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广东省2012届高三全真模拟卷数学理14.

广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 14
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1 1、函数 y ? lg(1 ? x) 的定义域为 A,函数 y ? ( ) x 的值域为 B,则 A ? B ? ( 3 1 A . (0,1) B. ( ,1) C. ? D. R 3



2、 复数

i

3

1? i
1 2

的模等于(



A .

B.

2 2

C.
?

2

D.

3.若函数y ? f (x) 的图象和 y ? sin(x ? ( ) A. cos( x ?

? ) 的图象关于点 P( , 0) 对称则 f (x) 的表达式是 4 4

?
4

)

B. ? cos( x ?

?
4

)

C. ? cos( x ?

?
4

)

D. cos( x ?

?
4

)

4、在实数数列 ?a n ? 中, 已知 a1 ? 0 ,| a 2 |?| a1 ? 1 | ,| a3 |?| a 2 ? 1 | ,…,| a n |?| a n ?1 ? 1 | , 则 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 的最大值为( A. 0 B.
2

) C. 2 D. 4 ) .

5.设随机变量 X ~ N(2,8 ) ,且 P{2<x <4 } =0.3,则 P{x <0=( A.0.8 B.0.2 C.0.5

D.0.4 )

6.已知关于 x 的不等式 | x ? 2 | ?3 ? x ? m 的解集为非空集合,则实数 m 的取值范围是( A. m ? 1 B. m ? 1
x a
2 2

C. m ? 1
y b
2 2

D. m ? 1
? ? 2

7. 已知 F1 、F2 是椭圆 C :

?

? 1 的左右焦点,P 是 C 上一点, | PF1 | ? | PF2 |? 4b , 3

则 C 的离心率的取值范围是(
1 A. (0, ] 2


3 2 ]

B. (0,

C. [

3 2

,1)

1 D. [ ,1) 2

8.以下三个命题:

①关于 x 的不等式

1 x

? 1 的解为 (??,1] 3? 4

②曲线 y ? 2 sin 2 x 与直线 x ? 0 , ? x

及 x 轴围成的图形面积为 s1 , 曲线 y ?

1

?

4? x

2

与直线 x ? 0 , x ? 2 及 x 轴围成的图形面积为 s2 ,则 s1 ? s2 ? 2 ③直线 x ? 3 y ? 0 总在函数 y ? ln x 图像的上方 其中真命题的个数是( A. 0 B. ) C. 2 D. 3

第二部分 非选择题(共 110 分)
二、填空题: 本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9、如右图程序框图,输出 s= (用数值作答) 10、一个几何体的三视图如右图所示, 这个几何体的体积为
1 1 1.5



4

正视图

侧视图

1 俯视图

第10题

11、把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动

个单位长度,再把所得图 12 象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 12. ( 3 x ?
1 x
15 ) 二项展开式中,第__________项是常数项.

?

?(3 ? a ) x ? 3 13、已知函数 f ( x) ? ? x ?6 ?a

(x ? 6) (x>6)

an ? f (n), n ? N ,?an ? 是递增数列,则实数
?

a 的取值范围是

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.《几何证明选讲》选做题) ( 如图,⊙ O 和⊙ O' 都经过点 A 和点 B, PQ 切⊙ O 于点 P,交⊙ O' 于 Q、M,交 AB 的延长线于 N, NM ? 1 , MQ ? 3 ,则 PN ? 15.《坐标系与参数方程》选做题) ( 极坐标系下,圆 ? ? 2 cos(? ?
O' M

A

O B N

Q

P

?
2

) 上的点与直线 ? sin(? ?

?
4

)?

