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保持手感-中档题训练解答

第二部分中档题训练——保持手感 第1练 1.(-2,1)[解析]由题知?UB=(-∞,1),于是A∩(?UB)=(-2,1). 2.-1[解析]由题知函数f(x)是奇函数,且在x=0处有意义,即有f(0)= 2 +m=0,解得m=-1. 2 +1
0

3.-2[解析]由题知函数f(x)的周期为4,于是f(-9)=f(-1)=-f(1)=-2. 4.③[解析]①是错误的,因为l可以与m,n都相交;②是错误的,因为m与l可以异面、相交或平行;③是 正确的,因为只要将两异面直线平移成相交直线,两相交直线确定一个平面,此平面就是所求的平面. 4ac-1 5.10[解析]由值域可知该二次函数的图象开口向上,且函数的最小值为0,因此有 =0,从而c=>0, 4a 1 +2 c+2 a+2 4a a+2 1+8a 2 1 2 1 所以 + = + = +8a+4a2=( +8a)+( 2+4a2)≥2 ·8a+2 ·4a2=2×4 a c a 1 4a2 a 4a a 4a2 4a 2 =8a>0, a 1 +2=10,当且仅当 1 即a= 时取等号,故所求的最小值为10. 2 =4a2>0, 4a2

? ? ?

x2-1? |log2x| x2-1? 1 6.{a|a≥1}[解析]不等式等价于:当x∈( ,2)时,a≥-? +2 ,恒成立.根据函数f(x)=-? 2 ? x ? ? x ? 1 x, <x<1, 2 1 |log x| +2 2 = 的图象可知f(x)在区间( ,2)上的最大值为1,所以a的取值范围为[1,+∞). 1 2 ,1≤x<2 x

? ? ?

7.由题意可知,△ PAC为等腰直角三角形,△ ABC为等边三角形. (1)因为O为边AC的中点,所以BO⊥AC. 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BO?平面ABC,所以BO⊥平面PAC. 因为PA?平面PAC,所以BO⊥PA. 在等腰直角三角形PAC中,O,E分别为棱AC,AP的中点,所以OE⊥PA. 又BO∩OE=O,BO,OE?平面BEO,所以PA⊥平面EBO. (2)连接AF交BE于点Q,连接QO,如图. AQ 因为E,F,O分别为边PA,PB,AC的中点,所以 =2,且Q是△ PAB的重心, OG AQ AO 于是 =2= ,所以FG∥QO. QF OG P 因为FG? 平面 EBO,QO?平面EBO,所以FG∥平面EBO. / 8.(1)因为f(-1)=0,所以a-b+1=0. ?a>0, 因为f(x)的值域为[0,+∞),所以? 2 ?△=b -4a=0 所以b2-4(b-1)=0,解得b=2,a=1,所以f(x)=(x+1)2. ?(x+1)2>0,x>0, 所以F(x)=? 2 ?-(x+1) ,x<0.
E Q A F O B (第7题) G C

2-k 2 (2-k)2 (2)因为g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1=(x+ ) +1- , 2 4 k-2 k-2 所以当 ≥2或 ≤-2时g(x)是单调函数,即实数k的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞). 2 2

9.(1)f'(x)=3ax2+6x-6a,因为f'(-1)=0,所以a=-2.
1

(2)因为直线m恒过点(0,9),设直线m是y=g(x)的切线,设切点为(x0,3x2 0+6x0+12). 2 因为g'(x0)=6x0+6,所以切线方程为y-(3x0+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0). 将点(0,9)代入,得x0=±1. 当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9. 由f'(x)=0,得-6x2+6x+12=0,解得x=-1,x=2. 当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18, 当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9,所以直线y=9是两条曲线的公切线. 又由f'(x)=12,得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1. 当x=0时,y=f(x)的切线方程为y=12x-11; 当x=1时,y=f(x)的切线方程为y=12x-10, 所以直线y=12x+9不是两条曲线的公切线. 综上所述,k=0时,直线y=9是两条曲线的公切线.

第2练 1.(1,+∞)[解析]P=(-∞,0]∪[1,+∞),Q=(1,+∞),所以P∩Q=(1,+∞). cos(2π-α)sin(π+α) cosα(-sinα) 1 1 2. [解析] = =cosα= . 3 π 3 cosα(-tanα) sin( +α)tan(3π-α) 2 3.25[解析]a=1,P=9>0,S=9;a=2,P=16>9,S=16;a=3,P=21>16,S=21;a=4,P=24> 21,S=24;a=5,P=25>24,S=25;a=6,P=24<25,输出的S=25. 1 1 1 4.[- , ][解析]定义域为[a,1+a]∩[-a,1-a].当a≥0时,应有a≤1-a,即a≤ ;当a≤0时,应有- 2 2 2 1 1 1 a≤1+a,即a≥- .所以实数a的取值范围是[- , ]. 2 2 2 5.2[解析]( AB + DC )· ( AC + BD )=( AC + CB + DB + BC )· ( AC + BD )=( AC + DB )· ( AC + BD )= ( AC - BD )· ( AC + BD )= AC 2- BD 2=| AC |2-| BD |2=2. 5 6. [解析]函数f(x)=x2-3x-4=(x+1)(x-4),因此当x∈[-1,4]时,f(x)≤0,所以对任意x0∈[-3,6], 9 4-(-1) 5 使f(x0)≤0的概率P= = . 6-(-3) 9 b2+c2-a2 4 8bc 4 3 7.(1)由a2-c2=b2- ,得 = ,即cosA= .因为A∈(0,π),所以sinA= . 5 2bc 5 5 5 1 1 3 (2)因为S△ ABC= bcsinA= bc· =6, 2 2 5 b2+c2-a2 4 所以bc=20.由 = 及bc=20与a=3,解得b=4,c=5或b=5,c=4. 2bc 5 1 (3)设点D到三边的距离分别为x,y,z,则S△ ABC= (3x+4y+5z)=6, 2 12 1 所以d=x+y+z= + (2x+y). 5 5 ? ?3x+4y≤12, 12 又x,y满足?x≥0, 画出不等式表示的平面区域可知d的取值范围是{d| <d<4}. 5 ?y≥0. ? 8.(1)已知g(x)=ax2-2ax+1+b,分两种情况讨论: ? ?a>0, ?a=1, 1° 由?g(2)=1+b=1, 解得? ?b=0. ?g(3)=3a+b+1=4 ?
2 → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → →

