 4 6 27 3 C 32 ? ( ) 2 ? ? C 3 ? ( )3 ? 10 10 10 125

故选 A。

例 2、有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α 的一条斜线 l 有 且仅有一个平面与α 垂直;③异面直线 a、b 不垂直,那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直。 其中正确命题的个数为( )

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A.0

B.1

C.2

D.3

解析: 利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断, 易得都是正确 的,故选 D。 例 3、已知 F1、F2 是椭圆

x2 y2 + =1 的两焦点,经点 F2 的的直线交椭圆于点 A、B,若 16 9
) C.9 D.16

|AB|=5,则|AF1|+|BF1|等于( A.11 B.10

解 析 : 由 椭 圆 的 定 义 可 得 |AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8 , 两 式 相 加 后 将 |AB|=5=|AF2|+|BF2|代入,得|AF1|+|BF1|=11,故选 A。 例 4、已知 y ? log a (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D.[2,+∞)

解析:∵a>0,∴y1=2-ax 是减函数,∵ y ? log a (2 ? ax) 在[0,1]上是减函数。 ∴a>1,且 2-a>0,∴1<a<2,故选 B。 2、特例法:就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、 特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它 在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时,特例取得愈 简单、愈特殊愈好。 (1)特殊值 例 5、若 sinα >tanα >cotα ( ? A.( ?

?
4

?? ?

?
2

),则α ∈( ) C. (0,

?
2

,?

?
4

)

B. (?

?
4

,0)

?
4



D. (

?
4



?
2



解析:因 ? C、D,故选 B。

?
4

?? ?

?
2

,取α =-

π 代入 sinα >tanα >cotα ,满足条件式,则排除 A、 6

例 6、一个等差数列的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则它的前 3n 项和为( A.-24 B.84 C.72 D.36



解析:结论中不含 n,故本题结论的正确性与 n 取值无关,可对 n 取特殊值,如 n=1, 此时 a1=48,a2=S2-S1=12,a3=a1+2d= -24,所以前 3n 项和为 36,故选 D。 (2)特殊函数 例 7、如果奇函数 f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-
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3] 上是( ) A.增函数且最小值为-5 C.增函数且最大值为-5 解析:构造特殊函数 f(x)= B.减函数且最小值是-5 D.减函数且最大值是-5

5 x,虽然满足题设条件,并易知 f(x)在区间[-7,-3]上 3

是增函数,且最大值为 f(-3)=-5,故选 C。 例 8、定义在 R 上的奇函数 f(x)为减函数,设 a+b≤0,给出下列不等式:①f(a)·f(- a)≤0; ②f(b)· f(-b)≥0; ③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b); ④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)。 其中正确的不等式序号是( A.①②④ ) C.②④ D.①③

B.①④

解析:取 f(x)= -x,逐项检查可知①④正确。故选 B。 (3)特殊数列 例 9、已知等差数列 {an } 满足 a1 ? a2 ???? ? a101 ? 0 ,则有 A、 a1 ? a101 ? 0 B、 a2 ? a102 ? 0 C、 a3 ? a99 ? 0 D、 a51 ? 51 ( )

解析:取满足题意的特殊数列 an ? 0 ,则 a3 ? a99 ? 0 ,故选 C。 (4)特殊位置 例 10、过 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作直线交抛物线与 P、Q 两点,若 PF 与 FQ 的长
2

分别是 p、q ,则

1 1 ? ? p q
B、





A、 2 a

1 2a

C、 4 a

D、

4 a

解析:考虑特殊位置 PQ⊥OP 时,| PF |?| FQ |? 选 C。

1 1 1 ,所以 ? ? 2a ? 2a ? 4a ,故 2a p q

例11、向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象 如图所示,那么水瓶的形状是 ( )

