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第5篇 第4讲数列求和


第4讲

数列求和

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题
?Sn? 1.等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,其前 n 项和为 Sn,则数列? n ?的前 10 ? ?

项的和为 A.120 C.75 解析 答案
? ?

( B.70 D.100

).

?Sn? 10×9 Sn 因为 n =n+2,所以? n ?的前 10 项和为 10×3+ 2 =75.

C ).

2.若数列{an}的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列{an}的前 n 项和为( A.2n+n2-1 C.2n+1+n2-2 解析 答案 B.2n+1+n2-1 D.2n+n-2

2?1-2n? n?1+2n-1? Sn= + =2n+1-2+n2. 2 1-2 C

3.数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1· n,则 S17= ( A.9 C.17 解析 B.8 D.16 S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+ ).

(-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9. 答案 A ).

4. (2014· 西安模拟)已知数列{an}满足 a1=1, an+1· an=2n(n∈N+), 则 S2 012=(

A.22 012-1 C.3· 21 006-1 解析

B.3· 21 006-3 D.3· 21 005-2

an+2· an+1 2n+1 2 a1=1,a2=a =2,又 = 2n =2. an+1· an 1

an+2 ∴ a =2.∴a1,a3,a5,…成等比数列;a2,a4,a6,…成等比数列, n ∴S2 012=a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a2 011+a2 012 =(a1+a3+a5+…+a2 011)+(a2+a4+a6+…+a2 012) 1-21 006 2?1-21 006? = + =3· 21 006-3.故选 1-2 1-2 答案 B
? ? ? ?

B.

? 1 ? ? ? 5.(2014· 杭州模拟)已知函数 f(x)=x2+2bx 过(1,2)点,若数列?f?n??的前 n 项和为

Sn,则 S2 012 的值为 2 012 A.2 011 2 013 C.2 012 解析 ∴ 2 010 B. 2 011 2 012 D.2 013

(

).

1 由已知得 b=2,∴f(n)=n2+n,

1 1 1 1 1 = 2 = =n- , f?n? n +n n?n+1? n+1

1 1 1 1 1 1 2 012 ∴S2 012=1-2+2-3+…+2 012-2 013=1-2 013=2 013. 答案 D

二、填空题 1 6.在等比数列{an}中,若 a1=2,a4=-4,则公比 q=________;|a1|+|a2|+… +|an|=________. 解析 设等比数列{an}的公比为 q,则 a4=a1q3,代入数据解得 q3=-8,所

1 以 q=-2; 等比数列{|an|}的公比为|q|=2, 则|an|=2×2n-1, 所以|a1|+|a2|+|a3| 1 1 1 +…+|an|=2(1+2+22+…+2n-1)=2(2n-1)=2n-1-2.

答案

-2

1 - 2n 1-2

7.(2013· 山西晋中名校联合测试)在数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记 Sn 为{an}的前 n 项和,则 S2 013=________. 解析 由 a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得 a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0,
013=503(a1+a2+a3+a4)+a2 013=503×

该数列是周期为 4 的数列,所以 S2 (-2)+1=- 1 005. 答案 -1 005

2 2 8.(2014· 武汉模拟)等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a1 +a2 2+…+an=

________. 解析 当 n=1 时,a1=S1=1,

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,
n-1 又∵a1=1 适合上式.∴an=2n-1,∴a2 . n=4 2 ∴数列{a2 n}是以 a1=1 为首项,以 4 为公比的等比数列. 2 2 ∴a2 1+a2+…+an=

1· ?1-4n? 1 n =3(4 -1). 1-4

答案

1 n (4 -1) 3

三、解答题 9.(2013· 江西卷)正项数列{an}满足:a2 n-(2n-1)an-2n=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn= 解 1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ?n+1?an

2 (1)由 an -(2n-1)an-2n=0 得(an-2n)(an+1)=0,由于{an}是正项数列,

则 an=2n. 1 1 (2)由(1)知 an=2n,故 bn= = ?n+1?an 2n?n+1? 1 ? 1?1 =2?n-n+1?, ? ? 1 1 1 1 1 ? 1? ∴Tn=2?1-2+2-3+…+n-n+1? ? ? 1 ? 1? n =2?1-n+1?= . ? ? 2?n+1?