2 上的点的最大距离是

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) ?? ? ?? ? ? 2 已知向量 a ? (cos ? , sin ? ) , b ? (cos ? , sin ? ) , 且 | a ? b |? 5.
5

(I)求 cos(? ? ? ) 的值;?
5 (II)若 ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ,且 sin ? ? ? ,求 sin ? 的值. 13 2 2

17. (本小题满分 12 分) 现有一游戏装置如图,小球从最上方入口处投入,每次遇到黑色障碍物,等 可能地向左,右两边落下。 游戏规则为:若小球最终落入 A 槽,得 10 张奖票;若落入 B 槽,得 5 张奖 票;若落入 C 槽,得重投一次的机会,但投球的总次数不超过 3 次。 (1) 求投球一次,小球落入 B 槽的概率; (2) 设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列及数学期 望。

18. (本小题满分 14 分) 如图所示,在矩形 ABCD 中, AB ? 4, AD ? 2, E是CD 的中点,O 为 AE 的中点,以 AE 为折痕将△ADE 向上折起,使 D 到 P 点位置,且 PC ? PB . (Ⅰ)求证: PO ? 面ABCE ; (Ⅱ)求二面角 E-AP-B 的余弦值.

19. (本小题满分 14 分) 某旅游用品商店经销某种深圳大运会记念品, 每件产品的成本为 3 元, 并且每件产品需 向税务部门上交 a 元( 3 ? a ? 6 )的税收,预计当每件产品的售价为 x 元( 11 ? x ? 16 ) 时,一年的销售量为 (18 ? x) 万件. (Ⅰ)求该商店一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,该商店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q (a ) .
2

20. (本小题满分 14 分) 如图,弧 ADB 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心, 且 OD ? AB ,Q 为线段 OD 的中点,已知|AB|=4,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点 B 的直线与曲线 C 交于 M、N 两点,与 OD 所在直线交于 E 点,若 ???? ? ???? ??? ? ??? ? EM ? ?1 MB, EN ? ?2 NB, 求证 : ?1 ? ?2 为定值。 21. (本小题满分 14 分)
2 (Ⅰ)设数列{ an }满足 a1 ? 1, an ?1 ? an ? 5, n ? 1,2,3,?, 证明对所有的 n ? 1 ,有

(i) an ?1 ? 4an ? 1 ; (ii)
1 1 ? 3a1 ? 1 1 ? 3a2 ??? 1 1 ? 3an ? 1 3

.

2 (Ⅱ)设数列{ an }满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 5, n ? 1,2,3, ?.

证明对所有的 n ? 2011 ,有 an ? 2011 ? a

2

n ? 2011

.

参考答案
1.A 2. B 3. B 9. 91 ; 4. C 5、B 6.C 7. D 8. A 1 ? 10. 9 ; 11. y ? sin( x ? ) ; 2 12 15.
3 2 2 ?1
15 13. ( , 3) ; 7

12. 7;

14. 2 ;

?2 ? ? ?2 4 ? ? 2 16.解: (I)∵ | a ? b |? b 5 ,∴ a ? 2a ? ? b ? , 5 5 ?? ? ?? 又 a ? (cos ? , sin ? ) , b ? (cos ? , sin ? ) ,? ? 2 ?2 ∴ a ? b ? 1, 4 ∴ 1 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 1 ? 5 2 ∴ 2 ? 2 cos(? ? ? ) ? 5 3 ∴ cos(? ? ? ) ? 5

…3 分

…6 分
3 5

(II)∵ ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ,∴ 0 ? ? ? ? ? ? ,又由(1)得 cos(? ? ? ) ?
2 2

, …9 分

∴ sin(? ? ? ) ?

4 5

又 sin ? ? ?

5 13

,?? ? ? ? 0
2

∴ cos ? ?

12 13
5
? 12 13 ? 3 5 ? (?

∴ sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ? 4

5 13

)?

33 65

…12 分
1 1 1 17. 解: (1)由题意可知投一次小球,落入 B 槽的概率为 ( ) 2 ? ( ) 2 ? ……………3 分 2 2 2 1 1 1 1 1 (2)落入 A 槽的概率为 ( ) 2 ? ,落入 B 槽的概率为 ,落入 C 槽的概率为 ( ) 2 ? 2 4 2 2 4 …4 分

? 可取 0,5,10……………5 分
1 ?1? ,……6 分 p (? ? 0) ? ? ? ? 64 ?4? 1
2 3

p (? ? 5) ?