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解析:取 h ? (5)特殊点

H 1 ,由图象可知,此时注水量 V 大于容器容积的 ,故选B。 2 2

例 12、设函数 f ( x) ? 2 ? x ( x ? 0) ,则其反函数 f

?1

( x) 的图像是





A、

B、

C、

D、

解析: 由函数 f ( x) ? 2 ? x ( x ? 0) , 可令 x=0, 得 y=2; 令 x=4, 得 y=4, 则特殊点(2,0) 及 (4,4) 都应在反函数 f (x) 的图像上,观察得 A 、 C 。又因反函数 f (x) 的定义域为
-1 -1

{x | x ? 2} ,故选 C。
(6)特殊方程 例 13、 双曲线 b x -a y =a b (a>b>0)的渐近线夹角为α , 离心率为 e,则 cos A.e B.e
2 2 2 2 2 2 2

? 等于 ( ) 2

C.

1 e

D.

1 e2

解析:本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式,故可用特殊方程来考察。 取双曲线方程为

? 2 x2 y2 5 - =1,易得离心率 e= ,cos = ,故选 C。 2 4 1 2 5
y 的最大值是( x
D. 3

(7)特殊模型 例 14、如果实数 x,y 满足等式(x-2) +y =3,那么
2 2



A.

1 2

B.

3 3

C.

3 2

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解析:题中

y ? y1 y y?0 可写成 。联想数学模型:过两点的直线的斜率公式 k= 2 , x?0 x x2 ? x1
2 2

可将问题看成圆(x-2) +y =3 上的点与坐标原点 O 连线的斜率的最大值,即得 D。 3、图解法:就是利用函数图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等 式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来,利用直观几性,再辅以简单计算,确定 正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想,每年高考均有很多选择题(也有填空题、解 答题)都可以用数形结合思想解决,既简捷又迅速。 例 15、已知α 、β 都是第二象限角,且 cosα >cosβ ,则( )

A.α <β C.tanα >tanβ

B.sinα >sinβ D.cotα <cotβ

解析:在第二象限角内通过余弦函数线 cosα >cosβ 找出α 、β 的终边位置关系,再作 出判断,得 B。 例 16、已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么| a +3 b |= A. 7 B. 10 C. 13 D.4

解析:如图, a +3 b = OB ,在 ?OAB 中, | OA |? 1,| AB |? 3, ?OAB ? 120 ,?由余 弦定理得| a +3 b |=| OB |= 13 ,故选 C。

例 17、已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是( ) A.4 B.5 C.6 D.7

d 2 d n +(a1- )n 可表示为过原点的抛物线,又本题中 2 2 3?7 a1=-9<0, S3=S7,可表示如图,由图可知,n= ? 5 ,是抛物线的对称轴,所以 n=5 是抛物 2
解析:等差数列的前 n 项和 Sn= 线的对称轴,所以 n=5 时 Sn 最小,故选 B。
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4、验证法:就是将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去验证是否满足题 设条件,然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验证法解题时,若能据题意确 定代入顺序,则能较大提高解题速度。 例 18、 计算机常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制, 采用数字 0—9 和字母 A—F 共 16 个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表: 十六进制 十进制 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15 ( )

例如:用十六进制表示 E+D=1B,则 A×B= A.6E B.72 C.5F D.BO

解析:采用代入检验法,A×B 用十进制数表示为 1×11=110,而 6E 用十进制数表示为 6×16+14=110;72 用十进制数表示为 7×16+2=114 5F 用十进制数表示为 5×16+15=105;B0 用十进制数表示为 11×16+0=176,故选 A。 例 19、方程 x ? lg x ? 3 的解 x0 ? A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) ( )

