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高中数学:数列压轴题练习及详解(江苏)


高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解 1.已知数列 是公差为正数的等差数列,其前 n 项和为 ,且 ? , (Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)数列 ①求数列 满足 , 的通项公式; ,使得 , , 成等差数列?若存在,求出 m, ②是否存在正整数m, n 的值;若不存在,请说明理由. 解:(I)设数列 的公差为 d,则 由 ? , ,得 , 计算得出 ; 或 (舍去). (Ⅱ)① , , , , 即 , , , , 累加得: , 也符合上式. 故 , . ,使得 , , 成等差数列, ②假设存在正整数 m、 则 又 , , , ,即 , 化简得: 当 当 ,即 ,即 存在正整数 解析 (Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等 差数列的通项公式得答案; , 时, 时, ,(舍去); ,符合题意. ,使得 , , 成等差数列. (Ⅱ)①把数列 可求得数列 的通项公式代入 的通项公式; ,然后裂项,累加后即 ②假设存在正整数 m、 ,使得 , , 成等差数列,则 .由此列关于 m 的方程,求计算得出答案. 2.在数列 (1)求证:数列 (2)记 的最小项,求 解:(1)证明: 中,已知 , 为等比数列; ,且数列 的取值范围. , 的前 n 项和为 ,若 为数列 中 又 , , , 故 , 是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列 (2)由(1)知道 , , 若 为数列 中的最小项,则对 有 恒成立, 即 对 恒成立 当 当 当 时,有 时,有 时, ? ; ; 恒成立, 对 恒成立. 令 对 恒成立, ,则 在 ,即 综上, 解析 (1)由 时为单调递增数列. ,整理得: .由 , ,可以知道 (2)由(1)求得数列 是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列; ,由 为数列 中的最 通项公式及前 n 项和为 小项,则对 时和当 有 的取值范围, 恒成立,分类分别求得当 当 时, ,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得 的取值范围. 3.在数列 为 中,已知 的前 n 项和. , , ,设 (1)求证:数列 (2)求 ; 是等差数列; (3)是否存在正整数 p,q, 出 p,q,r 的值;若不存在,说明理由. ,使 , , 成等差数列?若存在,求 (1)证明:由 得到 则 , , , 又 , , 数列 是以 1 为首项,以-2 为公差的等差数列; , (2)由(1)可以推知: 所以, , 所以 ,① ,② ①-②,得 , , , 所以 (3)假设存在正整数 p,q, 则 , ,使 , , 成等差数列. 即 因为当 所以数列 又 所以 , 时, 单调递减. , 且 q 至少为 2, 所以 , ①当 时, , 又 , 所以 ②当 时, ,等式不成立. , 所以 所以 所以 , ,(数列 单调递减,解唯一确定). 综上可以知道,p,q,r 的值分别是 1,2,3. 解析 (1)把给出的数列递推式 , ,变形后得到新数列 ,该数列是以 1 为首项,以-2 为公差的等差数列; (2)由(1)推出 的通项公式,利用错位相减法从而求得求 ; (3)根据等差数列的性质得到 4.已知 n 为正整数,数列 满足 ,从而推知 p,q,r 的值. , ,

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