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南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学答案

南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.{1,2} 2.-3 8. 3 3 9.必要不充分 2 3. 3 4.55 26 5. 5 1 12.[ ,e] e 6.y=± 3x 13.{ 10} 7.6 59 14. 72

2 10.x+y-3=0 11.-. 3

二、解答题: 15.解: (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4. 1 因为△ABC 的面积等于 3,所以 absinC= 3,即 ab=4. 2
?a2+b2-ab=4, 解方程组? 得 a=2,b=2. ?ab=4,

?????2 分 ?????4 分 ?????7 分

(2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,所以 sinBcosA=2sinAcosA. π π 4 3 2 3 当 cosA=0 时,A= ,所以 B= ,所以 a= ,b= . 2 6 3 3 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a,
?a2+b2-ab=4, 2 3 4 3 解方程组? 解得 a= ,b= . 3 3 ?b=2a,

?????10 分

?????13 分 ?????14 分

1 2 3 所以△ABC 的面积 S= absinC= . 2 3 16.证: (1)连结 AC1 交 A1C 于点 O,连结 OE,OF. 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,四边形 ACC1A1 为平行四边形,所以 OA=OC1. 1 又因为 F 为 AC 中点,所以 OF∥CC1,OF= CC1. 2 1 因为 E 为 BB1 中点,所以 BE∥CC1,BE= CC1. 2 所以 OF=BE,OF∥BE.所以 BEOF 是平行四边形.所以 BF∥OE. 因为 BF? / 平面 A1EC,OE?平面 A1EC,所以 BF∥平面 A1EC.

??????4 分 ??????7 分

(2)由(1)知 BF∥OE.因为 AB=CB,F 为 AC 中点,所以 BF⊥AC,所以 OE⊥AC. ??????9 分 因为 AA1⊥平面 ABC,BF?平面 ABC,所以 AA1⊥BF. 由 BF∥OE,得 OE⊥AA1.而 AC,AA1?平面 ACC1A1,AC∩AA1=A, 所以 OE⊥平面 ACC1A1. 因为 OE?平面 A1EC,所以平面 A1EC⊥平面 ACC1A1.
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??????12 分 ??????14 分

≥9, ?x 100-2x≥60, 17.解: (1)由题意得,? 1 ?100 2-2x-2×5x ≥20,
2

??????4 分

解得 9≤x≤15.所以 x 的取值范围是[9,15] . (2)记“环岛”的整体造价为 y 元.则由题意得 1 4 12a 1 y=a×π×( x2)2+ ax×πx2+ [104-π×( x2)2-πx2] 5 33 11 5 a 1 4 = [π(- x4+ x3-12x2)+12×104] . 11 25 3 1 4 4 1 令 f(x)=- x4+ x3-12x2.则 f′(x)=- x3+4x2-24x=-4x( x2-x+6). 25 3 25 25 由 f′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=10 或 x=15. 列表如下: x f′(x) f(x) 所以当 x=10,y 取最小值. 答:当 x=10 m 时,可使“环岛”的整体造价最低. 18.解: (1)由题意,得 2a= 3 (1-1)2+( -0)2+ 2 9 (9,10) - ↘ 10 0 极小值 (10,15) + ↗

??????7 分

??????10 分

??????12 分

15 0

??????14 分

3 (1+1)2+( -0)2=4,即 a=2.??????2 分 2 ??????5 分

x2 y2 因为 c=1,所以 b2=3.所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 8 3 3 8 3 3 (2)因为 B( , ),所以 P(- ,- ).又 F(1,0),所以 kAB= 3. 5 5 5 5 所以直线 AB 的方程为 y= 3(x-1). x y ? ? + =1, 联立方程组? 4 3 解得 A (0,- 3). ? y= 3(x-1), ? 所以直线 PA 的方程为 y=- 3 x- 3,即 3x+4y+4 3=0. 4
2 2

??????7 分 ???????9 分

???????10 分 (3)当直线 AB 的斜率 k 不存在时,易得 yMyN=-9. 当直线 AB 的斜率 k 存在时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 P(-x2,-y2).
2 2 2 2 (x2+x1)(x2-x1) (y2+y1)(y2-y1) x1 y1 x2 y2 所以 + =1, + =1,两式相减, 得 =- . 4 3 4 3 4 3

