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浦东新区2015年高三数学理科二模试卷


上海市浦东新区 2014 学年第二学期高三教学质量检测 数学试卷(理科)
注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分) ;考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.不等式 3 ? 2 的解为
x

x?log 3 2 .
3 .

2.设 i 是虚数单位,复数 (a ? 3i)(1 ? i) 是实数,则实数 a ? 3.已知一个关于 x , y 的二元一次方程组的增广矩阵为 ?

? 1 ?1 2 ? ? ,则 x ? y ? ?0 1 2?
2n
.

2 .

4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? n ,则该数列的通项公式 an ?
n

1? ? 2 5.已知 ? x 2 ? ? 展开式中二项式系数之和为 1024,则含 x 项的系数为 210 . x? ?
6.已知直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与圆 ?x ? 1? ? y 2 ? r 2 相切,则该圆的半径大小为 1
2

.

7.在极坐标系中,已知圆 ? ? 2r sin ? ( r ? 0 )上的任意一点 M ( ? , ? ) 与点 N ( 2 , ? ) 之间 的最小距离为 1,则 r ?

3 2

.
2

8. 若对任意 x ? R , 不等式 sin 2 x ? 2 sin x ? m ? 0 恒成立, 则 m 的取值范围是 (1 ? 2 ,??) . 9.已知球的表面积为 64 ? cm ,用一个平面截球,使截面圆的半径为 2 cm ,则截面与球心
2

的距离是

2 3

cm .
1 , 3

10.已知随机变量 ? 分别取 1、2 和 3,其中概率 p(? ? 1) 与 p(? ? 3) 相等,且方差 D? ? 则概率 p(? ? 2) 的值为

2 3

.

— 1 —

11 .若函数 f ( x) ? x 2 ? x 3 ? 4 的零点 m ? ? a, a ? 1? , a 为整数.则所有满足条件 a 的值为 1 或

2

?2.
12.若正项数列 ?an ? 是以 q 为公比的等比数列,已知该数列的每一项 ak 的值都大于从 ak ?2 开 始的各项和,则公比 q 的取值范围是

(0,

5 ?1 ) 2

.

13.等比数列 ?an ? 的首项 a1 ,公比 q 是关于 x 的方程 (t ?1) x2 ? 2 x ? (2t ?1) ? 0 的实数解, 若数列 ?an ? 有且只有一个,则实数 t 的取值集合为 ?0, ,1, ? . 14. 给定函数 f ( x ) 和 g ( x) , 若存在实常数 k , b , 使得函数 f ( x ) 和 g ( x) 对其公共定义域 D 上 的任何实数 x 分别满足 f ( x) ? kx ? b 和 g ( x) ? kx ? b , 则称直线 l : y ? kx ? b 为函数 f ( x ) 和

? 1 ? 2

3? 2?

g ( x) 的“隔离直线”. 给出下列四组函数;
1 ? 1, g ( x) ? sin x ; 2x 1 ③ f ( x) ? x ? , g ( x) ? lg x ; x
① f ( x) ? ② f ( x) ? x , g ( x) ? ?
3

1 ; x

④ f ( x) ? 2 ?
x

1 , g ( x) ? x 2
.

其中函数 f ( x ) 和 g ( x) 存在“隔离直线”的序号是 ①③④

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) ; 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选 项是正确的,考生应在答题纸相应位置上,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 a , b 都是实数,那么“ 0 ? a ? b ”是“

1 1 ? ”的 a b

( A )

( A) 充分不必要条件 (C ) 充分必要条件

( B ) 必要不充分条件 ( D) 既不充分也不必要条件

16.平面 ? 上存在不同的三点到平面 ? 的距离相等且不为零,则平面 ? 与平面 ? 的位置关 系为 ( D ) ( A) 平行 ( B ) 相交 (C ) 平行或重合 ( D) 平行或相交

— 2 —

17.若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 3 没有公共点,设点 P 的坐标 ( a, b) ,则过点 P 的一

x2 y 2 ? ? 1 的公共点的个数为 条直线与椭圆 4 3
( A) 0 ( B) 1 (C ) 2 ( D) 1 或 2

( C )

18.如图,若正方体 PP 1 2P 3P 4 ?Q 1Q2Q3Q4 的棱长为 1, 设x ? P ( i, j ?{1,2,3,4} ) , Si ,Tj ?{P 1Q1 ? SiT j , i , Qj } , 对于下列命题: P1 P4 P2 P3

x ?1; ①当 SiT j ? PQ i i 时,
②当 x ? 0 时, ? i, j ? 有 12 种不同取值; ③当 x ? ?1 时, ? i, j ? 有 16 种不同的取值; ④ x 的值仅为 ?1, 0,1 . 其中正确的命题是 Q1 Q4 Q2 ( C ) Q3

