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(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测): 专题9.1 直线与直线的方程(讲)

专题 9.1 直线与直线的方程
【考纲解读】 考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测 1. 考查直线的斜率与倾斜 角; 2. 考查直线方程的几种形 (1)理解平面直角坐标系, 理解直线的倾斜角与斜率的 直 线 与 方 程 ( 2 )会求过两点的直线斜 率. 概念,掌握直线方程的点斜 式、两点式及一般式,了解 直线方程与一次函数的关 系. 2013?浙江文.21;理.15,21,22; 2015?浙江理.19; 2016?浙江理.19; 2017?浙江.21. 式. 3. 与其它知识(如充要条 件、导数的几何意义等) 相结合,考查直线与方程 的应用. 4.备考重点: (1) 理 解 直 线 的斜 率 与 倾斜角的关系,掌握直线 的斜率与倾斜角的求法; (2) 掌握直线方程的几种 形式,特别是点斜式. 【知识清单】 1.直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角 ①定义. 当直线 l 与 x 轴相交时, 我们取 x 轴作为基准, x 轴的正方向与直线 l 向上的方向之间所成的角 ? 叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0°. ②范围:倾斜角 ? 的范围为 0 ? ? ? ? . 2.直线的斜率 ①定义.一条直线的倾斜角 ? (? ? 90 ) 的正切叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,即

k= tan ? ,倾斜角是 90°的直线没有斜率.当直线 l 与 x 轴平行或重合时, ? ? 0 , k ? tan 0 ? 0 .
②过两点的直线的斜率公式.经过两点 P ,y1 ),P2 ( x2,y2 )( x1 ? x2 ) 的直线的斜率公式为 k= 1 ( x1

y2 ? y1 . x2 ? x1

3.每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率.倾斜角为 90°的直线斜率不存在.

4.直线的倾斜角 ? 、斜率 k 之间的大小变化关系: (1)当 ? ? [0, (2)当 ? ? ( 对点练习: 【2017 届重庆市一中高三上学期期中】已知直线方程为 cos300 x ? sin 300 y ? 3, 则直线的倾斜角为
? ?

?
2

) 时, k ? 0, ? 越大,斜率越大;

?
2

, ? ) 时, k ? 0, ? 越大,斜率越大.

( A. 60 C. 30
?

) B. 60 或300 D. 30 或330
? ? ?

?

?

【答案】C

2.直线的方程 1.直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P 0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k ,则直线 l 的方程为:

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) .这个方程就叫做直线点斜式方程.
特别地,直线 l 过点 (0, b) ,则直线 l 的方程为: y ? kx ? b .这个方程叫做直线 的斜截式方程. 2.直线的两点式方程 直线 l 过两点 P 其中 ( x1 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 )

? x2 , y1 ? y2 ) ,则直线 l 的方程为:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) .这个方程叫做直线的两点式方程. y 2 ? y1 x2 ? x1

当 x1

? x2 时,直线与 x 轴垂直,所以直线方程为: x ? x1 ;当 y1 ? y2 时,直线与 y 轴垂直,直线方程
? y1 .

为: y

特别地,若直线 l 过两点 P 1 (a,0), P 2 (0, b) (ab ? 0) ,则直线 l 的方程为:

x y ? ? 1 ,这个方程叫做直线的截距式方程. a b
3.直线的一般式方程 关于 x, y 的二元一次方程 Ax

? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程.
A C ,截距 b ? ? . B B

由一般式方程可得,B 不为 0 时,斜率 k ? ? 对点练习:

【2018 届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】已知直线经过点 线的方程为( A. C. 【答案】A 【解析】直线经过点 故选 A 【考点深度剖析】 ,且斜率为 ,则 即 ) B. D.