? ?a<0, ?a=-1, 2° 由?g(2)=1+b=4, 解得? 舍去. ?b=3>1. ?g(3)=3a+b+1=1 ?
1 所以a=1,b=0,所以g(x)=x2-2x+1,f(x)=x+ -2. x 1 1 1 (2)不等式f(2x)-k· 2x≥0,即2x+ x-2≥k· 2x,所以k≤( x)2-2· ( x)+1. 2 2 2 1 1 设t= x,,则t∈[ ,2],且k≤(t-1)2恒成立. 2 2 1 因为(t-1)2在区间[ ,2]上的最小值为0,所以实数k的取值范围是(-∞,0]. 2 9. (1)因为平面A'BD⊥平面BCD, 平面A'BD∩平面BCD=BD, CD?平面BCD, CD⊥BD, 所以CD⊥平面A'BD. 又因为A'B?平面A'BD,所以CD⊥A'B. (2)如图(1),在Rt△ ABD中,BD= AB2+AD2=2. 因为AD∥BC,所以∠ADB=∠DBC=30° . 2 3 1 2 3 在Rt△ BDC中,DC=BDtan30° = ,所以S△ BDC= BD· DC= . 3 2 3 如图(2),在Rt△ A'BD中,过点A'作A'E⊥BD于点E,所以A'E⊥平面BCD. A'B·A'D 3 1 1 2 3 3 1 因为A'E= = ,所以VA'BCD= S△ BDC· A'E= × × = . BD 2 3 3 3 2 3 (3)在线段BC上存在点N,使得A'N⊥BD,理由如下: 1 BE 1 由(2)知在Rt△ A'EB中,BE= A'B2-A'E2= ,所以 = . 2 BD 4 BN BE 1 过点E作EN∥DC交BC于点N,则 = = . BC BD 4 因为CD⊥BD,所以EN⊥BD. 又A'E⊥BD,A'E∩EN=E,所以BD⊥平面A'EN. 又A'N?平面A'EN,所以A'N⊥BD. BN 1 所以在线段BC上存在点N,使得A'N⊥BD,此时 = . BC 4 第3练 1.-3-4i[解析](1+2i) =1+4i-4=-3+4i,所以其共轭复数是-3-4i.
2

c 2. 3[解析] = a

b2 b2 b 1+ 2=2, 2=3,所以 = 3. a a a

115 x 3.690[解析]设男生人数为x,则 = ,解得x=690. 200 1200 4.②[解析]①错,m与α位置关系不确定;②对,若m∥α,m⊥β,则存在n?α且m∥n,因为n⊥β,所以α⊥β; ③错,由α⊥β,α⊥γ,β与γ垂直没有传递性,则β⊥γ为假命题;④错,由α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,得α∥β 或α与β相交. a3 5. [解析]类比推理,也可以特殊化处理. 8 1 1 1 6.[ ,+∞)[解析]由题意知f(x1)min≥g(x2)min,所以0≥ -m,即实数m的取值范围是[ ,+∞). 4 4 4 2π 2π 1-cos(2x- ) 1+cos(2x- ) 3 3 1 1 2 π 7.(1)f(x)= + + sin2x=1+ (sin2x-cos2x)= sin(2x- )+1, 2 2 2 2 2 4 π π 3π 2 当2x- =2kπ+ ,k∈Z,即x=kπ+ ,k∈Z时,f(x)取得最大值,最大值为 +1. 4 2 8 2
3