( A) ①②

( B ) ①④

(C ) ①③④

( D) ①②③④

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) ;解答下列各题必须在答题纸的相应位置上,写 出必要的步骤. 19. (本题共有 2 个小题,满分 12 分) ;第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分.

a , ( x ? 0), a 为实数. x (1)当 a ? ?1 时,判断函数 y ? f ( x) 在 ?1, ?? ? 上的单调性,并加以证明; (2)根据实数 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的最小值. 1 解: (1)由条件: f ( x) ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.??????????2 分 x 任取 x1, x2 ? ?1, ??? 且 x1 ? x2
已知函数 f ( x) ? x ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

1 1 1 ? x2 ? ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) ????????4 分 x1 x2 x1 x2 1 ?0 x2 ? x1 ? 1,? x1 ? x2 ? 0,1 ? x1 x2

— 3 —

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 结论成立 ????????????????6 分 (2)当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的最小值不存在; ?????????????7 分 当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的最小值为 0;???????????????9 分 a 当 a ? 0 时, y ? f ( x) ? x ? ? 2 a ,当且仅当 x ? a 时, x y ? f ( x) 的最小值为 2 a ;??????????????????12 分
20. (本题共有 2 个小题,满分 14 分) ;共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满 分 7 分. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面正方形 ABCD 的 边长为 2 , PA ? 底面 ABCD , E 为 BC 的中点, PC 与 平面 PAD 所成的角为 arctan

P

2 . 2

(1) 求异面直线 AE 与 PD 所成角的大小(结果用反 三角函数表示) ; (2)求点 B 到平面 PCD 的距离. 解:方法1,(1)因为底面 ABCD 为边长为 2 的正方形,

A B C

D

? ? PA ? 底面 ABCD , 则 CD ? PA ? ? CD ? 平面 PAD , AD ? PA ? A? ?
所以 ?CPD 就是 CP 与平面 PAD 所成的角.?????????????????2 分 在 Rt ?CDP 中,由 tan?CPD ?

CD ? AD

CD 2 ,得 PD ? 2 2 ,??????????3 分 ? PD 2

在 Rt ?PAD 中, PA ? 2 .分别取 AD 、 PA 的中点 M 、 N ,联结 MC 、 NC 、 MN , 则 ?NMC 异面直线 AE 与 PD 所成角或补角. ?????4 分 在 ?MNC 中, MN ?

? 2? ? ? 5? 理得, cos ?NMC ?
2

2 , MC ? 5 , NC ? 3 ,由余弦定
2

P

? 32

2 2? 5

??

10 , 10

N

所以 ?NMC ? ? ? arccos

10 ,??????????6 分 10 10 .??7 分 10

A B E

M

D C

即异面直线 AE 与 PD 所成角的大小为 arccos

— 4 —

(2)设点 B 到平面 PCD 的距离为 h ,因为 VB? PCD ? VP? BCD ,??????????9 分 所以, ?

1 1 1 1 CD ? PD ? h ? ? BC ? CD ? PA ,得 h ? 2 .???????????14 分 3 2 3 2

方法2, (1) 如图所示,建立空间直角坐标系,同方法1,得 PA ? 2 ,?????3 分 则 有 关 点 的 坐 标 分 别 为 A?0, 0 , 0? , E ? 2,1,0? ,

D?0 ,2 ,0? , P?0 ,0 ,2? .?????????5 分

z P

所以 AE ? ? 2,1, 0? , PD ? ?0 ,2 ,?2? .设 ? 为异面 直线 AE 与 PD 所成角, 则 cos? ?

2 ? 0 ? 1? 2 ? 0 ? ?? 2? 5? 8
10 , 10

?

10 , 10
B x

A E C

D

y

所以, ? ? arccos

即异面直线 AE 与 PD 所成角的大小为 arccos

10 .?????????????7 分 10

(2)因为 PD ? ?0 ,2 ,?2? , CD ? ?2 ,0 ,0? , BC ? ?0 ,2 ,0? ,设 n ? ?u , v , w? , 则由 ?

? ?n ? PD ? 2v ? 2w ? 0 ? ?n ? CD ? 2u ? 0

?u ? 0 ,??????????????????11 分 ?? ?v ? w

可得 n ? ?0 ,1,1? ,所以 d ?

n ? BC n

?

