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山东省济南市济钢高中2015届高三上学期1月月考数学试卷(文科)


山东省济南市济钢高中 2015 届高三上学期 1 月月考数学试卷 (文 科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.版权所有 1. (5 分)已知向量 =(1,m) , =(m,2) ,若 ⊥ ,则实数 m 的值为() A. B. C. D.0

2. (5 分)已知集合 A={x∈R|0<x<1},B={x∈R|(2x﹣1) (x+1)>0},则 A∪B=() A.(0, ) 1)∪( ,+∞) B.(﹣1,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞) D. (﹣∞, ﹣

3. (5 分)设命题 p:函数 y=sin2x 的最小正周期为 对称.则下列判断正确的是() A.p 为真 B.¬q 为假
2 2

;命题 q:函数 y=cosx 的图象关于直线

C.p∧q 为假

D.p∨q 为真 的距离的最小值为 D.

4. (5 分)已知 P 是圆 x +y =1 上的动点,则 P 点到直线 () A.1 B. C. 2 5. (5 分)已知 + =1, (x>0,y>0) ,则 x+y 的最小值为() A.1 B. 2 C. 4

D.8

6. (5 分)某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的 x 值为 31,则 a 等于()

A.0

B. 1

C. 2

D.3

7. (5 分)已知△ ABC 的面积为 2,在△ ABC 所在的平面内有两点 P、Q,满足 =2 A. ,则△ APQ 的面积为() B. C. 1 D.2



8. (5 分)函数 f(x)=

的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积为()

A.9

B.10

C.11

D.

10. (5 分) 设定义在 R 上的奇函数 y=f (x) , 满足对任意 t∈R 都有 ( f t) =f (1﹣t) , 且x 时,f(x)=﹣x ,则 f(3)+f(﹣ A.﹣ B. ﹣
2

的值等于() C. ﹣ D.﹣

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 2 11. (5 分)已知抛物线 x =4y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5,则点 P 的横坐标是. 12. (5 分)若 ,则 的取值范围是.

13. (5 分)观察下列不等式:① 写出第 n 个不等式.

;②

;③

;…请

14. (5 分) 对任意实数 a, b 定义运算“?”: a?b= 若函数 y=f(x)+k 恰有三个零点,则实数 k 的取值范围是. 15. (5 分)下列四个结论,正确的是: ①直线 a,b 为异面直线的充要条件是直线 a,b 不相交;

, 设f (x) = (x ﹣1) ? (4+x) ,

2

②从总体中抽取的样本(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) ,若记





回归直线 ③函数
x

必过点

; ;

的零点所在的区间是
﹣x

④已知函数 f(x)=2 +2 ,则 y=f(x﹣2)的图象关于直线 x=2 对称.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. 16. (12 分)已知向量 =(sin(A﹣B) ,sin( ﹣A) ) , =(1,2sinB) ,且 ? =﹣sin2C,

其中 A、B、C 分别为△ ABC 的三边 a、b、c 所对的角. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sinA+sinB=2sinC,且 S△ ABC= ,求边 c 的长. 17. (12 分)某校举行环保知识竞赛,为了了解本次竞赛成绩情况,从得分不低于 50 分的试 卷中随机抽取 100 名学生的成绩(得分均为正数,满分 100 分) ,进行统计,请根据频率分布 表中所提供的数据,解答下列问题: (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若从成绩较好的第 3、4、5 组中,按分层抽样的方法抽取 6 人参加社区志愿者活动, 并从中选出 2 人做负责人,求 2 人中至少有 1 人是第四组的概率. 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 [50,60] [60,70] [70,80] [80,90] [90,100] 频数 5 a 30 20 10 100 频率 0.05 0.35 b 0.20 0.10 1.00

18. (12 分)如图,点 C 是以 AB 为直径的圆上一点,直角梯形 BCDE 所在平面与圆 O 所在 平面垂直,且 DE∥BC,DC⊥BC,DE= BC=2,AC=CD=3. (Ⅰ)证明:EO∥平面 ACD; (Ⅱ)证明:平面 ACD⊥平面 BCDE; (Ⅲ)求三棱锥 E﹣ABD 的体积.

19. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(an,Sn)在直线 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

上.

(Ⅱ)在 an 与 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 dn 的等差数列,求数列 的前 n 项和 Tn.

20. (13 分)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是椭圆

, (a>b>0)上的两点,已知向

量 =(



) , =(



) ,且

,若椭圆的离心率

,短轴长为 2,O 为坐

标原点: (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ)试问:△ AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 21. (14 分)已知函数 g(x)=(2﹣a)lnx,h(x)=lnx+ax (a∈R) ,令 f(x)=g(x)+h′ (x) . (Ⅰ)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当﹣3<a<﹣2 时,若存在 λ1,λ2∈[1,3],使得|f(λ1)﹣f(λ2)|<(m+ln3)a﹣2ln3 成立,求 m 的取值范围.
2

山东省济南市济钢高中 2015 届高三上学期 1 月月考数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.版权所有 1. (5 分)已知向量 =(1,m) , =(m,2) ,若 ⊥ ,则实数 m 的值为() A. B. C. D.0

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用 解答: 解:∵ ∴ ? , =0,即可解出 m.

=m+2m=0,解得 m=0.

故选:D. 点评: 本题考查了非零向量 ? =0,属于基础题.

2. (5 分)已知集合 A={x∈R|0<x<1},B={x∈R|(2x﹣1) (x+1)>0},则 A∪B=() A.(0, ) 1)∪( ,+∞) B.(﹣1,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞) D. (﹣∞, ﹣

考点: 并集及其运算. 专题: 阅读型. 分析: 先解出集合 B,再利用数轴进行并集运算求解. 解答: 解:∵(2x﹣1) (x+1)>0?x> 或 x<﹣1, ∴B={x|x> 或 x<﹣1} ∴A∪B={x|x>0 或 x<﹣1}. 故选 C. 点评: 本题考查并集及其运算.

3. (5 分)设命题 p:函数 y=sin2x 的最小正周期为 对称.则下列判断正确的是() A.p 为真 B.¬q 为假

;命题 q:函数 y=cosx 的图象关于直线

C.p∧q 为假

D.p∨q 为真

考点: 复合命题的真假;三角函数的周期性及其求法;余弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质;简易逻辑. 分析: 由题设条件可先判断出两个命题的真假,再根据复合命题真假的判断规则判断出选 项中复合命题的真假即可得出正确选项. 解答: 解:由于函数 y=sin2x 的最小正周期为 π,故命题 p 是假命题;函数 y=cosx 的图象关 于直线 x=kπ 对称,k∈Z,故 q 是假命题.结合复合命题的判断规则知:¬q 为真命题,p∧q 为假命题,p∨q 为是假命题. 故选 C. 点评: 本题考查复合命题的真假判断,解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌 握复合命题的真假判断规则,本题属于 2015 届高考常考题型也是对命题考查的常规题型,知 识性强,难度不大. 4. (5 分)已知 P 是圆 x +y =1 上的动点,则 P 点到直线 () A.1 B. C. 2
2 2

的距离的最小值为 D.

考点: 直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离,再用此距离减去半径,即得所 求. 解答: 解:由于圆心 O(0,0)到直线 的距离 d= =2,且

圆的半径等于 1, 故圆上的点 P 到直线的最小距离为 d﹣r=2﹣1=1, 故选 A. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于中档题.

5. (5 分)已知 + =1, (x>0,y>0) ,则 x+y 的最小值为() A.1 B. 2 C. 4 D.8

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 将 + =1 代入 x+y,展开后应用基本不等式即可. 解答: 解:∵x>0,y>0 且 + =1,

∴x+y=(x+y)?( + )=4+

+

≥8(当且仅当 x=y=2 时取“=“) .

故选:D. 点评: 本题考查基本不等式,着重考查基本不等式的应用,基本知识的考查. 6. (5 分)某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的 x 值为 31,则 a 等于()

A.0

B. 1

C. 2

D.3

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算 x 值并输出,模拟程序的运行过程,即可得到答案. 解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: n x 是否继续循环 第一圈 2 2a+1 是 第二圈 3 4a+2+1 是 第三圈 4 8a+4+2+1 否 则输出的结果为 8a+4+2+1=31,所以 a=3. 故选 D. 点评: 本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,模拟程序的运行过程是解 答此类问题最常用的办法.