解析:若 x ? (0,1),则 lg x ? 0 ,则 x ? lg x ? 1;若 x ? (1, 2),则 0 ? lg x ? 1,则

1 ? x ? lg x ? 3;若 x ? (2, 3),则 0 ? lg x ? 1,则 2 ? x ? lg x ? 4 ;若 x ? 3, lg x ? 0, 则 x ? lg x ? 3 ,故选 C。
5、筛选法(也叫排除法、淘汰法) :就是充分运用选择题中单选题的特征,即有且只有 一个正确选择支这一信息,从选择支入手,根据题设条件与各选择支的关系,通过分析、推 理、计算、判断,对选择支进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正 确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一” ,即四个选项中有且只有一个答案正确。 例 20、若 x 为三角形中的最小内角,则函数 y=sinx+cosx 的值域是( A. (1, 2 ] B. (0, )

3 ] 2

C. [

1 2 , ] 2 2

D. (

1 2 , ] 2 2

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解析: 因 x 为三角形中的最小内角, 故 x ? (0, 故应选 A。

?
3

], 由此可得 y=sinx+cosx>1, 排除 B,C,D,

例 21、原市话资费为每 3 分钟 0.18 元,现调整为前 3 分钟资费为 0.22 元,超过 3 分 钟的,每分钟按 0.11 元计算,与调整前相比,一次通话提价的百分率( A.不会提高 70% C.不会低于 10% 解析:取 x = 4 , y = B.会高于 70%,但不会高于 90% D.高于 30%,但低于 100% 0.33 - 0.36 · 100% ≈- 8.3% ,排除 C 、 D ;取 x = 30 , y = 0.36 )

3.19 - 1.8 ·100%≈77.2%,排除 A,故选 B。 1.8 例 22、给定四条曲线:① x 2 ? y 2 ?

y2 5 x2 y2 x2 ,② ? ? 1,③ x 2 ? ? 1,④ ? y 2 ? 1, 2 9 4 4 4

其中与直线 x ? y ? 5 ? 0 仅有一个交点的曲线是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④

解析:分析选择支可知,四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求,故可考虑找不符合 条件的曲线从而筛选,而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆,故可先看②,显然直线和 曲线

x2 y2 ? ? 1是相交的,因为直线上的点 ( 5 ,0) 在椭圆内,对照选项故选 D。 9 4

6、分析法:就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和 加工后而作出判断和选择的方法。 (1)特征分析法——根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特征等, 进行快速推理,迅速作出判断的方法,称为特征分析法。 例 23、如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联,连线标 的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量, 现从结点 A 向结点 B 传送信息, 信 息可以分开沿不同的路线同时传送,则单位时间内传递的最大信息量为( )

A.26

B.24

C.20

D.19

解析:题设中数字所标最大通信量是限制条件,每一支要以最小值来计算,否则无法同 时传送,则总数为 3+4+6+6=19,故选 D。

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例 24、设球的半径为 R, P、Q 是球面上北纬 60 圈上的两点,这两点在纬度圈上的劣 弧的长是

0

?R ,则这两点的球面距离是 2
B、

A、 3R

2?R 2

C、

?R 3

D、

?R 2

解析:因纬线弧长>球面距离>直线距离,排除 A、B、D,故选 C。 例 25、已知 sin ? ? A、

m?3 9?m

m?3 4 ? 2m ? ? , cos ? ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan 等于 ( m?5 m?5 2 2 m?3 1 | B、 | C、 D、 5 9?m 3
2 2



解析:由于受条件 sin θ +cos θ =1 的制约,故 m 为一确定的值,于是 sinθ ,cosθ 的 值应与 m 的值无关,进而推知 tan 故选 D。 (2)逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析,达到否定谬误支,选 出正确支的方法,称为逻辑分析法。 例 26、设 a,b 是满足 ab<0 的实数,那么 A.|a+b|>|a-b| C.|a-b|<|a|-|b| B.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<|a|+|b|

? ? ? ? ? ? 的值与 m 无关,又 <θ <π , < < ,∴tan >1, 2 2 2 4 2 2

解析:∵A,B 是一对矛盾命题,故必有一真,从而排除错误支 C,D。又由 ab<0,可令 a=1,b= -1,代入知 B 为真,故选 B。 例 27、 ?ABC 的三边 a, b, c 满足等式 a cos A ? b cos B ? c cos C ,则此三角形必是() A、以 a 为斜边的直角三角形 C、等边三角形 B、以 b 为斜边的直角三角形 D、其它三角形