2 π sin(2x- )+1. 2 4 π π π π 3π 令2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 2 4 2 8 8 π 3π 所以f(x)在区间[kπ- ,kπ+ ](k∈Z)上单调递增. 8 8 3π 7π 又因为0≤x≤π,所以f(x)在[0,π]上的单调增区间为[0, ]和[ ,π]. 8 8 (2)由(1)知f(x)= 8.(1)因为在△ ABC中,AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC. 又因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AE?平面ABC,所以AE⊥平面BCD. (2)连接DE,因为BD=CD,E为BC的中点,所以BC⊥DE. 由(1)知AE⊥BC,又AE∩DE=E,AE,DE?平面AED,所以BC⊥平面AED. 又AD?平面AED,所以BC⊥AD. (3)取AB,AC的中点M,N,连接MN,NF,FM,所有的点G构成的集合T即为直线MN. 3 9.(1)因为E为AC的中点,所以AE=EC= . 2 3 3 因为 +3< +4,所以F不在BC上. 2 2 若F在AB上,则AE+AF=3-AE+4-AF+3, 7 所以AE+AF=5,所以AF= <4. 2 2 由题知在△ ABC中,cosA= . 3 15 30 所以在△ AEF中,EF2=AE2+AF2-2AE· AFcosA= ,所以EF= , 2 2 30 即小路一端E为AC的中点时,小路的长度为 百米. 2 (2)若小路的端点E,F点都在两腰上,如图,设CE=x,CF=y,则x+y=5, 1 CA·CBsinC 2 S1 S△ABC-S△CEF S△ABC 9 9 11 = = -1= -1== -1≥ -1= , S2 1 xy 25 S△CEF S△CEF x+y 2 CE·CFsinC ( ) 2 2 5 当且仅当x=y= 时取等号. 2 若小路的端点E在一腰(不妨设腰AC)上,F在底上,设AE=x,AF=y,则x+y=5. S1 S△ABC-S△AEF S△ABC 12 12 23 = = -1= -1≥ -1= , S2 xy 25 S△AEF S△AEF x+y 2 ( ) 2 5 当且仅当x=y= 时取等号. 2 S1 11 综上可知, 的最小值为 . S2 25 第4练 1.1[解析]z=(a-i)(1+i)=(a+1)+(a-1)i,复数z对应点在实轴上等价于z为实数,即虚部为0,所以a=1. 4 7 2 2. [解析]依题意知45° -α∈(-45° ,45° ),所以cos(45° -α)= 1-sin2(45° -α)= ,则cosα=cos[45° - 5 10 2 7 2 2 2 4 (45° -α)]= × + × = . 2 10 2 10 5
C E F A (第9题) B

4

3.(-1,3)[解析]由题知,f(1)=2+1=3,f[f(1)]=f(3)=32+6a,若f[f(1)]>3a2,则9+6a>3a2,即a2-2a -3<0,解得-1<a<3. 4.3[解析]由已知得 AP · OA =(x-1,y)· (1,0)=x-1≤0,且 BP · OB =(x,y-2)· (0,2)=2(y-2)≥0, 即x≤1且y≥2,所以 OP · AB =(x,y)· (-1,2)=-x+2y≥-1+4=3. 1 5.c<a<b[解析]依题意知当x<1时,有f'(x)>0,f(x)为增函数;又f(3)=f(-1),且-1<0< <1, 2 1 1 因此有f(-1)<f(0)<f( ),即f(3)<f(0)<f( ),所以c<a<b. 2 2 1 6. 6[解析]若点P在棱AB上, 设AP=x, 有PA+PC1=x+ (1-x)2+( 2)2=2, 解得x= , 故AB上有一点P(AB 2 的中点)满足条件.同理,在AD,AA1,C1B1,C1D1,C1C上各有一点满足条件.若点P在棱BB1上,则PA +PC1= 1+BP2+ 1+B1P2>2, 故BB1上不存在满足条件的点P. 同理, DD1上也不存在满足条件的点P. 综 上,满足条件的点P的个数为6.
1 C1 7.(1)如图,连接AB1与A1B相交于点M,则M为AB1的中点. A1 连接MD,又D为AC的中点,所以B1C∥MD. 又B1C? / 平面A1BD,MD?平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD. M (2)因为AB=B1B,所以四边形ABB1A1为正方形.所以A1B⊥AB1. B C 又因为AC1⊥平面A1BD,A1B?平面A1BD,所以AC1⊥A1B. D A 又AB1∩AC1=A,所以A1B⊥平面AB1C1. (第7题) 因为B1C1?平面AB1C1,所以A1B⊥B1C1. 又在直棱柱ABC-A1B1C1中, BB1⊥B1C1, A1B, BB1?平面ABB1A, A1B∩BB1=B, 所以B1C1⊥平面ABB1A. (3)当点E为C1C的中点时,平面A1BD⊥平面BDE. 因为D,E分别为AC,C1C的中点,所以DE∥AC1. 因为AC1⊥平面A1BD,所以DE⊥平面A1BD. 又DE?平面BDE,所以平面A1BD⊥平面BDE.













B

8.如图,过点P作PE⊥AM,PF⊥AN,垂足分别为E,F,连接PA. 设AB=x,AC=y.因为点P到AM,AN的距离分别为3, 5, 所以PE=3,PF= 5. 1 1 1 由S△ ABC=S△ ABP+S△ APC= · x· 3+ · y· 5= (3x+ 5y).① 2 2 2 2 因为tanα=-2,所以sinα= . 5 1 2 所以S△ ABC= · x· y· .② 2 5 1 2 1 由①②可得 · x· y· = (3x+ 5y). 2 5 2 即3 5x+5y=2xy.③ 因为3 5x+5y≥2 15 5xy,所以2xy≥2 15 5xy.解得xy≥15 5. 当且仅当3 5x=5y时取“=”,结合③解得x=5,y=3 5. 1 2 所以S△ ABC= · x· y· 有最小值15. 2 5 答:当AB=5km时,该工业园区的面积最小,最小面积为15km2. 9.(1)因为m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+n)2. 因为m+n=2p,所以m2+n2≥2p2. n(n-1) m(m-1) 因为Sn=na1+ d,Sm=ma1+ d,所以 2 2

N C F AE (第8题) B M P

5

n(n-1)+m(m-1) n2+m2-2p 2p2-2p Sn+Sm=(m+n)a1+ d=2pa1+ d≥2pa1+ d=2Sp, 2 2 2 即Sn+Sm≥2Sp成立. (2)因为m+n≥2 nm,所以2p≥2 nm,所以p2≥mn. 因为 am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d, 所以 am+an=2a1+(m+n-2)d=2ap, 所以 a2 an. p≥am· n(a1+ an) m(a1+ am) nm 2 p2 2 ?p(a1+ap)?2=S2. 所以SnSm= · = [a1+a1(am+an)+aman]≤ (a1 +2a1ap+ a2 p)= p 2 2 4 4 ? 2 ? 得证.