10.(2013· 上饶模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn=a1+3a2+…+(2n-1)an,求 Sn. 解 (1)∵Sn=2an-2,∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2),

an 即 an=2an-2an-1,∵an≠0,∴ =2(n≥2,n∈N+). an-1 ∵a1=S1,∴a1=2a1-2,即 a1=2. 数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.∴an=2n. (2)Sn=a1+3a2+…+(2n-1)an =1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)2n,① ∴2Sn=1×22+3×23+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1,② ①-②得-Sn=1×2+(2×22+2×23+…+2×2n)-(2n-1)2n 1,


即-Sn=1×2+(23+24+…+2n+1)-(2n-1)2n+1 ∴Sn=(2n-3)· 2n+1+6. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1 1.(2014· 西安模拟)数列{an}满足 an+an+1=2(n∈N+),且 a1=1,Sn 是数列{an} 的前 n 项和,则 S21= 21 A. 2 C.10 解析 B.6 D.11 1 依题意得 an+an+1=an+1+an+2= ,则 an+2=an,即数列{an}中的奇数 2 ( ).

项、偶数项分别相等,则 a21=a1=1,S21=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20) 1 +a21=10(a1+a2)+a21=10×2+1=6,故选 B. 答案 B

2.(2014· 长沙模拟)已知函数 f(n)=n2cos(nπ),且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+ a3+…+a100= ( ).

A.-100 C.100 解析

B.0 D.10 200

若 n 为偶数,则 an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-(2n+1),为首项为

a2=-5,公差为-4 的等差数列;若 n 为奇数,则 an=f(n)+f(n+1)=-n2 +(n+1)2=2n+1,为首项为 a1=3,公差为 4 的等差数列.所以 a1+a2+a3 +…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100) =50×3+ 答案 A 50×49 50×49 × 4 + 50 × ( - 5) - 2 2 ×4=-100.

二、填空题 4x ?1? ?2? ?10? 3 .设 f(x) = x ,利用倒序相加法,可求得 f ?11? + f ?11? +…+ f ?11? 的值为 ? ? ? ? ? ? 4 +2 ________. 解析 当 x1+x2=1 时,f(x1)+f(x2)= 4x1 4x2 + = 4x1+2 4x2+2

2×4x1+x2+2×?4x1+4x2? =1. 4x1+x2+?4x1+4x2?×2+4 ?1? ?2? ?10? ? ? 1 ? ?10?? ? ? 2 ? ? 9 ?? 设 S=f?11?+f?11?+…+f?11?, 倒序相加有 2S=?f?11?+f?11 ??+?f?11?+f?11?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?10? ? 1 ? +…+f?11?+f?11?=10,即 S=5. ? ? ? ? 答案 5

三、解答题 4.(2014· 南昌模拟)在数列{an}中,a1=-5,a2=-2,记 A(n)=a1+a2+…+an, B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2(n∈N+),若对于任意 n∈N


,A(n),B(n),C(n)成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前 n 项和. 解 (1)根据题意 A(n),B(n),C(n)成等差数列,

∴A(n)+C(n)=2B(n), 整理得 an+2-an+1=a2-a1=-2+5=3, ∴数列{an}是首项为-5,公差为 3 的等差数列,

∴an=-5+3(n-1)=3n-8. ?-3n+8,n≤2, (2)|an|=? ?3n-8,n≥3, 记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. n?5+8-3n? 3n2 13 当 n≤2 时,Sn= =- 2 + 2 n; 2 ?n-2??1+3n-8? 3n2 13 当 n≥3 时,Sn=7+ = 2 - 2 n+14, 2 3 2 13 - ? ? 2n + 2 n,n≤2, 综上,Sn=? 3 2 13 ? ?2n - 2 n+14,n≥3.


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