2 ? 2 .??????????????14 分 2

21. (本题共有 2 个小题,满分 14 分) ;第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 一颗人造地球卫星在地球表面上空 1630 千米处 沿着圆形轨道匀速运行,每 2 小时绕地球旋转一周. 将地球近似为一个球体,半径为 6370 千米,卫星轨 道所在圆的圆心与地球球心重合.已知卫星于中午 12 点整通过卫星跟踪站 A 点的正上空 A? ,12:03 时卫星 通过 C 点.(卫星接收天线发出的无线电信号所需时 间忽略不计)

C

A?
A

O

— 5 —

(1)求人造卫星在 12:03 时与卫星跟踪站 A 之间的距离(精确到 1 千米) ; (2)求此时天线方向 AC 与水平线的夹角(精确到 1 分). 解: (1)设人造卫星在 12:03 时位于 C 点处, ?AOC ? ? , ? ? 360? ?
2 2 2

3 ? 9? ,?2 分 120

在 ?ACO 中, AC =6370 +8000 -2 ? 6370 ? 8000 ? cos9? ? 3911704.327 ,

AC ? 1977.803 (千米) ,?????????????????5 分
即在下午 12:03 时,人造卫星与卫星跟踪站相距约为 1978 千米.???????6 分 (2)设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为 ? ,则 ?CAO ? ? ? 90? ,

sin? 9 ? 1978

s? i n? ( ?9 0 ) 8000 sin 9? ? 0.6327 ,???????9 分 , sin(? ? 90?) ? 8000 1978

即 cos? ? 0.6327 , ? ? 50?45' ,????????????????????11 分 即此时天线瞄准的方向与水平线的夹角约为 50?45' .????????????12 分 22. (本题共有 3 个小题,满分 16 分) ;第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 6 分. 已知直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A, B 两点,与 x 轴、 y 轴分别交于 D 、 E 两点,且满足

EA ? ?1 AD 、 EB ? ?2 BD .
2 (1)已知直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 ,抛物线 C 的方程为 y ? 4 x ,求 ?1 ? ?2 的值;

(2)已知直线 l : x ? m y ? 1( m ? 1 ) ,椭圆 C : (3)已知双曲线 C :

x2 1 1 ? y 2 ? 1 ,求 ? 的取值范围; 2 ?1 ?2

x2 y 2 2a 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0) ? ? ? ? , ,试问 D 是否为定点? 1 2 a 2 b2 b2

若是,求出 D 点坐标;若不是,说明理由.

解: (1)将 y ? 2 x ? 4 ,代入 y 2 ? 4 x ,求得点 A?1, ? 2? , B?4, 4? ,又因为 由 EA ? ?1 AD 得到, ?1, 2? ? ?1 ?1,2? ? ??1 ,2?1 ? , ?1 ? 1 ,

D?2, 0? , E ?0, ? 4? ,????????????????????????????2 分

同理由 EB ? ?2 BD 得, ?2 ? ?2 所以 ?1 ? ? 2 = ? 1 .???????????????4 分 (2)联立方程组: ?

x ? my?1 2 2 得 m ? 2 y ? 2my ? 1 ? 0 , 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 2m 1 1? ? y1 ? y 2 ? ? 2 , y1 y 2 ? ? 2 ,又点 D?1, 0?, E ? 0, ? ? , m ?2 m ?2 m? ? ?
2

?

?

— 6 —

? 1 1 1? ? ??1 y1 , ?1 ? ?? 1 ? ? my ? ?, m 1 ? ? ? 1 1 1 ? ?? 2 y 2 , ? 2 ? ?? 同理由 EB ? ?2 BD 得到 y 2 ? 1? ? m ? m y2
由 EA ? ?1 AD 得到 y1 ?

? ? ?, ?

?1 ? ?2 = ? ? ?2 ?
?

?

1 ( y1 ? y 2 ) ? 1 ? ? ? ? ?? 2 ? ? 2m ? ? ?4 ,即 ?1 ? ?2 ? ?4 ,?????6 分 ? m y1 y 2 ? m ? ?

1

?1

?

1

?2

??

4

?1?2

?

4

因为 m ? 1 ,所以点 A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动,由分点的性质可知

?1 ? 4?1
2

?

??1 ? 2?2 ? 4

4

, ????????????????8 分

?1 ? 2 ? 2, 0 ,所以

?

?

1

?1

?