7. (5 分)已知△ ABC 的面积为 2,在△ ABC 所在的平面内有两点 P、Q,满足 =2 A. ,则△ APQ 的面积为() B. C. 1 D.2



考点: 向量在几何中的应用;三角形的面积公式. 专题: 计算题;平面向量及应用.

分析: 画出△ ABC,通过足 形的面积公式求解即可. 解答: 解:由题意 分点,如图: 因为 S△ ABC= 所以 S△ APQ= 故选 B. =2. =



=2

,标出满足题意的 P、Q 位置,利用三角

可知,P 为 AC 的中点,

=2

,可知 Q 为 AB 的一个三等

= .

点评: 本题考查向量在几何中的应用,三角形的面积的求法,考查转化思想与计算能力.

8. (5 分)函数 f(x)=

的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由于函数 f(x)=
+

为偶函数,其图象关于 y 轴对称,可排除 C、D,利

用极限思想(如 x→0 ,y→+∞)可排除 B,从而得到答案 A. 解答: 解:定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) , f(x)= , = =f(x) ,

∴f(﹣x)=f(x) ,f(x)为偶函数, . ∴其图象关于 y 轴对称,可排除 C,D; 又当 x→0 时,cos(πx)→1,x →0, ∴f(x)→+∞.故可排除 B; 而 A 均满足以上分析. 故选 A. 点评: 本题考查奇偶函数图象的对称性,考查极限思想的运用,考查排除法的应用,属于 中档题. 9. (5 分)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积为()
2

A.9

B.10

C.11

D.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据得出该几何体是在底面为边长是 2 的正方形、高是 3 的直四棱柱的基础上, 截去一个底面积为 ×2×1=1、高为 3 的三棱锥形成的,运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案. 解答: 解: .由三视图可知该几何体是在底面为边长是 2 的正方形、高是 3 的直四棱柱的基 础上, 截去一个底面积为 ×2×1=1、高为 3 的三棱锥形成的,V 三棱锥= =1,

所以 V=4×3﹣1=11. 故选:C 点评: 本题考查了空间几何体的性质,求解体积,属于计算题,关键是求解底面积,高, 运用体积公式. 10. (5 分) 设定义在 R 上的奇函数 y=f (x) , 满足对任意 t∈R 都有 ( f t) =f (1﹣t) , 且x 时,f(x)=﹣x ,则 f(3)+f(﹣ A.﹣ B. ﹣
2

的值等于() C. ﹣ D.﹣

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用奇函数的性质和对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1﹣t) ,即可分别得到 f(3)=f(0) , .再利用 x 时,f(x)=﹣x ,即可得出答案.
2

解答: 解:∵定义在 R 上的奇函数 y=f(x) ,满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1﹣t) , ∴f(3)=f(1﹣3)=f(﹣2)=﹣f(2)=﹣f(1﹣2)=f(1)=f(1﹣1)=f(0) , = ∵x 时,f(x)=﹣x ,∴f(0)=0, =0 .
2

. ,

∴f(3)+f(﹣

故选 C. 点评: 熟练掌握函数的奇偶性和对称性是解题的关键. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 2 11. (5 分)已知抛物线 x =4y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5,则点 P 的横坐标是﹣4 或 4. 考点: 抛物线的简单性质.

专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据点 P 到焦点的距离为 5 利用抛物线的定义可推断出 P 到准线距离也为 5. 利用抛 物线的方程求得准线方程,进而可求得 P 的坐标. 解答: 解:根据抛物线的定义可知 P 到焦点的距离为 5,则其到准线距离也为 5. 又∵抛物线的准线为 y=﹣1, ∴P 点的纵坐标为 5﹣1=4. 将 y=4 代入抛物线方程得:4×4=x ,解得 x=﹣4 或 4 故答案为:﹣4 或 4. 点评: 活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法.抛物线上的点到焦点的距离, 叫焦半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解. ,2].
2

