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双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线方程及性质的应用


第2课时 双曲线方程 及性质的应用

双 曲 线

性 质

图象

范围

对称 性

顶点

渐近 线

离心 率

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? 0, b ? 0 ) y x ? 2 ?1 2 a b ( a ? 0, b ? 0 )
2 2

y

x?a
x

x ? ?a
y?a




b 关于 ( ? a ,0 ) y ? ? x a e? c 坐标
轴和 原点 都对 称

y x

y ? ?a

a c2 = a 2 + b2 ) ( 0,? a ) y ? ? x b

(其 中

a

1.了解双曲线的几何性质,并会应用于实际问

题之中.(重点)
2.会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质

及图形四者之间的内在联系,分析和解决实
际问题.(重点、难点)

探究点1

由双曲线的性质求双曲线方程

【例1】双曲线型冷却塔的外形 , 是双曲线的一部分绕 其 虚轴旋转所成的曲面 (如图),它的最小半 径 为 12 m, 上 口半径为 13 m , 下口半径为25m, 高为55m.试选择适当的坐 标系 , 求出此双曲线的方程 (精确到 1 m ) .

y

解: 如图 , 在冷却塔的轴截面所在的 平面上建立直角坐标系 xOy, 使小圆的直 径AA?在x轴上,圆心与原点重合.

C?
A? O

13
12

C A

x

这时 , 上、下口的直径 CC?, BB ? 都平行 ? 25 B B 于 x 轴 , 且 | CC? |? 13 ? 2,| BB ? |? 25 ? 2. x2 y 2 设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? , 令点 C的 a b 坐标为(13, y ),则点 B 的坐标为(25, y ? 55) .

因 为 点 B, C 在 双 曲 线 上 , 所 以

? 252 ? y ? 55 ? 2 ? 2? ? 1, 2 ? 12 b ? 2 2 ? 13 y ? 2 ?1. 2 ? ? 12 b 5b 由方程 ? 2 ? , 得 y ? 负值舍去 ? , ? 12 代入方程(1),得
2

(1) (2)

? 5b ? ? 55 ? ? 2 25 ? 12 ? ? ? 1, 2 2 12 b 化简得19b 2 ? 275b ? 18 150 ? 0.

(3)

用 计 算 器 解 方 程 ( 3) , 得 b ? 25 . x2 y2 所以, 所求双曲线的方程为 ? ? 1. 144 625 【提升总结】
已知双曲线的几何性质,求其标准方程的方法步骤: (1)确定焦点所在的位置,以确定双曲线方程的形式;

(2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数
a ,b ,c ;

(3)写出标准方程.

【例2】点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定 5 16 直线 l : x ? 的距离的比是常数 ,求点M的轨迹. 4 5 y l 解:设 d是点M到直线 l的距离,根 d.
H
M

据题意,所求轨迹就是集合
? | MF | P ? ?M ? d ?
由此得
2

5? ?, 4?

O

.

F

x

16 9 所以点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 8, 6的双曲线 .

9 x ? 16 y ? 144 .
2

(x ? 5) 2 ? y 2 5 ? . 将上式两边平方,并化简,得 16 4 | ?x| 5 x2 y 2



?

? 1.

【提升总结】 双曲线中应注意的几个问题: (1)双曲线是两支曲线,而椭圆是一条封闭的曲线; (2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特 有的; (3)双曲线只有两个顶点,离心率e>1; (4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线,其离心率 为 2 ,实轴长与虚轴长相等,两条渐近线互相垂直; (5)注意双曲线中a,b,c,e的等量关系与椭圆中a, b,c,e的等量关系不同.

探究点2 直线与双曲线的位置关系
y

O

x

种类:相离,相切,相交(一个交点,两个交点)

【提升总结】 直线与双曲线的位置关系: 通法 1.位置关系:相交、相切、相离. 2.判别方法(代数法) 联立直线与双曲线的方程,消元得到一元二次方程 (当二次项系数不为0时) (1)△>0?直线与双曲线相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与双曲线相切?有且只有一个 公共点; (3)△<0 ?直线与双曲线相离?无公共点.

x y 【例3】如图,过双曲线 ? ? 1的右焦点F2 , 倾斜角 3 6 为30?的直线交双曲线于A, B两点,求 AB . y
解:由双曲线的方程得,两焦点

2

2

分别为F1(-3,0),F2(3,0). 因为直线AB的倾斜角是30°,
且直线经过右焦点F2,所以,直

F1

·
A

O

x F 2 B

·

线AB的方程为

3 y? (x ? 3). 3

(1)

? 3 y? (x ? 3), ? ? 3 由 ? 2 2 x y ? ? ? 1 , ? 6 ? 3 消去y,得5x 2 ? 6x ? 27 ? 0.
9 解这个方程,得x1 ? ?3, x 2 ? . 5

2 3 将 x1 , x 2的值代入(1),得 y 1 ? ? 2 3 , y 2 ? ? . 5 9 2 3 于是, A, B 两点的坐标分别为( ? 3, ? 2 3 ), ( , ? ). 5 5

所以, AB ? (x1 ? x 2 ) 2 ? (y 1 ? y 2 ) 2
9 2 2 3 2 ? ( ?3 ? ) ? ( ?2 3 ? ) 5 5 16 ? 3. 5

【提升总结】

算一算, 看结果一 样吗?

这里我们也可以利用弦长公式求解. 弦长公式: AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2

? 1 ? k ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2 2

或 AB ?

1 1? 2 k

?

( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2

【变式练习】
你能求出Δ AF1B的周长吗?
解析:因为F1的坐标是(-3,0),所以
AF1 ? ( ?3 ? 3)2 ? ( ?2 3 )2 ? 2 3; 9 2 3 2 14 2 BF1 ? ( ? 3) ? ( ? ) ? 3. 5 5 5

16 又 AB = 3,所以 5 ΔAF1B的周长是 AB + AF1 + BF1 = 8 3.

1.(2012·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,
x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则m的 若双曲线 m m ?4

值为

2 .

2.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,点 F1是双曲线的另一个焦点,若∠PF1Q=90°,则双曲
2 ?1 . 线的离心率等于________

x2 y2 3.经过点 M(2 6,-2 6)且与双曲线 4 - 3 =1 有相同渐 近线的双曲线方程是 x2 y2 A. 6 - 8 =1 y2 x2 C. - =1 6 8 ( C ) y2 x2 B. 8 - 6 =1 x2 y2 D. - =1 8 6

4.求一条渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点是(4,0)
的双曲线的标准方程. 解析:因为双曲线的一条渐近线方程为3x+4y=0,
x y 所以设双曲线的方程为 - =λ, 16 9 16 由题意知λ>0,所以 16λ+9λ=16,所以λ= . 25 x2 y2 所以所求的双曲线的标准方程为 - =1. 256 144 25 25
2 2

1.双曲线的简单几何性质,利用性质求方程,综合 解决与性质相关的问题; 2.掌握直线与双曲线的位置关系及弦长公式.

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