第5练 1.{-1,0,1}[解析]考查集合中元素的互异性、集合的并集运算. p 2.8[解析]抛物线y2=2px(x>0)上的点(x0,y0)到焦点的距离为x0+ =6,所以p=8. 2 17 1 1 1 1 1 ? 1 ? ?是首项为 ,公差为1的等差数列,所以 3.- [解析]由 = +1,知数列? = +(10 19 2 1+an+1 1+an 1+a10 2 ?1+an? 19 17 -1)= ,所以a10=- . 2 19 7 4. [解析]考查流程图的循环结构、判断语句.算法流程是:i=0,a=4;i=1,a=3;i=2,a=5;i=3, 3 7 7 a= ,所以a= . 3 3 5. 3[解析]考查向量模的运算.|2a-xb|2=4a2+x2b2-4x|a||b|cos120° =(x+1)2+3.故当x=-1时,|2a- xb|min= 3. 4 C 6. [解析]考查函数思想、最值问题解法,以及解三角形的知识. B 3 如图所示,设OD=x,OE=y. E 方法一:由余弦定理得CD2=x2+1-x,CE2=y2+1-y,DE2=x2+y2+xy, A 26 8 O D 由CD2+CE2+DE2= ,得2(x2+y2)-(x+y)+xy= , 9 9 (第6题) 2 x + y 8 8 4 4 ?, 所以2(x+y)2-(x+y)= +3xy≤ +3? 解得0≤x+y≤ , 当且仅当x=y= 时, x+y取得最大值, 9 9 ? 2 ? 3 3 4 且最大值为 . 3 26 → → → → → → 方法二:( OD - OC )2+( OE - OC )2+( OE - OD )2= , 9 → → → → → → 8 2( OD + OE )-(| OD |+| OE |)+| OD || OE |= , 9 8 即 2(x2+y2)-(x+y)+xy= . 9 以下同方法一. 1 3 3 3 π 7.(1)由已知得f(x)=1+cosωx+ cosωx- sinωx=1+ cosωx- sinωx=1- 3sin(ωx- ). 2 2 2 2 3 2π 由函数f(x)的最小正周期为π,得 =π,解得ω=2. ω π 所以f(x)=1- 3sin(2x- ). 3

6

π π π π 5π 令2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 12 12 π 5π 所以函数f(x)的单调减区间是[kπ- ,kπ+ ],k∈Z. 12 12 π 1 π 3 π π 2π (2)由(1)及已知得f(A)=1- 3sin(2A- )=- , 即sin(2A- )= , 所以2A- =2kπ+ 或2kπ+ k∈Z, 3 2 3 2 3 3 3 π π 所以A=kπ+ 或kπ+ ,k∈Z. 3 2 π 又△ ABC是锐角三角形,所以A= . 3 1 3 3 因为△ ABC的面积为6 3,所以 bcsinA=6 3,即 b=6 3,b=8. 2 4 1 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=64+9-2×8×3× =49,所以a=7. 2 a 7 7 3 由正弦定理,得2R= = ,R= , sinA 3 3 2 P 49 G 所以△ ABC的外接圆面积为 π. 3
D E A F 8.(1)如图(1),连接BD.因为底面ABCD为菱形,∠DAB=60° , C 所以△ ADB,△ BDC都是等边三角形. B (第8题图1) 因为E是CD的中点,所以BE⊥CD. 因为平面PCD⊥底面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,BE?平面ABCD,所以BE⊥平面PCD. P (2)如图(2),连接AC交FD于点M,交BE于点N.连接MG. 因为底面ABCD为菱形,E,F分别是CD,AB的中点, G 所以DE∥BF,且DE=BF. D A 所以四边形DEBF是平行四边形,所以BE∥DF. E M F N 因为E是CD的中点,所以CN=MN. C B ( 第 8 题图2) 同理 AM=MN,所以 CM=2AM. 又PC∥平面GDF,PC?平面PCA,平面PCA∩平面GDF=GM,所以PC∥GM. PG CM 在△ APC中, = =2. GA AM ? ?0.8,0<x<625, 500 9.(1)因为 =625,所以y=?0.8x-100 0.8 ,625≤x≤1000. ? x ? 0.8×1000-100 当x=1000时,y= =0.7, 1000 即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7. (2)当x∈[2500,3500]时,0.8x∈[2000,2800]①, 0.8x-400 2 当0.8x∈[2000,2500),即x∈[2500,3125)时, < ,解得x<3000, x 3 2 所以当2500≤x<3000时,折扣率低于 . 3 0.8x-500 2 ②当0.8x∈[2500,2800],即x∈[3125,3500]时, < ,解得x<3750, x 3 2 所以当3125≤x≤3500时,折扣率低于 . 3 综上 2500≤x<3000或3125≤x≤3500, 2 答:顾客购买标价在[2500,3000)∪[3125,3500]间的商品,可得到的实际折扣率低于 . 3