12. (5 分)若

,则

的取值范围是[

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 所求式子提取 2 表示后,利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化 为一个角的正弦函数,由 θ 的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的图象与性质求出正弦 函数的值域,即可确定出所求式子的范围. 解答: 解:sinθ+ ∵0<θ≤ ∴ ,∴ cosθ=2( sinθ+ ≤ , ≤2sin(θ+ )≤2, , 2] . cosθ)=2sin(θ+ ) ,

<θ+ )≤1,即

≤sin(θ+

则当 0<θ≤

时,sinθ+

cosθ 的取值范围为[

故答案为:[ ,2] 点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式,正弦函数的定义域与值域,以及特殊角的 三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键. 13. (5 分)观察下列不等式:① 写出第 n 个不等式 ;② . ;③ ;…请

考点: 归纳推理. 专题: 计算题;规律型. 分析: 通过已知的三个等式,找出规律,归纳出第 n 个等式即可. 解答: 解:因为: :① ;② ;③ ;

不等式的左边分母中的数是 n(n+1) ,右边是无理式公差为 1 的等差数列, 所以 ;

故答案为:



点评: 本题考查归纳推理,注意已知表达式的特征是解题的关键.

14. (5 分) 对任意实数 a, b 定义运算“?”: a?b=

, 设f (x) = (x ﹣1) ? (4+x) ,

2

若函数 y=f(x)+k 恰有三个零点,则实数 k 的取值范围是﹣2≤k<1. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 化简函数 f(x)的解析式,作出函数 y=f(x)的图象,由题意可得,函数 y=f(x) 与 y=﹣k 的图象有 3 个交点,结合图象求得结果. . 2 2 解答: 解:当(x ﹣1)﹣(x+4)<1 时,f(x)=x ﹣1, (﹣2<x<3) , 2 当(x ﹣1)﹣(x+4)≥1 时,f(x)=x+4, (x≥3 或 x≤﹣2) , 函数 y=f(x)= 的图象如图所示:

由图象得:要使函数 y=f(x)+k 恰有三个零点,只要函数 f(x)与 y=﹣k 的图形由三个交点 即可, 所以﹣1<k≤2,所以﹣2≤k<1; 故答案为:﹣2≤k<1. 点评: 本题主要考查数形结合解决函数的零点个数问题,关键是正确画图、识图;体现了 化归与转化、数形结合的数学思想,属于中档题. 15. (5 分)下列四个结论,正确的是②④: ①直线 a,b 为异面直线的充要条件是直线 a,b 不相交;

②从总体中抽取的样本(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) ,若记





回归直线 ③函数
x

必过点

; ;

的零点所在的区间是
﹣x

④已知函数 f(x)=2 +2 ,则 y=f(x﹣2)的图象关于直线 x=2 对称. 考点: 命题的真假判断与应用;必要条件、充分条件与充要条件的判断;函数的零点;线 性回归方程. 专题: 探究型. 分析: ①根据空间直线的位置关系判断. ②根据回归直线的性质判断. ③根据根的存在性 定理判断.④利用函数奇偶性的性质以及函数平移关系判断. 解答: 解:①直线 a,b 为异面直线时,直线 a,b 不相交;若 a,b 平行时,满足不相交, 但此时不是异面直线,所以①错误. ②根据回归直线的性质可知,回归直线必须过样本中心点 ③函数 在(0,+∞)上单调递增, ,f(1)=lg1﹣1=﹣1<0,所以函数在区间 内没有零点,所以③错误. ④函数 f(x)=2 +2 为偶函数,所以函数 f(x)关于 y 轴对称,将 f(x)向右平移 2 个单 位得到 f(x﹣2) ,所以 f(x﹣2)关于 x=2 对称,所以④正确. 故答案为:②④ 点评: 本题主要考查命题的真假判断,涉及的知识点较多,要求熟练掌握相应的求解方法. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. 16. (12 分)已知向量 =(sin(A﹣B) ,sin( ﹣A) ) , =(1,2sinB) ,且 ? =﹣sin2C,
x
﹣x

,所以②正确.

