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高中数学:数列压轴题练习及详解(江苏)

高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解 1.已知数列 是公差为正数的等差数列,其前 n 项和为 ,且 ? , (Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)数列 ①求数列 满足 , 的通项公式; ,使得 , , 成等差数列?若存在,求出 m, ②是否存在正整数m, n 的值;若不存在,请说明理由. 解:(I)设数列 的公差为 d,则 由 ? , ,得 , 计算得出 ; 或 (舍去). (Ⅱ)① , , , , 即 , , , , 累加得: , 也符合上式. 故 , . ,使得 , , 成等差数列, ②假设存在正整数 m、 则 又 , , , ,即 , 化简得: 当 当 ,即 ,即 存在正整数 解析 (Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等 差数列的通项公式得答案; , 时, 时, ,(舍去); ,符合题意. ,使得 , , 成等差数列. (Ⅱ)①把数列 可求得数列 的通项公式代入 的通项公式; ,然后裂项,累加后即 ②假设存在正整数 m、 ,使得 , , 成等差数列,则 .由此列关于 m 的方程,求计算得出答案. 2.在数列 (1)求证:数列 (2)记 的最小项,求 解:(1)证明: 中,已知 , 为等比数列; ,且数列 的取值范围. , 的前 n 项和为 ,若 为数列 中 又 , , , 故 , 是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列 (2)由(1)知道 , , 若 为数列 中的最小项,则对 有 恒成立, 即 对 恒成立 当 当 当 时,有 时,有 时, ? ; ; 恒成立, 对 恒成立. 令 对 恒成立, ,则 在 ,即 综上, 解析 (1)由 时为单调递增数列. ,整理得: .由 , ,可以知道 (2)由(1)求得数列 是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列; ,由 为数列 中的最 通项公式及前 n 项和为 小项,则对 时和当 有 的取值范围, 恒成立,分类分别求得当 当 时, ,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得 的取值范围. 3.在数列 为 中,已知 的前 n 项和. , , ,设 (1)求证:数列 (2)求 ; 是等差数列; (3)是否存在正整数 p,q, 出 p,q,r 的值;若不存在,说明理由. ,使 , , 成等差数列?若存在,求 (1)证明:由 得到 则 , , , 又 , , 数列 是以 1 为首项,以-2 为公差的等差数列; , (2)由(1)可以推知: 所以, , 所以 ,① ,② ①-②,得 , , , 所以 (3)假设存在正整数 p,q, 则 , ,使 , , 成等差数列. 即 因为当 所以数列 又 所以 , 时, 单调递减. , 且 q 至少为 2, 所以 , ①当 时, , 又 , 所以 ②当 时, ,等式不成立. , 所以 所以 所以 , ,(数列 单调递减,解唯一确定). 综上可以知道,p,q,r 的值分别是 1,2,3. 解析 (1)把给出的数列递推式 , ,变形后得到新数列 ,该数列是以 1 为首项,以-2 为公差的等差数列; (2)由(1)推出 的通项公式,利用错位相减法从而求得求 ; (3)根据等差数列的性质得到 4.已知 n 为正整数,数列 满足 ,从而推知 p,q,r 的值. , ,设数 列 满足 (1)求证:数列 (2)若数列 (3)若数列 在 值. (1)证明: 数列 为等比数列; 是等差数列,求实数 t 的值; 是等差数列,前 n 项和为 ,对任意的 ,均存 的 ,使得 成立,求满足条件的所有整数 满足 , , ? 数列 , ? , ,公比为 2; 为等比数列,其首项为 (2)解:由(1)可得: ? , , 数列 是等差数列, , , 计算得出 或 12. 时, 列. ,是关于 n 的一次函数,因此数列 是等差数 时, 因此数列 综上可得 , 不是等差数列. ; ,不是关于 n 的一次函数, (3)解:由(2)得 对任意的 , ,均存在 ,使得 成立, 即有 ? ? , 化简可得 , 当 当 , , , ,当 时, ,对任意的 ,符合题意; , 对任意的 综上可得,当 使得 解析 ,不符合题意. , ,对任意的 成立. ,均存在 , (1)根据题意整理可得, ? ,再由等比数列的定义即可得证; ,解方 (2)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得 程可得 t,对 t 的值,检验即可得到所求值; (3)由(2)可得 ,对任意的 ,均存在 ,使得 成立,即有 ? ? ,讨论 为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值. 5.已知常数 (1)若 ①求 的值; 的前 n 项和 中存在三项 ; , , 依次成等差数 , ,数列 , 满足 , ②求数列 (2)若数列 列,求 解:(1)① 的取值范围. , , , , ② 当 当 时, , 时, , , ,即从第二项起,数列 是以 1 为首项,以 3 为公比的等比数列, 数列 显然当 的前 n 项和 时,上式也成立, , , ; (2) , ,即 单调递增. (i)当 , 若数列 有 即 时,有 ,于是 , 中存在三项 , , , 依次成等差数列,则 , 数列 中不存在三项 , , .因此 不成立.因此此时 依次成等差数列. 当 于是当 若数列 有 同(i)可以知道: 时, 时,有 .从而 , , .此时 中存在三项 , 依次成等差数列,则 .于是有 , , 与 是整数, 矛盾. .于是 ,即 . 故此时数

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