7

第6练 1. 5[解析]利用待定系数法,设z=a+bi(a,b∈R),则2a+2bi-(a-bi)=1+6i,即a=1,b=2,所以|z| =|1+2i|= 5. 2π 2.π[解析]由题知f(x)=1-2sinxcosx=1-sin2x,最小正周期T= =π. 2 5 3. [解析]“在A中可重复的依次取出三个数a,b,c”的基本事件总数为23=8,事件“以a,b,c为边不能构 8 3 5 成三角形”分别为(2,2,5),(2,5,2),(5,2,2),所以P=1- = . 8 8 4.必要不充分 5.0.38[解析]该流程图表示统计每天参加体育锻炼时间大于60分钟的人数,从而可知,每天参加体育锻 炼时间在0~60分钟内的学生共有3800人,所以频率是0.38.
→→ → → → → → 1→ → 1→ → → → 2 1 6.10[解析] AE · AF =( AB + BE )· ( AC + CF )=( AB + BC )·( AC - BC )= AB · AC -| BC | + 3 3 3 A 2 2 → → → → BC · ( AC - AB )= | BC |2= ×(62+32)=10. 9 9

7.(1)因为|a|= cos2(λθ)+cos2[(10-λ)θ],|b|= sin2(λθ)+sin2[(10-λ)θ], 所以|a|2+|b|2=2. (2)因为a⊥b,所以cos(λθ)· sin[(10-λ)θ]+cos[(10-λ)θ]· sin(λθ)=0,

B

E F (第6题)

C

kπ 即 sin[(10-λ)θ+λθ]=0,所以sin(10θ)=0,所以10θ=kπ,k∈Z,所以θ= ,k∈Z. 10 π (3)因为θ= ,所以 20 λπ λπ π λπ π λπ cos(λθ)· sin(λθ)-cos[(10-λ)θ]· sin[(10-λ)θ]=cos · sin -cos( - )· sin( - ) 20 20 2 20 2 20 λπ λπ λπ λπ =cos · sin -sin · cos =0, 20 20 20 20 所以 a∥b. 8.(1)因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC. 因为SA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以SA⊥BC. 又AD∩SA=A,AD,SA?平面SAD,所以BC⊥平面SAD. 因为AM?平面SAD,所以BC⊥AM. (2)因为AM⊥平面SBC,SD?平面SBC,所以AM⊥SD. 3 AB 5 因为AB=AC= BC,所以AD= ,SD= AB. 3 2 2 SA SM 2 5 又 = ,得SM= AB,所以SM=4MD,AE=4DE,所以ME∥SA. SD SA 5 又ME? / 平面ABS,SA?平面ABS,所以EM∥平面ABS. x2 y2 9.(1)设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b c 6 a2 由题意知 = , =3 2,解得a=2 3,则c=2 2,b= a2-c2=2, a 3 c x2 y2 故椭圆C的标准方程为 + =1. 12 4 (2)由题意可知,点M为线段AB的中点,且位于y轴正半轴,故点M的坐标为(0,t). 又圆M与x轴相切,所以圆M的半径为t. 不妨设点B位于第一象限,因为MA=MB=t,所以B(t,t).
8

t2 t2 代入椭圆的方程,可得 + =1. 12 4 因为t>0,解得t= 3. 所以圆M的圆心为(0, 3),半径为 3,其方程为x2+(y- 3)2=3. |0- 3× 3+1| 因为圆心M到直线x- 3y+1=0的距离d= =1, 2 故圆M被直线x- 3y+1=0截得的线段长为2 ( 3)2-12=2 2.

第7练 1.1000[解析]因为a,b,c构成等差数列,根据分层抽样的原理,知甲、乙、丙三条生产线生产的产品数 也成等差数列,其和为3000件,所以乙生产线生产了1000件产品. 4 2.4x-3y-1=0[解析]依题意知直线l的斜率为 ,由点斜式方程得直线l的方程为4x-3y-1=0. 3 1 3. [解析]从0,1,2,3,4五张卡片中取出两张卡片的结果有5×5=25种,数字之和恰好等于4的结果有 5 1 (0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),所以数字之和恰好等于4的概率P= . 5 4.1[解析]圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2.圆心到直线xcosθ+ysinθ=2的距离d= =2=r,所以直线与圆相切,故公共点只有1个. 1 1 3 5. 13[解析]因为△ ABC的面积S= · AB· BC· sinB= ×1×BA× = 3,所以AB=4.由余弦定理得AC2= 2 2 2 π 1+16-2×1×4×cos =13,故AC= 13,即AC的长为 13. 3 6.[ 3,+∞)[解析]画出可行域如图阴影部分所示,指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象与D有公共点,当 指数函数y=ax过点(2, 3)时为边界, 即a2=3, 由指数函数性质知当a越大时函数y=ax越趋近于y轴, 故a≥ 3, 故实数a的取值范围是[ 3,+∞). 1 7.(1)因为f(x)=x2+lnx,所以f'(x)=2x+ . x 因为当x>1时,f'(x)>0,故f(x)在[1,e]上是增函数, 所以f(x)的最小值是f(1)=1,最大值是f(e)=1+e2. 1 2 (2)令F(x)=f(x)-g(x)= x2- x3+lnx, 2 3 2 x - 2 x3+1 x2- x3-x3+1 (1-x)(2x2+x+1) 1 所以F'(x)=x-2x2+ = = = . x x x x 因为当x>1时,F'(x)<0,且F'(1)=0,所以F(x)在区间[1,+∞)上是减函数. 1 2 1 所以,当x>1时,F(x)<F(1)= - =- <0,即f(x)<g(x). 2 3 6 所以,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方. 8.(1)每套丛书定价为100元时,销售量为15-0.1×100=5万套, 10 此时每套供货价格为30+ =32(元), 5 所以书商所获得的总利润为5×(100-32)=340万元. 答:当每套丛书售价定为100元时,书商能获得总利润为340万元. ?15-0.1x>0, (2)每套丛书售价定为x元时,由? 得0<x<150. ?x>0,
9 y
8 6 4 2 y=ax x-2y+6=0 (2,3) 2 x 4 2x+y-7=0