其中 A、B、C 分别为△ ABC 的三边 a、b、c 所对的角. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sinA+sinB=2sinC,且 S△ ABC= ,求边 c 的长. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由两向量的坐标及两向量数量积,利用平面向量的数量积运算法则列出关系 式,利用两角和与差的正弦函数公式化简,根据 sinC 不为 0 求出 cosC 的值,即可确定出角 C 的大小; (Ⅱ)利用正弦定理化简已知等式,得到 a+b=2c,再利用三角形面积公式表示出三角形 ABC 面积,将 sinC 以及已知面积代入求出 ab 的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公 式变形,将 a+b 与 ab,cosC 的值代入即可求出 c 的值.

解答: 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得 ? =sin(A﹣B)+2sinBsin( =sin(A﹣B)+2sinBcosA =sinAcosB﹣cosAsinB+2sinBcosA =sinAcosB+cosAsinB =sin(A+B) =sinC =﹣sin2C =﹣2sinCcosC, ∴cosC=﹣ , ∴C=120°; (Ⅱ)由题意得 sinA+sinB=2sinC, 利用正弦定理化简得:a+b=2c, ∵S△ ABC= absinC=
2 2

﹣A)

ab=
2

,即 ab=4,
2 2

由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC=(a+b) ﹣ab,即 3c =ab=4, 解得:c= .

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及平面向量的数量积运算,熟练掌握定理是解本题 的关键. 17. (12 分)某校举行环保知识竞赛,为了了解本次竞赛成绩情况,从得分不低于 50 分的试 卷中随机抽取 100 名学生的成绩(得分均为正数,满分 100 分) ,进行统计,请根据频率分布 表中所提供的数据,解答下列问题: (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若从成绩较好的第 3、4、5 组中,按分层抽样的方法抽取 6 人参加社区志愿者活动, 并从中选出 2 人做负责人,求 2 人中至少有 1 人是第四组的概率. 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 [50,60] [60,70] [70,80] [80,90] [90,100] 频数 5 a 30 20 10 100 频率 0.05 0.35 b 0.20 0.10 1.00

考点: 频率分布直方图. 分析: (Ⅰ)直接利用频率和等于 1 求出 b,用样本容量乘以频率求 a 的值; (Ⅱ)由分层抽样方法求出所抽取的 6 人中第三、第四、第五组的学生数,利用列举法写出从 中任意抽取 2 人的所有方法种数, 查出 2 人至少 1 人来自第四组的事件个数, 然后利用古典概 型的概率计算公式求解. 解答: 解: (Ⅰ)由频率和等于 1,所以 b=1.00﹣(0.05+0.35+0.20+0.10)=0.30. a=100×0.35=35;

(Ⅱ)因为第三、第四、第五组的学生数的比例是 3:2:1,所以利用分层抽样从中选 6 人, 第三、第四、第五组选取的学生人数分别是 3 人,2 人,1 人. 设第三组选取的学生为 1,2,3.第四组选取的学生为 a,b.第五组选取的学生为 c. 则从 6 人中任意选出 2 人的所有方法种数是: (1,2) , (1,3) , (1,a) , (1,b) , (1,c) , (2, 3) , (2,a) , (2,b) , (2,c) , (3,a) , (3,b) , (3,c) , (a,b) , (a,c) , (b,c)共 15 种. 其中至少 1 人是第四组的方法种数是: (1,a) , (1,b) , (2,a) , (2,b) , (3,a) , (3,b) , (a,b) , (a,c) , (b,c)共 9 种. 所以 2 人中至少有 1 人是第四组的概率是 .