解析:在题设条件中的等式是关于 a, A 与 b, B 的对称式,因此选项在 A、B 为等价命题 都被淘汰,若选项 C 正确,则有

1 1 1 1 ? ? ,即 1 ? ,从而 C 被淘汰,故选 D。 2 2 2 2

7、估算法:就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数值 扩大或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法。 例 28、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03 年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工资源共享性收入为 1800 元,其它收入为 1350 元) ,预计该地区自 04 年起 的 5 年内,农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长,其它性收入每年增加 160

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元。根据以上数据,08 年该地区人均收入介于 (A)4200 元~4400 元 (C)4460 元~4800 元 (B)4400 元~4460 元 (D)4800 元~5000 元





1 2 解析:08 年农民工次性人均收入为: 1800(1 ? 0.06)5 ? 1800(1 ? C5 ? 0.06 ? C5 ? 0.062

? 1800(1 ? 0.3 ? 0.036) ? 1800 ?1.336 ? 2405
又 08 年农民其它人均收入为 1350+160 ? 5 =2150 故 08 年农民人均总收入约为 2405+2150=4555(元) 。故选 B。 说明:1、解选择题的方法很多,上面仅列举了几种常用的方法,这里由于限于篇幅, 其它方法不再一一举例。 需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合 起来进行解题,会使题目求解过程简单化。 2、对于选择题一定要小题小做,小题巧做,切忌小题大做。 “不择手段,多快好省”是解选 择题的基本宗旨。

(二)选择题的几种特色运算
1、借助结论——速算 例 29、棱长都为 2 的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( A、 3? B、 4? C、 3 3? D、 6? )

解析:借助立体几何的两个熟知的结论: (1)一个正方体可以内接一个正四面体; (2) 若正方体的顶点都在一个球面上, 则正方体的对角线就是球的直径。 可以快速算出球的半径

R?

3 ,从而求出球的表面积为 3? ,故选 A。 2
2、借用选项——验算

?3 x ? y ? 12, ?2 x ? 9 y ? 36, ? 例 30、 若 x, y 满足 ? , 则使得 z ? 3x ? 2 y 的值最小的 ( x, y) 是 ?2 x ? 3 y ? 24, ? ? x ? 0, y ? 0,
A、 (4.5,3) B、 (3,6) C、 (9,2)





D、 (6,4)

解析:把各选项分别代入条件验算,易知 B 项满足条件,且 z ? 3x ? 2 y 的值最小,故 选 B。 3、极限思想——不算
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例 31、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为 ? ,侧面与底面所成的二面角的平 面角为 ? ,则 2 cos? ? cos2? 的值是 A、1 B、2 C、-1 D、 ( )

3 2

解析:当正四棱锥的高无限增大时, ? ? 90? , ? ? 90? ,则

2 cos? ? cos2? ? 2 cos90? ? cos180? ? ?1. 故选 C。
4、平几辅助——巧算 例 32、在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共 有 A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 ( )

解析:选项暗示我们,只要判断出直线的条数就行,无须具体求出直线方程。以 A(1, 2)为圆心,1 为半径作圆 A,以 B(3,1)为圆心,2 为半径作圆 B。由平面几何知识易知, 满足题意的直线是两圆的公切线,而两圆的位置关系是相交,只有两条公切线。故选 B。 5、活用定义——活算 例 33、若椭圆经过原点,且焦点 F1(1,0) ,F2(3,0) ,则其离心率为 ( A、 )

3 4

B、

2 3

C、

1 2

D、

1 4

解析:利用椭圆的定义可得 2a ? 4, 2c ? 2, 故离心率 e ? 6、整体思想——设而不算

c 1 ? . 故选 C。 a 2

例 34、若 (2x ? 3) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ,则 (a0 ? a2 ? a4 )2 ?(a1 ? a3 )2 的值为 A、1 ( ) C、0 D、 2

