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高二下学期期末考试试卷(2 )(人教A版)理


高二下学期期末考试

数学(理)
YCY 第

I 卷(选择题,共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,每 小题 5 分,共 60 分 1.复数
(1 ? i ) 1? i
4

+2 等于





A.2-2i B.-2i C.1-I D.2i 2.把半径均为 1 的四个小球垒成两层放在桌面上,下层三个,上层一个,两两相切,则上 层小球的球心到桌面的距离为 ( ) A. 3 ? 1 B.
2 3 6 ?1

C.

2 6 3

? 2

D.

2 3

6

?1

3.抽屈中有 10 只外观一样的手表,其中有 3 只是坏的,现从抽屈中随机地抽取 4 只,那么
1 6

等于





A.恰有 1 只是坏的概率 B.恰有 2 只是坏的概率 C.恰有 4 只是好的概率 D.至多 2 只是坏的概率 4.将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,如果只有 4 种颜色可供使用,则不同的染色的方法数为 ( ) A.24 B.60 C.48 D.72 5. 用数学归纳法证明: “1+
1 2 ? 1 3 ?? ? 2 1
n

?1

? n ( n ? 1, n ? N ) ” 在证明从 n=k 到=k+1 时,

时,左边增加的项数为 ( ) k k-1 k k A.2 +1 B.2 C.2 -1 D.2 6.环卫工人准备在路的一侧依次载种 7 棵树,现只有梧桐树和柳树可供选择,则相邻两棵 树不同为柳树的栽种方法有 ( ) A.21 B.34 C.33 D.14 7. 已知(5x-3)n 的展开式中各项系数的和比 ( x ? y ? 则 n 的值为 A.9 8.设函数 f ( x ) ? x
n ?1 n
m

1 y

)

2n

的展开式中各项系数的和多 1023, ( )

B.10

C.11

D.12

? 1 ? ? tx 的导数 f ? ( x ) ? 2 x ? 1, 则数列 ? ? ( n ? N *) 的前 n 项和为 ? f (n) ?

A.

B.

n ?1 n 2 3

C.

n n ?1 1 3

D.

n ? 2 n ?1

9.设ξ 是离散型随机变量, P (? ? x 1 ) ?

, P (? ? x 2 ) ?

, 且 x 1 ? x 2 , 又已知

E? ?

4 3

, D? ?

2 9

, 则 x 1 ? x 2 的值为

( C.3
2



A.

5 3

B.
2

7 3

D.

11 3

10.已知关于 x 的方程 x ? 2 ( a ? 3 ) x ? 9 ? b ? 0 ,其中 a,b 都可以从集合{1,2,3,4, ( ) 2 1 1 1 1 , A. B. C. D. 6 2 12 3 4 2 n ?1 , 11.设 n 是奇数, x ? R , a , b 分别表示 ( x ? i ) 的展开式中系数大于 0 与小于 0 的项的个 6 数,那么 ( ) A.a=b+2 B.a=b+1 C.a=b D.a=b-1 5,6}中任意选取,则已知方程两根异号的概率为 12.设函数 f ( x ), g ( x ) 在 [ a , b ]上均可导 , 且 f ? ( x ) ? g ? ( x ), 则当 a ? x ? b 时,有 ( A. f ( x ) ? g ( x ) C. f ( x ) ? g ( a ) ? g ( x ) ? f ( a ) B. f ( x ) ? g ( x ) D. f ( x ) ? g ( b ) ? g ( x ) ? f ( b ) )

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填空写在题中的横张上。 13.儿童救助协会由 10 位女性委员与 5 为男性委员组成,协会将选取 6 位委员组团出国考 察,如以性别作分层,并在各层依比例选取,则此考察团共有 种组成方式。 14.某中学有六位同学参加英语口语演讲比赛的决赛,决出了第一至第六的名次。评委告诉 甲、乙两位同学: “你们两位都没有拿到冠军,但乙不是最差的。 ”则六位同学的排名顺 序有 种不同情况(要求用数字作答) 。 15.若 f ( x ) ?
1? 1?
3

1? x 1? x

在 x ? 0 处连续,则 f(0)=

16.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.8,他连续射击 4 次,有各次射击是否击中目标 相互之间没有影响。有下列结论: (1)第二次击中目标的概率是 0.8; (2)恰好击中目标三次的概率是 0.83×0.2; (3)至少击中目标一次的概率是 1-0.24; 其中正确的结论的序号是 (写出所有正确结论的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 12 分) 为应对艾滋病对人类的威胁,现在甲、乙、丙三个研究所独立研制艾滋病疫苗,他 们能够成功研制出疫苗的概率分别是
1 1 1 , , ,求: 2 3 4 99

(1)恰有一个研究所研制成功的概率; 2 (2)若想在到研制成功(即至少有一个研究所研制成功)的概率不低于 ,至少需 100 , 要多少个乙这样的研究所?(参考数据:lg2=0.3010, lg3=0.4771) 4 , 6