点评: 本题考查了频率分布直方图,考查了古典概型及其概率计算公式,解答的关键是正 确求出事件总数和基本事件个数,是基础题. 18. (12 分)如图,点 C 是以 AB 为直径的圆上一点,直角梯形 BCDE 所在平面与圆 O 所在 平面垂直,且 DE∥BC,DC⊥BC,DE= BC=2,AC=CD=3. (Ⅰ)证明:EO∥平面 ACD; (Ⅱ)证明:平面 ACD⊥平面 BCDE; (Ⅲ)求三棱锥 E﹣ABD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 证明题. 分析: (I)如图,取 BC 的中点 M,连接 O 同、ME.在三角形 ABC 中,利用中位线定理 得到 OM∥AC,再证出四边形 MCDE 是平行四边形,结合面面平行的判定得到面 EMO∥面 ACD,最后利用面面平行的性质即可得出结论; (II)根据 AB 是圆的直径,C 点在圆上,得到直径所结的圆周角是直角,又平面 BDCE⊥平 面 ABC, 从而有 AC⊥平面 BDCE, 最后利用面面垂直的判定即可得出平面 ACD⊥平面 BCDE; (III)由(II)知 AC⊥平面 ABDE,可得 AC 是三棱锥 A﹣BDE 的高线,再将三棱锥 E﹣ABD 的体积转化为三棱锥 A﹣BDE 的体积求解即可. 解答: 解: (I)如图,取 BC 的中点 M,连接 O 同、ME. 在三角形 ABC 中,O 是 AB 的中点,M 是 BC 的中点, ∴OM∥AC, 在直角梯形 BCDE 中,DE∥BC,且 DE=CM, ∴四边形 MCDE 是平行四边形,∴EM∥CD, ∴面 EMO∥面 ACD, 又∵EO?面 EMO,

∴EO∥面 ACD. (8 分) (II)∵AB 是圆的直径,C 点在圆上, ∴AC⊥BC,又∵平面 BDCE⊥平面 ABC,平面 BDCE∩平面 ABC=BC ∴AC⊥平面 BDCE,∵AC?平面 ACD, ∴平面 ACD⊥平面 BCDE; (III)由(II)知 AC⊥平面 ABDE,可得 AC 是三棱锥 A﹣BDE 的高线, ∵Rt△ BDE 中,S△ BDE= DE×CD= ×2×3=3. 因此三棱锥 E﹣ABD 的体积=三棱锥 A﹣BDE 的体积= S△ BDE×AC= ×3×3=3.

点评: 本题给出一个特殊的几何体,通过求证线面垂直和求体积,着重考查了空间直线与 平面平行、平面与平面垂直的判定和性质,考查了锥体体积公式,属于中档题.

19. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(an,Sn)在直线 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

上.

(Ⅱ)在 an 与 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 dn 的等差数列,求数列 的前 n 项和 Tn. 考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的函数特性. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由题设知, ﹣1,得 ﹣1(n∈N ,n≥2) ,两式相减可
*

得数列递推式,由此可判断数列{an}为等比数列,从而可得其通项公式; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 an+1,an,根据等差数列的通项公式可得 dn,从而可得 , 得 Tn; 解答: 解: (Ⅰ)由题设知, 两式相减得: 又 S1= 得 a1=2, ﹣1,得
*

,令

,利用错位相减法即可求

﹣1(n∈N ,n≥2) ,

*

,即 an=3an﹣1(n∈N ,n≥2) ,

所以数列{an}是首项为 2,公比为 3 的等比数列, 所以 ; , , ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 因为 an+1=an+(n+1)dn,所以 所以 令 则 = , ,

①, ②,

①﹣②得



=

=







点评: 本题考查数列的函数特性、由数列递推式求通项公式、等差数列及错位相减法求数 列的前 n 项和,考查学生综合运用知识解决问题的能力,综合性较强,能力要求较高.

20. (13 分)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是椭圆

, (a>b>0)上的两点,已知向

量 =(



) , =(



) ,且

,若椭圆的离心率

,短轴长为 2,O 为坐

标原点: (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ)试问:△ AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)根据题意可求得 b,进而根据离心率求得 a 和 c,则椭圆的方程可得. (Ⅱ)设出直线 AB 的方程,与椭圆方程联立消去 y,表示出 x1+x2 和 x1x2,利用 程求得 k. 建立方

(Ⅲ)先看当直线的斜率不存在时,可推断出 x1=x2,y1=﹣y2,根据

=0 求得 x1 和 y1 的

关系式,代入椭圆的方程求得|x1|和|y1|求得三角形的面积;再看当直线斜率存在时,设出直线 AB 的方程, 与椭圆方程联立, 利用韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2, 利用 最后利用弦长公式和三角形面积公式求得答案. 解答: 解: (Ⅰ)2b=2.b=1,e= =0 求得 2b ﹣k =4,
2 2