,且斜率为

,则直

高考对直线方程的考查要求较低,以小题的形式考查直线与方程,一般难度不大,但呈现综合性较强 的趋势,与充要条件、基本不等式、导数、圆、圆锥曲线等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查. 要求考生熟练掌握直线方程的基础知识.纵观近几年的高考试题,主要考查以下两个方面:一是考查直线 的斜率与倾斜角,二是考查直线方程的几种形式. 【重点难点突破】 考点 1 直线的倾斜角与斜率

【1-1】经过两点 A (4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为 A.-1 【答案】 B B.-3 C.0 D.2

3? ,则 y=( 4

)

【1-2】 【2017 届河北武邑中学高三周考】过点 M ? ?2, a ? 和 N ? a, 4? 的直线的斜率为 1,则实数 a 的值为 ( A. 1 C. 1 或 4 【答案】A 【解析】依题意有 【领悟技法】 1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数 y=tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的 限制; 2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直 角变到钝角时,需依据正切函数 y=tan x 的单调性求 k 的范围. 【触类旁通】 【变式一】坐标平面内有相异两点 A(cos? ,sin 2 ? ), B(0,1) ,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是 A. ? ? ) B.2 D.1 或 2

4?a ? 1, a ? 1 . a?2

? ? ?? , ? 4 4? ?

B. ? 0,

? ?

? ? ? 3?
? 4?

? ,? ? ? ? 4 ?

C. ?0 ,

? ?

? ? ? 3?
4? ?

? ,? ? ? ? 4 ?

D. ?

? ? 3? ? , ?4 4 ? ?

【答案】

3? ?? ?? 4

【解析】 k AB

sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ? ? cos ? ? [?1,1] ,且 k AB ? 0 .设直线的倾斜角为 ? ,当 0 ? k AB ? 1 cos ? cos ?

时,则 0 ? tan ? ? 1 ,所以倾斜角 ? 的范围为 0 ? ? ? 斜角 ? 的范围为

?
4

.当 ?1 ? k AB ? 0 时,则 ?1 ? tan ? ? 0 ,所以倾

3? ?? ?? . 4

【变式二】已知 A(2, 4), B(1,1) 两点,直线 l 过点 C (0, 2) 且与线段 AB 相交,直线 l 的斜率 k 的取值范围 是 【答案】 [?1,1] .

y 4 3 2 C 1 O B x 1 2 3 A

y 4 3
D

A

l
D 2 C 1 O B x 1 2 3

l

【综合点评】 1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标,则直接利用斜率公式求斜率;若条件中给出一条直线,则求 出直线上的两点的坐标,然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角,则先求出直线的斜率,再利用

tan ? ? k 求倾斜角.
2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率 k 是含参数的一个式子,则利用函数或不等式的方法求其范围; 若是给出图形求斜率与倾斜角的范围,则采用数开结合的方法求其范围. 考点 2 直线的方程 【2-1】 【2017 届河北武邑中学高三周考】已知等边 ?ABC 的两个顶点 A ? 0,0? , B ? 4,0? ,且第三个顶点在第 四象限,则 BC 边所在的直线方程是( A. y ? ? 3x C. y ? 3 ? x ? 4 ? 【答案】C 【解析】如图所示,直线 BC 额倾斜角为 )

B. y ? ? 3 ? x ? 4 ? D. y ? 3 ? x ? 4 ?

? ,故斜率为 3 ,由点斜式得直线方程为 y ? 3 ? x ? 4 ? . 3

【2-2】已知点 A(-3,-1) ,B(1,5) ,直线 l 过线段 AB 的中点,且在 x 轴上的截距是它在 y 轴上的截距的 2 倍.求直线 l 的方程. 【答案】 x ? 2 y ? 3 ? 0

【领悟技法】 求直线方程的常用方法有 1.直接法:根据已知条件灵活选用直线方程的形式,写出方程. 2.待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数,最 后代入求出直线方程. 3. 直线在 x(y)轴上的截距是直线与 x(y)轴交点的横(纵)坐标,所以截距是一个实数,可正、可负,也可 为 0,而不是距离. 【触类旁通】 【变式一】直线 l 过点 P(4, ?1) ,若直线在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程. 【答案】 y ? ?