B、-1

解析:二项式中含有

3 ,似乎增加了计算量和难度,但如果设

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a ? (2 ? 3) 4 , a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b ? (2 ? 3) 4 ,则待求式
子 ? ab ? [(2 ? 3)(2 ? 3)]4 ? 1。故选 A。 7、大胆取舍——估算 例 35、 如图, 在多面体 ABCDFE 中, 已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形, EF∥AB, EF= EF 与面 ABCD 的距离为 2,则该多面体的体积为
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3 , 2





A、

9 2

B、5

C、6

D、

15 2


解析:依题意可计算 VE ? ABCD ? 6,故选 D。 8、发现隐含——少算 例 36、 y ? kx ? 2与 x ?
2

1 1 S ABCD ? h ? ? 3 ? 3 ? 2 ? 6 ,而 VABCDEF ?E VAB? C D 3 3

y2 ? 1 交于 A、B 两点,且 kOA ? kOB ? 3 ,则直线 AB 的方 2

程为 A、 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 C、 3x ? 2 y ? 4 ? 0 B、 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 D、 3 x ? 2 y ? 4 ? 0

解析:解此题具有很大的迷惑性,注意题目隐含直线 AB 的方程就是 y ? kx ? 2 ,它过 定点(0,2) ,只有 C 项满足。故选 C。 9、利用常识——避免计算 例 37、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税,利息税由各银行储蓄点代扣代收。某 人在 2001 年 9 月存入人民币 1 万元,存期一年,年利率为 2.25%,到期时净得本金和利息 共计 10180 元,则利息税的税率是 A、8% B、20% C、32% D、80%

解析:生活常识告诉我们利息税的税率是 20%。故选 B。

(三)选择题中的隐含信息之挖掘
1、挖掘“词眼” 例 38、过曲线 S : y ? 3x ? x 上一点 A(2, ? 2) 的切线方程为(
3



A、 y ? ?2 C、 9 x ? y ? 16 ? 0

B、 y ? 2 D、 9 x ? y ? 16 ? 0 或 y ? ?2
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错解: f / ( x) ? ?3x 2 ? 3, f / (2) ? ?9 ,从而以 A 点为切点的切线的斜率为–9,即所 求切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0. 故选 C。 剖析:上述错误在于把“过点 A 的切线”当成了“在点 A 处的切线” ,事实上当点 A 为 切点时,所求的切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 ,而当 A 点不是切点时,所求的切线方程为

y ? ?2. 故选 D。
2、挖掘背景 例 39、已知 x ? R, a ? R , a 为常数,且 f ( x ? a) ? 期为 A、2 a 分析:由于 tan( x ? B、3 a C、4 a D、5 a

1 ? f ( x) ,则函数 f ( x ) 必有一周 1 ? f ( x)

?
4

)?

a?

?
4

1 ? tan x ,从而函数 f ( x ) 的一个背景为正切函数 tanx,取 1 ? tan x

,可得必有一周期为 4 a 。故选 C。

3、挖掘范围 例
3 40 、 设 t a ?n 、 t an ? 是 方 程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 的 两 根 , 且

? ? ? ? ? ? (? , ), ? ? (? , ) ,则 ? ? ? 的值为
2 2 2? A、 ? 3 2 2
B、

? 3

C、

?
3

或? ,

错解:易得 tan( ? ? ? ) ? 3 , 又? ? (?

? ?

2? 3 ), ? ? (?

D、 ?

?
3



? ?

2? 3

? ?? ?

?
3

或?

