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高一数学暑假培优讲义第14讲


第 14 讲 函数概念与表示
一、要点精讲
1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作:y=f(x),x ∈A。其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数 值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,定义域含三种:①自然型:②限制型: ③实际型: (2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。 ①配方法(将函数转化为二次函数) ;②判别式法(将函数转化为二次方程) ;③不等式法(运用不等式的 各种性质) ;④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等) 。 3.两个函数的相等:4.区间 5.映射的概念 6.常用的函数表示法: (1)解析法:(2)列表法:(3)图象法: ; ; 。 7.分段函数 8.复合函数:若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间变量,它的 取值范围是 g(x)的值域。

【课前练习】 1.【08 江西卷文 3】若函数 y ? f ( x ) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x ) ? A. [0,1] B. [0,1)
2

f (2 x )

C. [0,1) ? (1, 4]

x ?1 D. (0,1)

的定义域是(



?1 ? x , x ≤ 1, ? 1 ? ? 2.【08 山东卷文 5】设函数 f ( x ) ? ? 2 则f ? ) ? 的值为( ? x ? x ? 2, x ? 1, ? f (2) ? ? 15 27 8 A. B. ? C. D. 18 16 16 9 3. 【08 陕西卷理 11】 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? 2 xy( x, y ? R ) f )( 2 ? , 1



则 f ( ? 2) 等于(

)A.2

B.3
x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

C.6 的定义域为

D.9 .

4.【08 安徽卷理 13】函数 f ( x ) ?

二、典例解析
题型 1:函数概念
( x ? 100 ) ?x ? 3 , 求 f (89 ). 例 1. (1)设函数 f ( x ) ? ? ( x ? 100 ) ? f [ f ( x ? 5 )] (2)请设计一个同时满足下列两个条件的函数 y = f (x) :

①图象关于 y 轴对称;②对定义域内任意不同两点 x1、 x 2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f ( 答: .
? 2 e x ?1 , x< 2, ? 则 f ( f (2))的 值 为 ( 变式题: (2007 山东 文 2)设 f ( x ) ? ? 2 ? log 3 ( x ? 1), x ? 2. ?

x1 ? x 2 2

)



A.0

B.1

C.2

D.3
1 f ? x?

例 2. (2007 安徽 文理 15)函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?
f

,若 f ?1? ? ? 5, 则

? f ? 5 ? ? ? __

________;

题型二:判断两个函数是否相同 例 3.试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)= x 2 ,g(x)= 3 x 3 ; (2)f(x)= (3)f(x)=
2 n ?1

|x| x

,g(x)= ?
*

?1 ?? 1

x ? 0, x ? 0;

x

2 n ?1

,g(x)=( 2 n ?1 x )
2

2n-1

(n∈N ) ;

(4)f(x)= x x ? 1 ,g(x)= x ? x ; 2 2 (5)f(x)=x -2x-1,g(t)=t -2t-1。

题型三:函数定义域问题 例 4.求下述函数的定义域: (1) f ( x ) ?
2x ? x
2

lg( 2 x ? 1)

? (3 ? 2 x ) ;
0

(2) f ( x ) ? lg( x ? ka ) ? lg( x ? a ).
2 2

例 5.已知函数 f ? x ? 定义域为(0,2),求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ? 23 ;(2) y ?
2

f (x ) ?1
2

log 1 (2 ? x )
2



3

变式题:已知函数 f(x)= A.a>
1 3

3x ? 1

ax ? ax ? 3
2

的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是( C.-12<a<0 D.a≤
1 3



B.-12<a≤0

题型四:函数值域问题 例 6.求下列函数的值域: (1) y ? 3 x ? x ? 2 ; (2) y ?
2

?x ? 6x ? 5 ; (3) y ?
2 2

3x ? 1 x?2



(4) y ? x ? 4 1 ? x ; (5) y ? x ? 1 ? x ; (6) y ?| x ? 1 | ? | x ? 4 | ; (7) y ?
2x ? x ? 2
2

x ? x ?1
2

; (8) y ?

2x ? x ?1
2

2x ?1

(x ?

1 2

); (9) y ?

1 ? sin x 2 ? cos x



题型五:函数解析式 例 7. (1)已知 f ( x ? (2)已知 f (
2
1 x )?x ?
3

1 x
3

,求 f ( x ) ;

? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ; x (3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ;
1 (4)已知 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) 。 x

题型六:函数的综合题 例 8. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0,1? ,且同时满足:(1)对任意 x ? ? 0,1? ,总有 f ( x ) ? 2 ;(2) f (1) ? 3 (3)若 x1 ? 0, x 2 ? 0 且 x1 ? x 2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 . (I)求 f (0) 的值; (II)求 f ( x ) 的最大值;

三、课外作业
1.【08 湖北卷 4】函数 f ( x ) ? A. ( ?? , ? 4] ? [2, ?? )
1 x B. ( ? 4, 0) ? (0.1) ln( x ? 3 x ? 2 ?
2

? x ? 3 x ? 4 ) 的定义域为
2

C.

[-4,0) ? (0,1]

D. [ ? 4, 0) ? (0,1) )

2. 【08 四川卷 11】 设定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 13 , f ?1 ? ? 2 , f ? 99 ? ? ( 若 则 (A) 13 (B) 2 (C)
13 2

(D)
1

2 13

1 3.【08 江西卷 3】若函数 y ? f ( x ) 的值域是 [ , 3] ,则函数 F ( x ) ? f (x ) ? 的值域是( 2 f ( x)
1 A. [ , 3] 2



B. [2,

10 3

]

5 10 C. [ , ] 2 3

D. [3,

10 3

]

4.【07 重庆】若函数 f ? x ? ?
4 3

2

x ? 2 ax ? a
2

? 1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围



5.(1)设 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? cx ? d ,其中 a、b、c、d 是常数。
2

如果 f (1) ? 10 , f ( 2 ) ? 20 , f ( 3) ? 30 , 求 f (10 ) ? f ( ? 6 )的值 ; (2)若不等式 2 x ? 1 ? m ( x ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围。
2


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