1 x 或 x ? y ? 3 ? 0. 4

【变式二】将直线 y =-

3 o 1, 0) 按逆时针方向旋转 60 ,求所得直线的方程. (x-1) 绕点 A( 3

【答案】 y =

3 (x-1) 3 3 3 1, 0) 1, 0) 直线 y =按逆时针方 (x-1) 的倾斜角为 150o ,点 A( (x-1) 上,绕点 A( 3 3
o

【解析】直线 y =-

向旋转 60 ,所得直线的倾斜角为 30 ,其斜率为

o

3 3 ,所以由点斜式方程得, y = (x-1) .即为所求. 3 3

【综合点评】求直线的方程有以下两种常用的方法:直接法和待定系数法.直接法就是利用方程的形式直接 写出直线的方程;待定系数法是用字母表示某些量,把方程设出来,然后再根据题设把这些量求出来,从 而得到直线的方程的方法. 【易错试题常警惕】

1) x+y+2-a=0(a ? R) . 易错典例:设直线 l 的方程为 (a+
(1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 易错分析:易忽视截距均为 0 的情况而失解. 正确解析:(1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零,∴ a=2 ,方程即为 3x+y=0 . 当直线不经过原点时,截距存在且均不为 0, ∴

a?2 1= 1. ?a =0, = a-2 ,即 a+ 方程即为 x+y+2=0 .综上, l 的方程为 3x+y=0或x+y+2=0 . a ?1

1)x+a-2, (2)将 l 的方程化为 y=-(a+

∴?

? ?? ? a ? 1? ? 0 ? ?? ? a ? 1? ? 0 或? ,? a ? -1. ? ? ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 0

1] . 综上可知 a 的取值范围是 (-?,-
温馨提醒:涉及直线在两坐标轴上截距相等问题,要特别注意截距均为 0 的情况;另外,某些涉及直线问 题中,往往要讨论直线的斜率是否存在的情况,也应特别注意. 【学科素养提升之思想方法篇】 数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想 数形结合是一种重要的数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为 两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函 数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数 作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互 转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点: 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几 何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化; 第三是正确确定参数的取值范围. 在解答三视图、 直观图问题中, 主要是通过图形的恰当转化, 明确几何元素的数量关系, 进行准确的计算. 如: 【典例】 【2017 届河北武邑中学高三周考】已知方程

?m

2

? 2m ? 3? x ? ? 2m 2 ? m ? 1? y ? 6 ? 2m ? 0 ? m ? R ? .

(1)求该方程表示一条直线的条件; (2)当 m 为何实数时,方程表示的直线斜率不存在?求出这时的直线方程; (3)已知方程表示的直线 l 在 x 轴上的截距为-3,求实数 m 的值; (4)若方程表示的直线 l 的倾斜角是 45°,求实数 m 的值. 【答案】 (1) m ? ?1 ; (2) m ? 【解析】 试题分析: (1) 当 x, y 的系数不同时为零时, 方程表示一条直线, 分别令 m ? 2m ? 3 ? 0 ,2m ? m ? 1 ? 0 ,
2 2

1 4 5 4 ,x? ; (3) m ? ? ; (4) m ? . 2 3 3 3

解得 m ? ?1 时同时为零,故 m ? ?1 ; (2)斜率不存在,即 2m ? m ? 1 ? 0 ,解得 m ?
2

1 ; (3)依题意, 2



m 2 ? 2m ? 3 2m ? 6 5 4 ? ? 3 m ? ? ? ? 1 ,解得 m ? . ,解得 ; ( 4 )依题意有 2 2 m ? 2m ? 3 3 3 2m ? m ? 1

试题解析:

(2)由(1)易知,当 m ? 此时的方程为 x ?

1 时,方程表示的直线的斜率不存在, 2

4 ,它表示一条垂直于 x 轴的直线. 3 2m ? 6 ? ?3 ,所以 3m2 ? 4m ? 15 ? 0 , (3)依题意,有 2 m ? 2m ? 3 5 5 所以 m ? 3 或 m ? ? ,由(1)知所求 m ? ? . 3 3
(4)因为直线 l 的倾斜角是 45°,所以斜率为 1,

m 2 ? 2m ? 3 4 ? 1 ,解得 m ? 或 m ? ?1 (舍去) 故由 ? . 2 3 2m ? m ? 1
所以直线 l 的倾斜角为 45°时, m ?

4 . 3


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