(y2+y1)(y2-y1) 3 3 所以 =- =kPAk.所以 kPA=- . 4 4k (x2+x1)(x2-x1)
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???????12 分

3 所以直线 PA 的方程为 y+y2=- (x+x2). 4k 3(x2+4)(x2-1) 3 所以 yM=- (4+x2)-y2=- -y2. 4k 4y2 y2 4y2 因为直线 PB 的方程为 y= x,所以 yN= . x2 x2
2 3(x2+4)(x2-1) 4y2 所以 yM·yN=- - . x2 x2 2 2 x2 y2 2 2 又因为 + =1,所以 4y2 =12-3x2 . 4 3 2 -3(x2+4)(x2-1)-12+3x2 所以 yM·yN= =-9. x2

???????14 分

所以 yM·yN 为定值-9. 19.解: (1)因为 f′(x)=ex,所以 f′(0)=1.又 f(0)=1, 所以 y=f(x)在 x=0 处的切线方程为 y=x+1. 因为 g′(x)=2ax+b,所以 g′(0)=b. 又 g(0)=1,所以 y=g(x)在 x=0 处的切线方程为 y=bx+1.

???????16 分

???????2 分

所以当 a≠0 且 b=1 时,曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=0 处总有相同的切线.???????4 分 x2+bx+1 (2)当 a=1 时,h(x)= , ex -x2+(2-b)x+b-1 (x-1)[x-(1-b)] h′(x)= =- . ex ex 由 h′(x)=0,得 x=1 或 x=1-b. 所以当 b>0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1-b),(1,+∞). 当 b=0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,+∞). 当 b<0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1),(1-b,+∞). (3)当 a=0 时,则 φ(x)=f(x)-g(x)=ex-bx-1,φ′(x)=ex-b. ①当 b≤0 时,φ′(x)>0,函数 φ(x)在 R 上单调递增. 又 φ(0)=0,所以 x<0 时,φ(x)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. ②当 b>0 时,由 φ′(x)>0,得 x>lnb;由 φ′(x)<0,得 x<lnb, 所以函数 φ(x)在(-∞,lnb) 上单调递减,在(lnb,+∞) 上单调递增. (Ⅰ)当 0<b<1 时,lnb<0,又 φ(0)=0,所以 φ(lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾; (Ⅱ)当 b>1 时,同理 φ(lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾; (Ⅲ)当 b=1 时,lnb=0,所以函数 φ(x)在(-∞,0) 上单调递减,在(0,+∞) 上单调递增. 所以 φ(x)≥φ(0)=0.故 b=1 满足题意. 综上所述,b 的取值的集合为{1}.
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???????7 分

???????10 分

???????12 分

???????16 分

2 20.解:(1)设等差数列的公差为 d,则 S6=6a1+15d=22,因为 a1=2,所以 d= . ??????2 分 3 n(n+5) 所以 Sn= . 3 (2)因为数列{an}是正项递增等差数列,所以数列{ a k n} 的公比 q>1. 要使 q 最小,只需要 k2 最小即可. 8 4 32 若 k2=2,则由 a2= ,得 q= ,此时 a k 3= . 3 3 9 由 32 2 10 / N * , 所以 k2>2,同理 k2>3. = ( n + 2 ) , 解得 n = ∈ 9 3 3 ??????6 分 ??????4 分

若 k2=4,则由 a4=4,得 q=2,此时 a k n=2n. 2 - 因为 a k n= (kn+2),所以 kn=3×2n 1-2. 3 所以对任何正整数 n,a k n是数列{an}的第 3×2n 1-2 项,所以最小的公比 q=2,


所以 kn=3×2n 1-2.