1

?2

? ?? ?, ? 2? .????????????????10 分

(3)假设在 x 轴上存在定点 D(t , 0) ,则直线 l 的方程为 x ? my ? t ,代入方程

x2 y2 ? 2 ? 1 得到: b 2 m2 ? a 2 y 2 ? 2b 2 mty ? t 2 ? a 2 b 2 ? 0 2 a b 2b 2 m t t 2 ? a2 b2 1 1 2m t y1 ? y 2 ? ? 2 2 , y1 y 2 ? ? 2 2 , ? ?? 2 2 2 y1 y 2 b m ?a b m ?a t ? a2

?

?

?

?

?

?

(1)

而由 EA ? ?1 AD 、 EB ? ?2 BD 得到: ? (?1 ? ?2 ) ? 2 ?

t ?1 1 ? ? ? ? ? m ? y1 y 2 ? ?

(2)

?1 ? ? 2 ?

2a 2 b2

(3) ??????????????????????????12 分

由(1) (2) (3)得到: 2 ?

t ? 2m t ? 2a 2 , t ? ? a 2 ? b2 , ? ? ? ? 2 2 ? 2 m? t ?a ? b
a a a a , ?2 ? ,或者 ?1 ? , ?2 ? ? , t?a t?a t?a t?a

所以点 D(? a 2 ? b 2 , 0) ,????????????????????????14 分 当直线 l 与 x 轴重合时, ?1 ? ? 都有 ?1 ? ?2 ?

2a 2 2a 2 ? t 2 ? a2 b2

也满足要求,所以在 x 轴上存在定点 D(? a 2 ? b 2 , 0) .???????????16 分 23. (本题共有 3 个小题,满分 18 分) ;第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 8 分. 记无穷数列 ?an ? 的前 n 项 a1 , a2 ,

, an 的最大项为 An ,第 n 项之后的各项 an?1 , an?2 ,
2



最小项为 Bn ,令 bn ? An ? Bn .

(1)若数列?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 7n ? 6 , 写出 b1、b2 , 并求数列?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 1 ? 2n ,判断 ?an?1 ? an ? 是否等差数列,若是,求出

— 7 —

公差;若不是,请说明理由; (3)若 ?bn ? 为公差大于零的等差数列,求证: ?an?1 ? an ? 是等差数列. 解: (1)因为数列 ?an ? 从第 2 项起单调递增, a1 ? 1, a2 ? 0, a3 ? 3 , ?????????2 分 所以 b1 ? a1 ? a2 ? 1 ? 0 ? 1 ; b2 ? a1 ? a3 ? 1 ? 3 ? ?2 ; 当 n ? 3 时, bn ? an ? an?1 ? 5 ? 4n

? ? n ? 2? ? ?2, ????????????????????4 分 bn ? ? 5 ? 4 n , n ? 1 或 n ? 3 ? ? ? ? (2) 数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 1 ? 2n ,? bn 递减且 bn ? 0 .
????????????????????6 分 由定义知, An ? an , Bn ? an?1

0 ? bn ? An ? Bn ? an ? an?1

? an?1 ? an ,数列 ?an ? 递增,即 a1 ? a2 ?
? ?bn?1 ? bn ? ?(bn?1 ? bn )
(3)①先证数列 ?an ? 递增,利用反证法证明如下: 假设 ak 是 ?an ? 中第一个使 an ? an?1 的项,

? an ? an?1 ?

??????8 分

(an?2 ? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? ?(an?1 ? an?2 ) ? (an ? an?1 )
? ?? ?? ?1 ? 2n ? ? ?1 ? 2n ? ? ??2
???????????????????10 分

a1 ? a2 ?

? ak ?2 ? ak ?1 ? ak ,????????????????????12 分

Ak ? Ak ?1 ? ak ?1 , Bk ?1 ? Bk bk ? bk ?1 ? ( Ak ? Bk ) ? ( Ak ?1 ? Bk ?1 )

? ? Ak ? Ak ?1 ? ? ? Bk ?1 ? Bk ? ? Bk ?1 ? Bk ? 0

与数列 ?bn ? 是公差大于 0 的等差数列矛盾. 故数列 ?an ? 递增. ??????????????????????????14 分 ② 已证数列 ?an ? 递增,即 a1 ? a2 ? 设若 ?bn ? 的公差为 b ,则

? an ?



An ? an ; Bn ? an?1 ,????????????????????????16 分

(an?2 ? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? ?(an?1 ? an?2 ) ? (an ? an?1 ) ? ?( An?1 ? Bn?1 ) ? ( An ? Bn ) ? ?bn?1 ? bn ? ?(bn?1 ? bn ) ? ?b
?????????????????????18 分 故 ?an?1 ? an ? 是等差数列.

— 8 —


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