18. (本题满分 12 分) 在 (2 x ?
1 x
2

) 的展开式中,第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大 27,求

n

展开式中的常数项及系数最大的项。

19. (本题满分 12 分) 袋子中共有 12 个球,其中有 5 个黑球,4 个白球,3 个红球,从中任取 2 个球(假 设取到每个球的可能性都相同) 。已知每取到一个黑球得 0 分,每取到一个白球得 1 分, 每取到一个红球得 2 分。用ξ 表示任取 2 个球的得分的差的绝对值。 (1)求椭机变量ξ 的分布列及ξ 的数学期望 Eξ ; (2)记“不等式 ? x ? ? x ?
2

1 2

? 0 的解集是实数集 R”为事件 A,求事件 A 发生的概

率 P(A) 。

20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
x ax
2

? a

(a ? 0)

(1)当 a=1 时,求 f(x)的极值;
2 (2)若存在 x 0 ? ( 0 ,1), 使 f ? ( x 0 ) ? [ f ( x 0 )] ? 0 成立,求实数 a 的取值范围。

21. (本题满分 12 分) 已知正数数列 { a n }的前 n 项和 S n ?
1 2 (a n ? 1 an ),

(1)求 a 1 , a 2 , a 3 ; (2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论; .....

22. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? (1 ? x ) ? ln( 1 ? x )
2 2

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若当 x ? [
1 e ? 1, e ? 1 ] 时,不等式 f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围;

(3)若关于 x 的方程 f(x)=x2+x+a 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数 a 的取 值范围。

参考答案
一、选择题:每小题 5 分,共计 60 分。 B B C D D B B C 二、填空题:每小题 4 分,共计 16 分。 13.2100 14.384 15.
3 2

C

B

C

C 2 , 4 , 6

16.①③

三、解答题: 17.解: (1)记“恰有一个研究所研制成功”为事件 A,则
P ( A) ? 1 2 ? 2 3 ? 3 4 ? 1 2 ? 1 3 ? 3 4 ? 1 2 ? 2 3 ? 1 4 ? 11 24

故恰有一个研究所研制成功的概率为

11 24

????6 分

(2)设至少需要 n 个乙这样的研究所,则有
2 n 99 2 n 1 2 1 1? ( ) ? ,( ) ? , n lg( ) ? lg( ) ? ?2 3 100 3 100 3 100
?n ? 2 lg 3 ? lg 2 ? 11 . 35

? n ? Z ,? n 的最小值=12

故至少需要乙这样的研究所 12 个。 18.解:由已知得: C n ? C n ? 27 ,化简得: n ? 3 n ? 54 ? 0
2 1
2

????12 分

解得:n=9,n=-6(舍) (1) T r ? 1 ? C 9 ( 2 x )
r 9?r

????4 分
? C9 2
r 3 9?r

x

?2 r

x

9?3r

令 9 ? 3 r ? 0 , 则 r ? 3 ,? T 4 ? C 9 2 ? 5376
6

故展开式的常数项为 5376; (2)若设第 r+1 项的系数最大,则有: ?
? ?C 9 2
r 9?r 9?r

????8 分
? C9 ? C9
r ?1 r ?1

2 2

9 ? r ?1 9 ? r ?1

?C 9 2 ?
r

解得:

7 3

? r ?

10 3



? r ? Z ,? r ? 3 ,? T 4 ? 5376 为系数最大项(12 分)

19.解: (1)由已知可得ξ 的取值为:0,1,2,
P (? ? 0 ) ? C5 ? C4 ? C3
2 2 2

C 12 P (? ? 1 ) ? C 5C 4 ? C 4C 3
1 1 1 1

2

?

19 66

,

C 12 P (? ? 2 ) ? C 5C 3 C 12
2 1 1

2

?

32 66

,

?

15 66

,

(4分 )

∴ξ 的概率分布列为: ξ P 0
19 66 19 66

1
16 33 16 33
5 22

2
5 22

∴ξ 的数学期望为 Eξ =0×

+1×

+2×

=

31 33

(2)显然ξ =0 时不等式成立; 若ξ ≠0,则有:
?? ? 0 ? ? ?? ? ? ? ? 0 ?? ? 2

2

? 4? ?

1 2

? 0

? 0 ? ? ? 2 , ? P ( A ) ? P (? ? 0 ) ? P (? ? 1 ) ?

19 66

?

32 66

?

51 66

(12 分 )

20. (1)当 a ? 1时 , f ( x ) ? 解:
x

x
2

? 2

, f ?( x ) ?

2? x (x
2

2 2

? 2)

, 令 f ?( x ) ? 0 , 得 x ? ?