??????10 分

2 - - (3)因为 a k n= (kn+2)=2qn 1,所以 kn=3qn 1-2(q>1). 3 所以当 q>1 且 q∈N 时,所有的 kn=3×qn 1-2 均为正整数,适合题意;


/ N 时,kn=3×qn 1-2∈N 不全是正整数,不合题意,所以 q 为正整数. 当 q>2 且 q∈


2n(n+5)+2 而 6Sn>kn+1 有解,所以 >1 有解. 3 qn 2n(n+5)+2 经检验,q=2,3,4 时,n=1 都是 >1 的解,适合题意. 3 qn 2n(n+5)+2 2n(n+5)+2 下证当 q≥5 时, >1 无解,设 bn= , 3 qn 3 qn 2[(1-q)n2+(7-5q)n+7-q] 则 bn+1-bn= , + 3 qn 1 5q-7 因为 <0,所以 f(n)=2[(1-q)n2+(7-5q)n+7-q] 在 n∈N*上单调递减. 2-2q 又因为 f(1)<0,所以 f(n)<0 恒成立,所以 bn+1-bn<0,所以 bn≤b1 恒成立, 又因为当 q≥5 时,b1<1,所以当 q≥5 时,6Sn>kn+1 无解. 综上所述,q 的取值为 2,3,4. ??????15 分 ??????16 分 ???????12 分

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南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2014.01
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷 纸 指定区域 . . . .... 内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A.选修 4—1:几何证明选讲 解:因为 P 为 AB 中点,所以 OP⊥AB,所以 PB= r2-OP2= 3 . 2 ??????5 分 ??????10 分

3 9 2 又因为 PC·PD=PA·PB=PB2= ,由 PC= ,得 PD= . 4 8 3 B.选修 4—2:矩阵与变换 解:设曲线 C 上一点(x′,y′)对应于曲线 C′上一点(x,y).

? 22 由? 2 ?2



? x′ x ? ?=? ?,所以 2x′- 2y′=x, 2x′+ 2y′=y. ? 2 2 2 2 ?y′? ?y? 2 2 ?
2 2

???????5 分

所以 x′=

2 2 (x+y),y′= (y-x). 2 2

因为 x′y′=1,所以 y2-x2=2. 所以曲线 C′的方程为 y2-x2=2. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:直线 l:4x-3y-2=0,圆 C:(x-a)2+y2=a2. 由题意,得 |4a-2|
2

???????10 分

???????5 分 ??????10 分

4 +(-3)

2=|a|,解得

2 a=-2 或 a= . 9

D.选修 4—5:不等式选讲 证: 因为 x1,x2,x3 为正实数,
2 2 2 x2 x3 x1 所以 +x1+ +x2+ +x3≥2 x22+2 x32+2 x12=2(x1+x2+x3)=2. x1 x2 x3

当且仅当 x1=x2=x3 时取等号.
2 2 2 x2 x3 x1 所以 + + ≥1. x1 x2 x3

???????10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应写出文字说 . ....... 明、证明过程或演算步骤. 22.解: (1)由点 A(1,2)在抛物线上,得 p=2,所以抛物线 M 的方程为 y2=4x. ???????3 分
2 2 y1 y2 设 B( ,y1),C( ,y2). 4 4 2 2 2 2 y1 y2 y1 y2 -1 - -1 4 4 4 y1+2 y2+y1 y2+2 1 1 1 4 所以 - + = - + = - + =1. k1 k2 k3 y1-2 y2-y1 y2-2 4 4 4

???????7 分

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2 y3 (2)设 D( ,y3). 4

1 1 1 1 y1+2 y2+y1 y3+y2 y3+2 则 - + - = - + - =0. k1 k2 k3 k4 4 4 4 4 a2k-1 23.解: (1)因为对任意的 1≤k≤m,都有 =-1, a2k 则(a2k-1,a2k)=(2,-2)或(a2k-1,a2k)=(-2,2),共有 2 种情况,
m m 所以 (a1,a2,a3,?,a2m)共有 2 种不同的选择,所以 A=2 .
1 (2)当存在一个 k 时,那么这一组有 2Cm 种,其余的由(1)知有 2m
-1

???????10 分

???????5 分
1 m 种,所有共有 2Cm 2
-1

种.

2 当存在二个 k 时,因为对任意的 1≤k≤l≤m,都有| ∑ ai|≤4 成立,所以这两组共有 2Cm 种,

2l

i=2k-1

其余的由(1)知有 2m ?

-2

2 m 种,所有共有 2Cm 2

-2

种;

1 m 1 2 m 2 m 依次类推得:B=2Cm 2 +2Cm 2 +?+2Cm =2(3m-2m).
- -

???????10 分

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