2 2 2 =3 sin θ+cos θ
2

O

(第6题)

10 100 100 依题意,单套丛书利润P=x-(30- )=x- -30=-[(150-x)+ ]+120. 15-0.1x 150-x 150-x 因为0<x<150,所以150-x>0,所以 100 100 (150-x)+ ≥2 (150-x)· =2×10=20, 150-x 150-x 100 当且仅当150-x= >0,即x=140时,等号成立. 150-x 所以,当x=140时,Pmax=-20+120=100. 答:每套丛书售价定为140元时,单套利润取得最大值最大值为100元. 9.(1)由已知可得函数f(x)的对称轴方程为x=3,顶点为(3,9). b 由f(0)=c=0,- =3,f(3)=9a+3b+c=9,得a=-1,b=6,c=0. 2a 所以f(x)=6x-x2,x∈[0,6]. 1 1 (2)S(t)= OA· AP= t(6t-t2),t∈(0,6), 2 2 32 3 S'(t)=6t- t = t(4-t), 2 2 当t变化时,S(t),S'(t)的变化情况如下表: t 4 [0,4) (4,6] S'(t) 0 + - S(t) ↗ ↘ 极大值 由上表可得t=4时,三角形面积取得最大值,且最大值为16. 第8练 1.48[解析]不超过4km的频率为(0.1+0.14)×2=0.48,故共计48人. 2 2. [解析]因为m, n, m+n成等差数列, 所以2n=(m+n)+m, 即n=2m, 所以在椭圆中, a= 2n, b= n, 2 c n 2 所以c= n,e= = = . a 2 2n 3.②④[解析]逐一判断即可. 4.f(-2)>f(a)>f(1.5)[解析]作出函数f(x)的图象,数形结合比较大小. 5.{a|-3<a<-2}[解析]由题意知,三个交点分别为(1,0),(x1,0),(x2,0),且0<x2<1<x1.由f(1)=0, 知b=-a-3,所以f(x)=x3+(a-1)x2+3x+b=(x-1)(x2+ax+a+3),故x2+ax+a+3=0的两个根分别在 ?g(0)>0, 区间(0,1),(1,+∞)内.令g(x)=x2+ax+a+3,则? 所以实数a的取值范围是{a|-3<a<-2}. ?g(1)<0, y y 6.[-4,+∞)[解析]当x>0,函数f(x)具有周期性. 2 4 6 若a=0,则y=f(x),y=2x的图象如图(1)所示.当x<0时, -4 O 2 4 6 x -4 x O 有一个交点;当x≥0时,有两个交点,共3个交点.将图 -4 (1)中y=f(x)的图象向下平移4个单位长度,如图(2)所示. 此时也为3个交点,故至多向下平移4个单位长度. 7.(1)如图,设PB的中点为F,连接EF,CF. 因为EF∥AB,DC∥AB, 1 所以EF∥DC,且EF=DC= AB. 2 故四边形CDEF为平行四边形,所以ED∥CF. 又ED? / 平面PBC,CF?平面PBC,所以DE∥平面PBC. (2)因为PD⊥底面ABCD,AB?平面ABCD,所以AB⊥PD.
10

(图1)

(第6题)

(图2)

(第7题)

又因为AB⊥AD,PD∩AD=D,AD?平面PAD,PD?平面PAD, 所以AB⊥平面PAD. 又ED?平面PAD,所以ED⊥AB. 又PD=AD,E为PA的中点,所以ED⊥PA. 又PA∩AB=A,PA?平面PAB,AB?平面PAB,所以ED⊥平面PAB. 8.由题知圆心C(m,0)(-1<m<1),则圆C的半径为r= 1-m2,从而圆C的方程为(x-m)2+y2=1-m2. x2 y2 所以,椭圆D的标准方程为 2 + 2=1. b +1 b x2 (2)当b=1时,椭圆D的方程为 +y2=1. 2 x2 x2 1 1 2 设椭圆D上任意一点S(x1,y1),则 +y2 = 1 ,即 y = 1 - . 1 1 2 2 x2 1 1 2 因为SC2=(x1-m)2+y2 = ( x - m ) + 1 - = (x -2m)2+1-m2≥1-m2=r2,所以SC≥r. 1 1 2 2 1 从而椭圆D上的任意一点都不在圆C的内部. 9.(1)因为当n=1时,a1+S1=a1+a1=2,所以a1=1. 因为Sn=2-an,即an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2. 所以an+1+Sn+1-(an+Sn)=0,即(an+1-an+(Sn+1-Sn)=0,即an+1-an+an+1=0,故有2an+1=an. an+1 1 因为an≠0,所以 = (n∈N*). an 2 1 1 n-1 所以数列{an}是首项a1=1,公比为 的等比数列,所以an=? ? (n∈N*). 2 ?2? n - 1 1 (2)因为bn+1=bn+an(n=1,2,3,…),所以bn+1-bn=? ? . ?2? 2 1 1 1 n-2 从而有b2-b1=1,b3-b2= ,b4-b3=? ? ,…,bn-bn-1=? ? (n=2,3,…). 2 ?2? ?2? 将这n-1个等式两边相加,得 1 n-1 1-? ? 2 n - 2 ? 2? 1 1 1 1 n-1 bn-b1=1+ +? ? +…+? ? = =2-2? ? . 2 ?2? 1 ?2? ?2? 1- 2 1 n-1 又因为b1=1,所以bn=3-2? ? (n∈N*). ?2? 第9练 2π 1.4[解析]ω= =4. π 2 10 1 或 10[解析]当焦点在x轴上时,渐近线方程可写为y=- x,于是可设a=3,b=1,则c= 10,所 3 3 10 以e= ;当焦点在y轴上时,渐近线方程可写为x=-3y,所以可设a=1,b=3,则c= 10,所以e= 10. 3 2. a5-a3 5-1 3.2[解析]a4+a6=10?2a5=10?a5=2;S5=5a3=5?a3=1,所以d= = = 2. 2 2 4.①②[解析]“?x∈R,x2-x+1≤1”的否定即“?x∈R,x2-x+1>1”,①是真命题;“若x2+x-6≥0,则x 1 π >2”的否命题即“若x2+x-6<0,则x≤2”,②是真命题;③中如A=179° ,sinA< ,故③错;④当φ= 时, 2 2