2 (3 分)

x f′(x) f(x)

(-∞, - 2 ) -

- 2 0 极小
2 4

(- 2 , 2 ) + 0

2

( 2 +∞) -

极大
和 ? 2 4

故函数的极大值、极小值分别为

。 分) (6
2 a ? ax 0 ? a x 0
2 2 2

(2) f ? ( x 0 ) ?
2

2 a ? ax 0 ( x0 ? 2)
2

2 2

, f ? ( x 0 ) ? [ f ( x 0 )]

2

?

( x0 ? 2)
2

2

? 0

? 2 a ? ax 0 ? a x 0 ? 0 ,? a ? 0 ,? (1 ? a ) x 0 ? 2
2 2 2

当 1 ? a ? 0时 , 方程 (1 ? a ) x 0 ? 2 无解 ; 当 1 ? a ? 0时 , x 0 ?
2 2

2 1? a

.( 9 分 )

? x 0 ? ( 0 ,1), ? x 0 ? ( 0 ,1), 即 0?
2

2 1? a

? 1, 解得 a ? 1 .

因此,实数 a 的取值范围是(1,+∞). 21.解: (1) a 1 ? 1; a 2 ? (2)猜想 a n ?
n ? 2 ? 1; a 3 ? n ?1
1 ? 1 成立

(12 分)
2

3 ?

证明:①当 n ? 1时 ,由 a 1 ?

②假设 n ? k ( k ? N *) 时结论成立

,即 a k ?

k ?

k ? 1,

当 n ? k ? 1时 , a k ? 1 ? S k ? 1 ? S k ?
1 2 ? 1 2

1 2

( a k ?1 ?

1 a k ?1

)?

1 2

(a k ?

1 ak

)

?

( a k ?1 ? ( a k ?1 ? 1 2

1 a k ?1 1 a k ?1

)? )?

1 2 1 2 1

( k ? ( k ? )?

k ?1 ? k ?1 ?

1 k ? k ? k ?1

)

(7 分 )

k ? 1)

? a k ?1 ?

( a k ?1 ?

k

(9 分 )

a k ?1


a k ?1 ? 2
2


?2 k ? 2 4k ? 4 ? k ?1 ? k



k a k ? 1 ? 1 ? 0 , 又由 a k ? 0 , 解得 a k ? 1 ?

这说明当 n=k+1 时结论成立。 由①②可知, a n ?
n ? n ? 1 对任意正整数 n 都成立。 (12 分)
2 1? x
2

2 2 22.解:因为 f ( x ) ? (1 ? x ) ? ln( 1 ? x ) 所以 f ? ( x ) ? 2 (1 ? x ) ?

(1)令 f ? ( x ) ? 2 (1 ? x ) ?

2 1? x

? 2 [( 1 ? x ) ?

1 1? x

]? 0 ?

x

? 2x

1? x

? 0

? ? 2 ? x ? ? 1 或 x>0,所以 f(x)的单调增区间为(-2,-1)和(0,+∞) ;

(3 分) 令 f ? ( x ) ? 2 (1 ? x ) ?
2 1? x ? 2 [( 1 ? x ) ? 1 1? x ]? 0 ? x
2

? 2x

1? x

? 0

? ? 1 ? x ? 0 或 x ? ? 2 , 所以 f ( x ) 的单调减区间(-1,0)和(-∞,-2) (6 。

分)
2 (2)令 f ? ( x ) ? 0 ? (1 ? x ) ? 1 ? x ? 0 或 x ? ? 2 (舍) ,由(1)知,f(x)连续,

? f(

1 e

? 1) ? 1 e

1 e
2

? 2 , f ( 0 ) ? 1, f ( e ? 1) ? e ? 2 ,
2

所以 , 当 x ? [

? 1, e ? 1]时 , f ( x )的最大值为

e ? 2.
2

因此可得:f(x)<m 恒成立时,m>e2-2 (3)原题可转化为:方程 a=(1+x)-ln(1+x)2 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根。

令 g ( x ) ? (1 ? x ) ? ln( 1 ? x ) , 则 g ? ( x ) ? 1 ?
2

2 1? x

, 令 g ? ( x ) ? 0 , 解得 : x ? 1, , (12 分 )

当 x ? ( 0 ,1)时 , g ? ( x ) ? 0 ,? g ( x ) 在 ( 0 ,1) 单调递减

当 x ? (1, 2 )时 , g ? ( x ) ? 0 ,? g ( x ) 在 (1, 2 ) 单调递增 . ? g ( x ) 在 x ? 0 和 x ? 2 点处连续 ,

又 ? g ( 0 ) ? 1, g (1) ? 2 ? ln 4 , g ( 2 ) ? 3 ? ln 9 ,

且 2-ln4<3-ln9<1,∴ g ( x ) 的最大值是 1, g ( x ) 的最小值是 2-ln4。 所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数 a 的取值范围是: 2-ln4<a≤3-ln9 (14 分)


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