椭圆的方程为

(Ⅱ)由题意,设 AB 的方程为 y=kx+

由已知

=0 得:

= ,解得 k=± (Ⅲ) (1)当直线 AB 斜率不存在时,即 x1=x2,y1=﹣y2, 由 =0,则

又 A(x1,y1)在椭圆上,所以 S= 所以三角形的面积为定值 (2)当直线 AB 斜率存在时,设 AB 的方程为

y=kx+b

得到 x1+x2=

代入整理得: 2b ﹣k =4 = 所以三角形的面积为定值 点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.设直线方程的时候,一定要考虑斜率 不存在时的情况,以免有所遗漏. 21. (14 分)已知函数 g(x)=(2﹣a)lnx,h(x)=lnx+ax (a∈R) ,令 f(x)=g(x)+h′ (x) . (Ⅰ)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当﹣3<a<﹣2 时,若存在 λ1,λ2∈[1,3],使得|f(λ1)﹣f(λ2)|<(m+ln3)a﹣2ln3 成立,求 m 的取值范围. 考点: 函数在某点取得极值的条件;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出 h′(x) ,进而得到 f(x) ,当 a=0 时在定义域内解 f′(x)=0,然后判断在 该方程根的左右两边导数的符号,由极值定义可求; (Ⅱ)求出 f′(x) ,分﹣2<a<0,a=﹣2,a<﹣2 三种情况进行讨论:分别在定义域内解不等 式 f′(x)<0,f′(x)>0 可得单调区间; (Ⅲ)?λ1,λ2∈[1,3],使得|f(λ1)﹣f(λ2)|<(m+ln3)a﹣2ln3 成立,等价于|f(λ1)﹣f (λ2)|max<(m+ln3)a﹣2ln3,而|f(λ1)﹣f(λ2)|max=f(x)max﹣f(x)min,由(Ⅱ)利用 单调性可求得 f(x)的最大值、最小值,再根据 a 的范围即可求得 m 的范围; 解答: 解: (Ⅰ)依题意,h′(x)= +2ax, ∴f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax,其定义域为(0,+∞) ,
2 2 2

当 a=0 时,f(x)=2lnx+ ,f′(x)=



令 f′(x)=0,解得 x= , 当 0<x< 时,f′(x)<0;当 x> 时,f′(x)>0, ∴f(x)的单调递减区间为(0, ) ,单调递增区间为( ,+∞) ; ∴x= 时,f(x)有极小值为 f( )=2﹣2ln2,无极大值;

(Ⅱ)f′(x)= 当﹣2<a<0 时,﹣

+2a= ,

=



令 f′(x)<0,得 0<x< 或 x>﹣ , 令 f′(x)>0,得 ;

当 a=﹣2 时,f′(x)=﹣ 当 a<﹣2 时,﹣ ,



令 f′(x)<0,得 x<﹣ 或 x> , 令 f′(x)>0,得﹣ <x< ; 综上所述:当﹣2<a<0 时,f(x)的单调减区间为(0, ) , (﹣ ,+∞) ,单调增区间为( , ﹣ ) ; 当 a=﹣2 时,f(x)的单调减区间为(0,+∞) ;当 a<﹣2 时,f(x)的单调减区间为(0, ﹣ ) , ( ,+∞) ,单调增区间为(﹣ , ) ;

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当﹣3<a<﹣2 时,f(x)在[1,3]上单调递减, ∴f(x)max=f(1)=2a+1;f(x)min=f(3)=(2﹣a)ln3+ +6a, ∴|f(λ1)﹣f(λ2)|max=f(1)﹣f(3)=(1+2a)﹣[(2﹣a)ln3+ +6a]= ∵存在 λ1,λ2∈[1,3],使得|f(λ1)﹣f(λ2)|<(m+ln3)a﹣2ln3 成立, ∴(m+ln3)a﹣2ln3> ﹣4a+(a﹣2)ln3, 整理得 ma> 又 a<0, ∴m< ﹣4, , ,

又∵﹣3<a<﹣2, ∴﹣ ∴﹣ , ,

∴m≤



点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值及恒成立问题,考查转化思想,考查学 生分析问题解决问题的能力,具有一定的综合性.


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