11

π f(x)=tan(x+ )= 2

π sin(x+ ) 2 cosx = 也是奇函数,故④错. π -sinx 2cos(x+ ) 2

5.②[解析]①错,当m?α时,则m⊥α为假命题;②对,当m∥α,m⊥β,则有m∥n,n?α且n⊥β,所以α⊥β; ③错,由α⊥β,α⊥γ,β与γ垂直没有传递性,则β⊥γ为假命题;④错,由α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n得α∥β 或者α与β相交. 55 6. [解析]考查等比数列的基本知识、导数的运算.已知各项为正的等比数列{an}满足a1a7=4,a6=8, 4 1 1 - 所以a1· a1q6=4,a1q5=8,解得a1= ,q=2,所以an=2n 3,又f'(x)=a1+2a2x+…+10a10x9,将x= 代入, 4 2 1 1 1 55 - 得nanxn 1= n,所以f'( )= ×(1+2+…+10)= . 4 2 4 4 7.(1)由条件,得AC=CD=1,AB=2. 1 →→ 因为 AB · AC =1,所以1×2×cos∠BAC=1,所以cos∠BAC= . 2 π 因为∠BAC∈(0,π),所以∠BAC= . 3 1 2 2 2 所以BC =AB +AC -2AB· ACcos∠BAC=4+1-2×2× =3,所以BC= 3. 2 π (2)由(1)得BC2+AC2=AB2,所以∠ACB= , 2 π 3 所以sin∠BCD=sin( +∠ACD)=cos∠ACD= . 2 5 4 因为∠ACD∈(0,π),所以sin∠ACD= . 5 1 4 2 所以S△ ACD= ×1×1× = . 2 5 5 3 2 所以S四边形ABCD=S△ ABC+S△ ACD= + . 2 5 3 4 2 5 (3)在△ ACD中,AD2=AC2+DC2-2AC· DC· cos∠ACD=1+1-2×1×1× = ,所以AD= . 5 5 5 AD AC 因为 = , sin∠ACD sinD AC 1 4 2 5 所以sinD= sin∠ACD= × = . AD 5 2 5 5 5 4800-x2 8.(1)由题意得x2+4xy=4800,即y= ,0<x<60. 4x 4800-x2 1 (2)铁皮盒体积V(x)=x2y=x2· =- x3+1200x(0<x<60), 4x 4 3 2 V'(x)=- x +1200,令V'(x)=0,得x=40. 4 当x变化时,V'(x),V(x)的变化情况如下表: x 40 (0,40) (40,60) V'(x) 0 + - V(x) ↗ ↘ 极大值32000 1 3 所以V(x)=- x +1200x在x=40时取得极大值,也是最大值,其值为32000cm3. 4 所以该铁皮盒体积V的最大值是32000cm3. 9.(1)设AC∩BD=O,连接FO.
12

因为四边形ABCD是正方形,所以O是BD的中点. ∥EF, 因为BD=2EF,所以DO = 所以四边形DOFE是平行四边形,所以DE∥OF. 因为DE? / 平面ACF,OF?平面AFC,所以DE∥平面ACF. (2)因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC. 因为平面ABCD⊥平面BDEF,平面ABCD∩平面BDEF=BD,所以AC⊥平面BDEF. 因为BE?平面BDEF,所以BE⊥AC. 1 因为BF= BD,所以BF=BO. 2 又因为BF⊥BD,所以四边形BOEF是正方形,所以BE⊥OF. 因为OF∩AC=O,OF?平面ACF,AC?平面ACF,所以BE⊥平面ACF.

第10练 1 1. [解析]是考查从4000人中取出80人的概率,那么不管是是小学生、初中生还是高中生,被抽到的概率 50 80 1 均为P= = . 4000 50 2.34[解析]流程图执行过程如下:I=2,a=1+2=3,b=3+2=5;I=4,a=3+5=8,b=8+5=13;I =6,a=8+13=21,b=21+13=34;I=8,当I=8时,b=34,退出循环. 10 2 [解析]考查三角函数定义、图象、性质及两角和公式.由角φ的终边过点P(1,-2)知sinφ=- , 10 5 1 π 2π cosφ= ,由函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象相邻对称轴之间的距离为 ,知函数的周期为 ,从而知ω= 3 3 5 π π 2 10 3,所以f( )=sin( +φ)= (sinφ+cosφ)=- . 12 4 2 10 3.- 1 1 BC BCsinC 2 2 3+1 BC AB ABsinA ABsin75? AD 4. [解析]由 = ,得BC= = · = ,得AD= =BC· sinC.所 2 sinA sinC sinC sinC sinC sin∠CAD sin30? 以AD=AB· sin75° =


3+1 . 2
→ →

5. ±1[解析]因为 OM = OA +,OB 则四边形OAMB是锐角为60° 的菱形, 此时, 点O到AB距离为1. 由 =1,得k=±1.

