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高考数学专题二函数第练与函数有关的创新题练习(新)-课件


【步步高】 (浙江专用)2017 年高考数学 专题二 函数 第 14 练 与函 数有关的创新题练习
(1)函数知识的灵活运用;(2)转化与化归思想在函数中的应用;(3)审题能力的培 养. (1)函数新定义问题;(2)抽象函数问题. (1)对新定义进行转换、化为已学过的知识后求解;(2)抽象函数可对变量适当赋 值.

训练目标 训练题型 解题策略

一、选择题 1,x>0, ? ? 1.(2015·湖北)已知符号函数 sgn x=?0,x=0, ? ?-1,x<0. -f(ax)(a>1),则( A.sgn[g(x)]=sgn x B.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] C.sgn[g(x)]=-sgn x D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)] 2.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数” , 则函数解析式为 y=-x ,值域为{-1,-9}的“同族函数”共有( A.9 个 B.8 个 C.5 个 D.4 个
2

f(x)是 R 上的增函数,g(x)=f(x)

)

)

1 3.(2015·浙江五校联考)具有性质 f( )=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函

x

数.下列函数:

x,0<x<1, ? ? 0,x=1, 1 1 ①y=x- ;②y=x+ ;③y=? x x 1 ? ?-x,x>1.
其中满足“倒负”交换的函数是( A.①② C.①③ ) B.②③ D.只有①

4.已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶函数,则 ( )

1

A.f(6)>f(7) C.f(7)>f(9)

B.f(6)>f(9) D.f(7)>f(10)

5.(2015·河南十校联考)设 y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数 K,定义 fK(x) =?
?f(x),f(x)≤K, ? ? ?K,f(x)>K.

给出函数 f(x)=2

x+1

-4 ,若对于任意 x∈(-∞,1],恒有 fK(x)=

x

f(x),则(

) B.K 的最小值为 0 D.K 的最小值为 1

A.K 的最大值为 0 C.K 的最大值为 1 二、填空题

6.若 f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数 f(x)是[a,b]上的“四维光军” 1 2 3 函 数 . 设 g(x) = x - x + 是 [1 , b] 上 的 “ 四 维 光 军 ” 函 数 , 则 常 数 b 的 值 为 2 2 ________________________________________________________________________. 7.若实数 t 满足 f(t)=-t,则称 t 是函数 f(t)的一个次不动点.设函数 f(x)=ln x 与函 数 g(x)=e (其中 e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为 m,则 m=____. 8.定义:函数 y=f(x),对给定的正整数 k,若在其定义域内存在实数 x0,使得 f(x0+k)=
x

a f(x0)+f(k),则称函数 f(x)为“k 性质函数” .若函数 f(x)=lg 2 为“2 性质函数” ,则 x +1
实数 a 的取值范围是_______________________________. 9.用[x]表示不大于实数 x 的最大整数,方程 lg x-[lg x]-2=0 的实根个数是________. 三、解答题 10.定义在(-1,1)上的函数 f(x),对任意 x,y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f( 当 x∈(-1,0)时,f(x)>0.回答下列问题: (1)判断 f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性,并说明理由; 1 1 1 1 1 (3)若 f( )= ,试求 f( )-f( )-f( )的值. 5 2 2 11 19
2

x+y ),且 1+xy

2

3

答案解析 1.C [因为 a>1,所以当 x>0 时,x<ax,因为 f(x)是 R 上的增函数,所以 f(x)<f(ax),所 以 g(x)=f(x)-f(ax)<0,sgn[g(x)]=-1=-sgn x;同理可得当 x<0 时,g(x)=f(x)-

f(ax)>0, sgn[g(x)]=1=-sgn x; 当 x=0 时, g(x)=0, sgn[g(x)]=0=-sgn x 也成立. 故
C 正确.] 2.A [函数 y=-x ,值域为{-1,-9},可知自变量 x 从 1,-1,±1 中任取一个,再从 3,-3,±3 中任取一个构成函数,故满足条件的“同族函数”有 3×3=9 个.] 1 1 1 1 1 3.C [①f( )= - = -x=-(x- )=-f(x),故该函数为“倒负”交换的函数; x x 1 x x
2

x
1 1 1 1 ②f( )= + = +x=f(x),故该函数不是“倒负”交换的函数; x x 1 x

x
1 1 1 ③当 x=1 时, =1,显然此时 f(x)=0,f( )=0,故有 f( )=-f(x);

x

x

x

1 1 1 1 当 0<x<1 时, >1,此时 f(x)=x,f( )=- =-x,故有 f( )=-f(x); x x 1 x

x
1 1 1 1 1 当 x>1 时,0< <1,此时 f(x)=- ,f( )= ,故有 f( )=-f(x).