2? . 故选 C。 3

2 2

, ), ? ? ? ? (?? , ? ) ,从而 2 2

剖析:事实上,上述解法是错误的,它没有发现题中的隐含范围。由韦达定理知

tan? ? tan? ? 0, tan? tan? ? 0, 故 tan? ? 0, 且 tan? ? 0 .从而

? ? 2? ? ? (? , 0), ? ? (? , 0) ,故 ? ? ? ? ? . 故选 A。
2 2 3
4、挖掘伪装 例 41 、若函数 f ( x) ? loga (x ? ax ? 3)(a ? 0 且 a ? 1),满足对任意的 x1 、 x2 ,当
2

x1 ? x2 ?

a 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围为( 2



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A、 (0, 1) ? (1, 3) C、 (0, 1) ? (1, 2 3)

B、 (1, 3) D、 (1, 2 3)

a 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ”实质上就是“函数 2 a 单调递减” 的 “伪装” , 同时还隐含了 “ f ( x ) 有意义” 。 事实上由于 g ( x) ? x 2 ? ax ? 3 在 x ? 2
分析: “对任意的 x1、x2,当 x1 ? x 2 ?

?a ? 1, ? 时递减,从而 ? a 由此得 a 的取值范围为 (1, 2 3) 。故选 D。 g ( ) ? 0 . ? ? 2
5、挖掘特殊化
2x 2 x?3 例 42、不等式 C12 的解集是( ? C12



A、 ? C、{4,5,6}

B、 {大于3 的正整数 } D、{4,4.5,5,5.5,6}

分析:四个选项中只有答案 D 含有分数,这是何故?宜引起高度警觉,事实上,将 x 值取 4.5 代入验证,不等式成立,这说明正确选项正是 D,而无需繁琐地解不等式。 6、挖掘修饰语 例 43、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上,两校各派 3 名代表,校际间 轮流发言, 对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉, 对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进 行赞颂,那么不同的发言顺序共有( A、72 种 B、36 种 ) C、144 种 D、108 种

分析:去掉题中的修饰语,本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目:三男三女站
3 3 成一排,男女相间而站,问有多少种站法?因而易得本题答案为 2 A3 A3 ? 72种。故选 A。

7、挖掘思想 例 44、方程 2 x ? x ?
2

2 的正根个数为( x
B、1
2 3

) C、2 D、 3

A、0

分析:本题学生很容易去分母得 2 x ? x ? 2 ,然后解方程,不易实现目标。 事实上,只要利用数形结合的思想,分别画出 y ? 2 x ? x , y ?
2

2 的图象,容易发现在 x

第一象限没有交点。故选 A。 8、挖掘数据
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例 45 、定义函数 y ? f ( x), x ? D ,若存在常数 C ,对任意的 x1 ? D ,存在唯一的

x2 ? D , 使 得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? C , 则 称 函 数 f ( x) 在 D 上 的 均 值 为 C 。 已 知 2


f ( x) ? lg x, x ?[10, 1 0 ] 0,则函数 f ( x) ? lg x 在 x ?[10, 100] 上的均值为(
A、

3 3 7 B、 C、 D、10 2 4 10 f ( x1 ) ? f ( x2 ) lg( x1 x2 ) ? ? C , 从 而 对 任 意 的 x1 ?[10, 100] , 存 在 唯 一 的 分析: 2 2

x2 ?[10, 100] , 使 得 x1 , x 2 为 常 数 。 充 分 利 用 题 中 给 出 的 常 数 10 , 100 。 令
, 当 x1 ?[10, 100] 时 , x2 ? x1 x2 ? 10?1 0 0 ?1 0 0 0

1000 ? [10, 1 0] 0, 由 此 得 x1

C?

l gx1(x 2 ) 3 ? . 故选 A。 2 2

(四)选择题解题的常见失误
1、审题不慎 例 46、设集合 M={直线} ,P={圆} ,则集合 M ? P 中的元素的个数为 A、0 B、1 C、2 ( )