1 2

?

1 1 1 ?1? 21 ,……8 分 ? ? ?? ? ? 2 4 2 ?4? 32

2

1 1 1 ?1? 21 ……10 分 p (? ? 10) ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 4 4 ?4? 64

?

0

5

10

p

1 21 64 105

21 32

21 64

? 64 32 64 16 18. 解: (1) PA ? PE , OA ? OE ? PO ? AE ……1 分

E? ? 0 ?

1

? 5?

21

? 10 ?

……12 分

取 BC 的中点 F, OF, ∴OF∥AB, 连 PF, ∴OF⊥BC 因为 PB=PC ∴BC⊥PF, 所以 BC⊥面 POF …3 分 从而 BC⊥PO …………5 分, 又 BC 与 PO 相交,可得 PO⊥面 ABCE………7 分 (2)作 OG∥BC 交 AB 于 G,∴OG⊥OF 如图,建立直角坐 标系 [O; OG,OF , OP], A(1,-1,0) ,B(1,3,0) ,C (-1,3,0) ,P(0,0, 2 )
???? ??? ? ??? ? AC ? (?2, 4, 0), AP ? (?1,1, 2), AB ? (0, 4, 0) …9 分 ???? ? ??? ???? ?

设平面 PAB 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ),
? ??? ? ? n ? AP ? ? x ? y ? ? ? ? ? ??? ? n ? AB ? 4 y ? 0 ? 2z ? 0

?

? ? n1 ? ( 2, 0,1) ?

同理平面 PAE 的法向量为 n 2 ? (1,1, 0), ……………………12 分
n1 ? n2 | n1 | ? | n2 | 3 3

cos ? E ? AP ? B ? ?

?

二面角 E-AP-B 的余弦值为

3 3

…………………14 分

19. 解: (Ⅰ) 商店一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为:L ? ( x ? 3 ? a )(18 ? x) , ………4 分 x ? [11, 16] .(无定义域扣 1 分)
2

(Ⅱ) L ? ( x ? 3 ? a )(18 ? x) = x(18 ? x) ? (3 ? a )(18 ? x)
2 2 2

2

L?( x) ? (18 ? x) ? 2 x(18 ? x) ? 2(3 ? a )(18 ? x) = (18 ? x)(24 ? 2a ? 3 x) .

令 L? ? 0 得 x ? 8 ?

2 3

a 或 x ? 18 (不合题意,舍去). 2 3 a ? 12 .在 x ? 8 ? 2 a 两侧 L ?(x) 的值由正变负.

………6 分

∵ 3 ? a ? 6 ,∴ 10 ? 8 ? 所 以 ( 1) 当 10 ? 8 ?
2 3

a ? 11 , 即 3 ? a ?

3 9
2

时 , Lmax ? L(11) ? 49(8 ? a ) ? 49(8 ? a ) .

(2)当 11 ? 8 ?

2 3

a ? 12 即

9 2

? a ? 6 时,

2 2 2 2 1 3 Lmax ? L(8 ? a) ? (8 ? a ? 3 ? a)[18 ? (8 ? a)] ? 4(5 ? a) , 3 3 3 3 9 ? 3? a ? ? 49(8 ? a ), ? 2 所以 Q (a ) ? ? . ………13 1 3 9 ? 4(5 ? a ) , ?a?6 ? 3 2 ? 分 9 答 : 若 3 ? a ? , 则 当 每 件 售 价 为 11 元 时 , 商 店 一 年 的 利 润 L 最 大 , 最 大 值 2 9 2 Q (a ) ? 49(8 ? a ) (万元);若 ? a ? 6 ,则当每件售价为 (8 ? a ) 元时,商店一年的利润 2 3 1 3 L 最大,最大值 Q (a ) ? 4(5 ? a ) (万元). ……14 3 分