x

x

x

x

x

综上,只有①③为“倒负”交换的函数.] 4.D [因为 y=f(x+8)为偶函数, 所以 y=f(x)的图象关于直线 x=8 对称. 又因为 y=f(x)在(8,+∞)上为减函数, 所以 y=f(x)在(-∞,8)上为增函数, 所以 f(7)=f(9),f(9)>f(10). 所以 f(7)>f(10).] 5.D [根据题意可知,对于任意 x∈(-∞,1],恒有 fK(x)=f(x),则 f(x)≤K 在 x≤1 上 恒成立,即 f(x)的最大值小于或等于 K 即可. 令 2 =t,则 t∈(0,2],f(t)=-t +2t=-(t-1) +1,可得 f(t)的最大值为 1, ∴K≥1,故选 D.] 6.3 1 2 解析 由已知得 g(x)= (x-1) +1,其对称轴为 x=1,区间[1,b]在对称轴的右边, 2 所以函数在区间[1,b]上是单调递增的,
4
x
2 2

由“四维光军”函数的定义可知,

g(1)=1,g(b)=b,故 b2-b+ =b,
又因为 b>1,解得 b=3. 7.0 解析 在同一直角坐标系中画出函数 y=ln x,y=-x 的大致图象,其图象有唯一的公共点 (t,-t),即有 ln t=-t,e =t,于是点(-t,t)是函数 y=e ,y=-x 的图象的交点, 因此函数 f(x)=ln x 与 g(x)=e 的次不动点必是成对出现的,且两者互为相反数,所以 m =0.
x
-t

1 2

3 2

x

8.[15-10 2,15+10 2 ] 解析 由条件得 lg =lg 2 +lg , 2 (x0+2) +1 x0+1 5 即 = 2 (a>0), (x0+2) +1 5(x0+1)
2 2

a

a

a

a

a2

化简得(a-5)x0+4ax0+5a-5=0, 当 a=5 时,x0=-1; 当 a≠5 时,由 Δ ≥0, 得 16a -20(a-5)(a-1)≥0, 即 a -30a+25≤0, 所以 15-10 2≤a≤15+10 2. 综上,a∈[15-10 2,15+10 2 ]. 9.3 解析 令 lg x=t,则得 t -2=[t],作 y=t -2 与 y=[t]的图象,知 t=-1,t=2,及 1 1<t<2 内有一个解,当 1<t<2 时,[t]=1,t= 3,故得:x= ,x=100,x=10 10 有 3 个实根.
3 2 2 2 2

,即共

5

10.解 (1)f(x)在(-1,1)上是奇函数,理由如下: 令 x=y=0? f(0)=0, 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=0? f(-x)=-f(x), ∴f(x)在(-1,1)上是奇函数. (2)f(x)在(0,1)上单调递减.理由如下: 设 0<x1<x2<1,

x1-x2 则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f( ), 1-x1x2
而 x1-x2<0,0<x1x2<1? 又

x1-x2 <0. 1-x1x2

x1-x2 (1+x1)(1-x2) -(-1)= >0, 1-x1x2 1-x1x2

x1-x2 x1-x2 故-1< <0,则 f( )>0, 1-x1x2 1-x1x2
即当 0<x1<x2<1 时,f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,1)上单调递减. 1 1 (3)由于 f( )-f( ) 2 5 1 1 =f( )+f(- ) 2 5 1 1 - 2 5 1 =f( )=f( ). 1 3 1- 2×5 1 1 1 同理,f( )-f( )=f( ), 3 11 4

f( )-f( )=f( ),
1 1 1 ∴f( )-f( )-f( ) 2 11 19 1 1 =2f( )=2× =1. 5 2

1 4

1 19

1 5

6


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