D、0 或 1 或 2

误解:因为直线与圆的位置关系有三种,即交点的个数为 0 或 1 或 2 个,所以 M ? P 中的元素的个数为 0 或 1 或 2。故选 D。 剖析:本题的失误是由于审题不慎引起的,误认为集合 M,P 就是直线与圆,从而错用 直线与圆的位置关系解题。实际上,M,P 表示元素分别为直线和圆的两个集合,它们没有 公共元素。故选 A。 2、忽视隐含条件 例 47、若 sin 2 x 、 sin x 分别是 sin ?与 cos? 的等差中项和等比中项,则 cos 2 x 的值为

A、

1 ? 33 8

B、

1 ? 33 8

C、

1 ? 33 8

D、

1? 2 4

误解:依题意有 2 sin 2 x ? sin ? ? cos ? , ①
2

s i 2n x?

? s i n? c o ② s
1 ? 33 。故选 C。 8

由① -②×2 得, 4 cos 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 0 ,解得 cos 2 x ?
2

剖析:本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实上,由
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sin 2 x ? sin ? cos? ,得 cos 2 x ? 1 ? sin 2? ? 0 ,所以
3、概念不清

1 ? 33 不合题意。故选 A。 8

例 48、已知 l1 : 2 x ? my ? 2 ? 0, l2 : mx ? 2 y ? 1 ? 0 ,且 l1 ? l 2 ,则 m 的值为( A、2 B、1 C、0 D、不存在



误解:由 l1 ? l 2 ,得 k1k 2 ? ?1. ? ?

2 ?m ?( ) ? ?1 ,方程无解,m 不存在。故选 D。 m 2

剖析:本题的失误是由概念不清引起的,即 l1 ? l 2 ,则 k1k 2 ? ?1 ,是以两直线的斜率 都存在为前提的。若一直线的斜率不存在,另一直线的斜率为 0,则两直线也垂直。当 m=0 时,显然有 l1 ? l 2 ;若 m ? 0 时,由前面的解法知 m 不存在。故选 C。 4、忽略特殊性 例 49、已知定点 A(1,1)和直线 l : x ? y ? 2 ? 0 ,则到定点 A 的距离与到定直线 l 的 距离相等的点的轨迹是 A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、直线 ( )

误解:由抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线。故选 C。 剖析:本题的失误在于忽略了 A 点的特殊性,即 A 点落在直线 l 上。故选 D。 5、思维定势 例 50、如图 1,在正方体 AC1 中盛满水,E、F、G 分别为 A1B1、BB1、BC1 的中点。若三个 小孔分别位于 E、F、G 三点处,则正方体中的水最多会剩下原体积的

A、

11 12

B、

7 8

C、

5 6

D、

23 24

误解:设平面 EFG 与平面 CDD1C1 交于 MN,则平面 EFMN 左边的体积即为所求,由三棱柱 B1EF—C1NM 的体积为 V正方体 ,故选 B。 剖析:在图 2 中的三棱锥 ABCD 中,若三个小孔 E、F、G 分别位于所在棱的中点处,则在 截面 EFG 下面的部分就是盛水最多的。 本题的失误在于受图 2 的思维定势, 即过三个小孔的
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1 8

平面为截面时分成的两部分中,较大部分即为所求。事实上,在图 1 中,取截面 BEC1 时, 小孔 F 在此截面的上方, VB1 ? BEC1 ? 6、转化不等价 例 51、函数 y ? x ? A、 (??, 0) ? (0, ? ?)

1 V正方体 ,故选 A。 12

x 2 ? a 2 (a ? 0) 的值域为
B、 [a, ? ?) C、 (??, 0]





D、 [?a, 0) ? [a, ? ?)
?1

x2 ? a2 误解:要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数 f ( x) ? , 2x
所以 x ? 0 ,故选 A。 剖析:本题的失误在于转化不等价。事实上,在求反函数时,由 y ? x ? ? x 2 ? a 2 ,两

y2 ? a2 边平方得 ( y ? x) ? x ? a ,这样的转化不等价,应加上条件 y ? x ,即 y ? ,进 2y
2 2 2

而解得, y ? a或 ? a ? y ? 0 ,故选 D。

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