20. 解: (Ⅰ)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴, O 为原点,建立平面直角坐标系, ∵动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. 且点 Q 在曲线 C 上, ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 2 2 ? 12 ? 2 5 >|AB|=4. ∴曲线 C 是为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆 设其长半轴为 a, 短半轴为 b, 半焦距为 c, 则 2a=2 5 , ∴a= 5 , c=2, b=1. ∴曲线 C 的方程为
x
2

………………………3 分

+y =1

2

…………………………………………6 分

5

证明: (Ⅱ)设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) , 又易知 B 点的坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内, 故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交.

???? ? ???? ∵ EM ? ?1 MB , ∴ ( x1 , y1 ? y0 ) ? ?1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) .
∴ x1 ?
2?1 1 ? ?1

, y1 ?

y0 1 ? ?1



…………………………………………8 分

y0 2 1 2?1 2 ) ?( ) ? 1, 将 M 点坐标代入到椭圆方程中得: ( 5 1 ? ?1 1 ? ?1

去分母整理,得 ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y 0 ? 0 . ………………………………………10 分
2 2

??? ? ??? ? 2 2 同理,由 EN ? ?2 NB 可得: ? 2 ? 10? 2 ? 5 ? 5 y 0 ? 0 . ………………………12 分
∴ ?1 , ? 2 是方程 x ? 10 x ? 5 ? 5 y 0 ? 0 的两个根, ∴ ?1 ? ? 2 ? ?10 .………14 分
2 2

21. 证明: (Ⅰ)由数学归纳法知, an ? 0 ,
? an ?1 ? an ? 5 ? an ? 4 ? 1 ? 2 an ? 1 ,? an ?1 ? 4an ? 1
2 2 2 2 2 对 k ? 2 ,有 ak ? ak ?1 ? 5 ? ak ?1 ? 4 ? 1 ? 4ak ?1 ? 1 ? 4(4ak ? 2 ? 1) ? 1 ? ??

……2 分

? ak ? 4

k ?1

a1 ? 4

k ?2

??? 4 ?1 ?

4 ?1
k



3

?

1 1 ? 3ak

?

1 4
k



……5 分

对所有的 n ? 1 ,有

1 1 ? 3an 1

?

1 4
n

?

1 1 ? 3a1
1 1 ? 3a1

?

1 1 ? 3a2
1 1 ? 3a2

???

1 ? 3an
1 1 ? 3an

?

1 4
1 3

?

1 4
2

? ?? ?

1 4
n

?

1 3

(1 ?

1 4
n

)?

1 3



?

?

???

?

.

……8 分

(Ⅱ)欲证 an ? 2011 ? a
2

2

n ? 2011

2 (n ? 2011) ,只需证 an ? 2011 ? an (n ? 2011) ,

? an ?1 ? an ? 5, n ? 1,2,3,?, ? an ? 2011 ? an ? 2010 ? 5,
2

an ? 2010 ? an ? 2009 ? 5,
2

an ? 2009 ? an ? 2008 ? 5,
2

??
an ?1 ? an ? 5,
2

? an ? 2011 ? a2010 ? ? ? an ?1 ? an ? 2010 ? an ? 2009 ? ? ? an ?1 ? an ? 5 ? 2011,
2 2 2 2

1 1 1 2 2 2 ? an ? 2011 ? ( an ? 2010 ? aN ? 2010 ? ) ? ( an ? 2009 ? an ? 2009 ? ) ? ? ? ( an ?1 ? an ?1 ? ) 4 4 4 1 2 ? ? 2010 ? an ? 5 ? 2011, 4
2010

? an ? 2011 ?

? (a
i ?1

n?i

1 2 1 2 2 ? ) ? (5 ? 2011 ? ? 2010) ? an ? an , 2 4

故 an ? 2011 ? a

2

n ? 2011

(n ? 2011) .

……14 分


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