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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入第1课时课堂探究新人教B版选修1-2资料


高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数 的引入第 1 课时课堂探究 新人教 B 版选修 1-2
探究一 复数的分类 1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证含参数 的式子有意义,忽略这一要求会酿成根本性的错误;其次对参数值的取舍,是取“并”还是 “交”非常关键.最后还要注意验算是否符合题意. 2.对于复数 z=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数 z 看成一个整 体, 又要从实部与虚部的角度将其分解成两部分去认识它, 这是解复数问题的重要思路之一. 【典型例题 1】 实数 m 取什么值时,复数(m -5m+6)+(m -3m)i 是:(1)实数;(2) 虚数;(3)纯虚数;(4)零. 思路分析:根据复数 z 的分类标准列方程或不等式解决. 解:设 z=(m -5m+6)+(m -3m)i. (1)要使 z 为实数,必须有 m -3m=0, 得 m=0 或 m=3, 故当 m=0 或 m=3 时,z 为实数. (2)要使 z 为虚数,必须有 m -3m≠0, 得 m≠0,且 m≠3,故当 m≠0,且 m≠3 时,z 为虚数. (3)要使 z 为纯虚数,必须有?
? ?m≠3,且m≠0, ?m=3或m=2, ? ?m -3m≠0, ? ? ?m -5m+6=0,
2 2 2 2 2 2 2 2

∴?

∴m=2.

∴当 m=2 时,z 为纯虚数. (4)要使 z=0,则须有
? ?m -5m+6=0, ? 2 ?m -3m=0 ?
2

? ?m=2或m=3, ? ?m=0或m=3 ?

m=3,

∴当 m=3 时,复数 z 为零. 探究二复数相等的应用 1.对于复数相等问题常用到如下等价关系:

a+bi=c+di

? ?a=c, ? ?b=d ?

(a,b,c,d∈R).

2.利用复数相等可实现复数问题实数化,并且要注意复数相等时,只有等式两端的复 数均为标准的代数形式才能列式进行计算. 【典型例题 2】 已知(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,求实数 x,y 的值.
1

思路分析:利用两个复数相等的充要条件求解. 解:根据复数相等的充要条件可知
?x+y=2x+3y, ? ? ? ?y-1=2y+1,

解得?

?x=4, ? ? ?y=-2.

探究三复数与实数之间的关系 1.根据复数 a+bi 与 c+di(a,b,c,d∈R)相等的定义,可知在 a=c,b=d 两式中, 只要有一个不成立,那么就有 a+bi≠c+di. 2.如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的. 3.如果在复数之间引入不等关系,这意味着这个复数本身也是实数. 【典型例题 3】 (2014 海南模拟)已知复数 z=k -3k+(k -5k+6)i(k∈R),且 z<0, 则 k=__________. 解析:∵z<0,∴z∈R. 故虚部 k -5k+6=0,即(k-2)(k-3)=0, ∴k=2 或 k=3. 但当 k=3 时,z=0,不合题意,舍去,故 k=2 符合题意. 答案:2 探究四 易错辨析 易错点: 本节常出现的错误是混淆复数中的有关概念, 忽视复数集与实数集中有关性质 的不同. 【典型例题 4】 下列命题: ①两个复数不能比较大小; ②若 z=a+bi,则仅当 a=0,b≠0 时 z 为纯虚数; ③x+yi=1+i
2 2 2

x=y=1;

④若实数 a 与 ai 对应,则实数集与纯虚数集一一对应. 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 错解:B 错因分析:因为实数也是复数,而两个实数是能比较大小的,故①错误;在②中,z=a +bi 未对 a,b 加以限制,故②错误;在③中,当 x,y∈R 时,可推出 x=y=1,而此题未 限制 x,y∈R,故③错误;在④中,忽视 0·i=0,故④错误. 正解:A )

2


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