2 1+k2

21-5 1 1 =4, 从而首项a1=1, 通项an=4n-3, 数列{ }的前n项和为Sn=1+ +… 4 an 5 1 1 1 1 m 1 1 1 + ,原不等式可化为 + +…+ ≤ .记f(n)= + +… + .因为f(n+ 4n-3 4n+1 4n+5 8n+1 15 4n+1 4n+5 8n+1 1 1 1 1 14 m 14 14 1)-f(n)= - <0, 故f(n)为单调递减数列, 从而f(n)max=f(1)= + = , 由条件得 ≥ , m≥ , 5 9 45 15 45 3 8n+9 4n+1 所以正整数m的最小值为5. 6. 5[解析]由条件得公差d= 7.(1)方法一:连接AC.因为四边形ABCD为矩形,所以AC过点O,且O为AC的中点. 又因为点E为PC的中点,所以EO∥PA. 因为PA?平面PAD,EO? / 平面PAD,所以EO∥平面PAD. 方法二:取DC中点F,连接EF,OF. 因为点E,O分别为PC和BD的中点,所以EF∥PD,OF∥BC. 在矩形ABCD中,AD∥BC,所以OF∥AD. 因为OF? / 平面PAD,AD?平面PAD,所以OF∥平面PAD.
13

同理 EF∥平面PAD. 因为OF∩EF=F,OF,EF?平面EOF,所以平面EOF∥平面PAD. 因为EO?平面OEF,所以EO∥平面PAD. 方法三:分别取PD,AD中点M,N,连接EM,ON,MN. 1 1 ∥ CD,ON ∥ AB. 因为点E,O分别为PC和BD的中点,所以EM = =2 2 在矩形ABCD中,AB∥CD,所以EM∥ON. 所以四边形EMNO是平行四边形.所以EO∥MN. 因为MN?平面PAD,EO? / 平面PAD,所以EO∥平面PAD. (2)方法一:因为四边形ABCD为矩形,所以CD⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD?平面ABCD,所以CD⊥平面PAD. 又因为CD?平面PDC,所以平面PDC⊥平面PAD. 方法二:在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F. 因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PF⊥平面ABCD. 因为CD?平面ABCD,所以PF⊥CD. 因为四边形ABCD为矩形,所以CD⊥AD. 因为PF∩AD=F,所以CD⊥平面PAD. 又因为CD?平面PDC,所以平面PDC⊥平面PAD. 8.(1)由a1=1,a4=a1q3=27,得a1=1,q=3,所以an=3n 1. 5×4 由b1=3,b5=5b1+ d=35,得b1=3,d=2,所以bn=2n+1. 2 - - (2)Tn=3×1+5×3+…+(2n-1)×3n 2+(2n+1)×3n 1①, 2 n-1 n 3Tn=3×3+5×3 +…+(2n-1)×3 +(2n+1)×3 ②, - 由①-②,得-2Tn=3+2×(3+32+…+3n 1)-(2n+1)×3n, n 整理得:Tn=n· 3.


|3×0+4×0-5| 9.(1)方法一:圆心O到直线l1的距离d= =1,圆O的半径r=2, 32+42 所以半弦长为 22-1= 3. 故直线l1被圆O所截得的弦长为2 3. 3-4 3 , x= , 5 或 3 4+3 3 y= . 5 3+4 3 4-3 3 3-4 3 4+3 3 直线l1与圆O的交点是( , ),( , ). 5 5 5 5
?3x+4y-5=0, 方法二:解方程组? 2 2 得 ?x +y =4

4 ?x=3+5 ? 4-3 ?y= 5

3

? ? ?

3+4 3 3-4 3 2 4-3 3 4+3 3 2 ( - ) +( - ) =2 3. 5 5 5 5 (2)因为过点(-1,2)的直线l2与l1垂直,直线l1的方程为3x+4y-5=0, 所以直线l2的方程为:4x-3y+10=0. 设圆心M的坐标为(a,b),圆M的半径为R,则a-2b=0.① 因为圆M与直线l2相切,并且圆M被直线l1分成两段圆弧,其弧长比为2∶1, |4a-3b+10| |3a+4b-5| 1 |4a-3b+10| |3a+4b-5| 所以 =R, = R,所以 =2× . 5 5 2 5 5 可得4a-3b+10=2×(3a+4b-5)或4a-3b+10=-2×(3a+4b-5), 即2a+11b-20=0,②或2a+b=0.③ 8 4 10 8 4 100 由①②联立,可解得a= ,b= ,从而R= .故所求圆M的方程为(x- )2+(y― )2= . 3 3 3 3 3 9 2 2 由①③联立,可解得a=0,b=0,从而R=2.故所求圆M的方程为x +y =4. 8 4 100 综上,所求圆M的方程为(x- )2+(y― )2= 或x2+y2=4. 3 3 9 故直线l1被圆O所截得的弦长为

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