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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题二 第1讲 三角函数的图象与性质


第1讲
一、选择题

三角函数的图象与性质

1.为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数 y= 2cos 3x 的图象( π A.向右平移 个单位 4 π C.向右平移 个单位 12 π B.向左平移 个单位 4 π D.向左平移 个单位 12

)

π? π? ? ? 解析 因为 y=sin 3x+cos 3x= 2cos?3x- ?, 要得到函数 y= 2cos?3x- ?的图象, 4 4? ? ? ? π 可以将函数 y= 2cos 3x 的图象向右平移 个单位,故选 C. 12 答案 C 2.(2015·广州期末)若函数 f(x)=sin ax+ 3cos ax(a>0)的最小正周期为 2, 则函数 f(x) 的一个零点为( π A.- 3 ) 2 B. 3

?2 ? C.? ,0? ?3 ?

D.(0,0)

π? π? 2π ? ? 解析 f(x)=2sin?ax+ ?,∵T= =2,∴a=π .∴f(x)=2sin?π x+ ?, 3 3? a ? ? ? 2 ∴当 x= 时,f(x)=0.故选 B. 3 答案 B
2? 3

3.(2014·湖南卷)已知函数 f(x)=sin(x-φ ),且 一条对称轴是( 5π A.x= 6
2? 3

?0

f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象的

) 7π B.x= 12
2? 3

π C.x= 3

π D.x= 6

解析 由

?0

f(x)dx=0,得

?0

sin(x-φ )dx=0,

1

即-cos (x-φ )|

2? 3 0

?2 ? =0,∴-cos? π -φ ?+cos φ =0, ?3 ?

π? 2 3 π π ? ∴ cos φ - sin φ =0,∴ 3cos?φ + ?=0,∴φ + = +kπ (k∈Z), 6? 3 2 6 2 ? π ?? π π π ? ? 解得 φ =kπ + ,∴f(x)=sin ?x-?kπ + ??,由 x-kπ - =k′π + 3 ?? 3 3 2 ? ? 5 得 x=(k+k′)π + π (k,k′∈Z),故选 A. 6 答案 A

?π ? ?π ? 4.(2015·唐山期末)已知函数 f(x)=sin ω x+ 3cos ω x(ω >0),f? ?+f? ?=0,且 ?6? ?2? ? ? f(x)在区间? , ?上递减,则 ω =( 6 2
π π

?

?

) C.6 D.5

A.3

B.2

π ? ?π ? ?π ? ? 解析 ∵f(x)=2sin?ω x+ ?,f? ?+f? ?=0. 3? ?6? ?2? ? π π + 6 2 π ∴当 x= = 时,f(x)=0. 2 3 ∴ π π ω + =kπ ,k∈Z,∴ω =3k-1,k∈Z,排除 A、C; 3 3

?π π ? 又 f(x)在? , ?上递减, ?6 2?
把 ω =2,ω =5 代入验证,可知 ω =2. 答案 B 5.(2015·安徽卷)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 均为正的常数)的最小正周期 2π 为 π ,当 x= 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( 3 A.f(2)<f(-2)<f(0) C.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(2)<f(-2) D.f(2)<f(0)<f(-2) )

2π 解析 由于 f(x)的最小正周期为 π ,∴ω =2,即 f(x)=Asin(2x+φ ),又当 x= 时, 3 4π π 11π 2x+φ = +φ =2kπ - (k∈Z),∴φ =2kπ - (k∈Z),又 φ >0,∴φ 3 2 6
min

π = , 6

π? π 1 π ? 故 f(x)=Asin(2x+ ).于是 f(0)= A,f(2)=Asin(4+ ),f(-2)=Asin?-4+ ?= 6? 6 2 6 ?

Asin?

?13π -4?,又∵-π <5π -4<4-7π <π <π ,其中 f(2)=Asin?4+π ?= ? ? 6? 2 6 6 6 2 ? 6 ? ? ?
π 5π

? ? ?? ? ? Asin?π -?4+ ??=Asin? -4?, 6 ?? ? ? ? 6 ?
2

f(-2)=Asin?

?13π -4?=Asin?π -?13π -4??=Asin?4-7π ?. ? ? ? 6 ?? ? 6 ? ? 6 ? ? ? ?? ? ?

? π π? 又 f(x)在?- , ?单调递增,∴f(2)<f(-2)<f(0),故选 A. ? 2 2?
答案 A 二、填空题 π? ? 6.若将函数 f(x)=sin?2x+ ?的图象向右平移 φ 个单位, 所得图象关于 y 轴对称, 则φ 的 4? ? 最小正值是________. π ?右平移φ ? 解析 f(x)=sin?2x+ ? ― ― → 4? ? π? π ? ? ? g(x)=sin?2(x-φ )+ ?=sin?2x+ -2φ ?,

?

4?

?

4

?

关于 y 轴对称,即函数 g(x)为偶函数, π π k π 则 -2φ =kπ + ,∴φ =- π - (k∈Z), 4 2 2 8 π π 3π 显然,k=-1 时,φ 有最小正值 - = . 2 8 8 答案 3π 8

π? ? 7.(2015·泰安模拟)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?的部分图象如图 2? ?

? π π? 所示,若 x1,x2∈?- , ?,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=________. ? 6 3?
解析 观察图象可知,A=1,T=π ,∴ω =2,

? ? ? ? f(x)=sin(2x+φ ).将?- ,0?代入上式得 sin?- +φ ?=0, ?
π 6

?

?

π 3

?

π? π ? 由已知得 φ = ,故 f(x)=sin?2x+ ?.函数图象的对称轴为 x 3? 3 ? π π - + 6 3 π ? π π? = = .又 x1,x2∈?- , ?,且 f(x1)=f(x2), 2 12 ? 6 3? ∴f(x1+x2)=f ?2 × 答案 3 2

? ?

π ? 3 ?π ? ? π π? = f ? ?=sin?2× + ?= . ? 1 2? 6 3? 2 ?6? ?

8.设函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 是常数,A>0,ω >0).若 f(x)在区间? 具有单调性,且 f ?

?π ,π ?上 ? ?6 2?

?π ?= f ?2 π ?=-f ?π ?,则 f(x)的最小正周期为________. ? ? 3 ? ?6 ? ?2 ? ? ? ? ?

T π π ?π π ? 解析 由 f(x)在? , ?上具有单调性,得 ≥ - , 2 2 6 ?6 2?
3

π 2π + 3 π 2 π 2π 7π ? ? ? ?,所以 f(x)的一条对称轴为 x= 2 即 T≥ ;因为 f ? ?= f ? = ;又因为 ? 3 2 12 ?2 ? ? 3 ? π π + 2 6 π π ? π ? 1 7π π ? ? f ? ?=-f ? ?,所以 f(x)的一个对称中心的横坐标为 = .所以 T= - = 2 6 2 3 4 12 3 ? ? ? ? π ,即 T=π . 4 答案 π 三、解答题 9.(2015·北京卷)已知函数 f(x)= 2sin cos - 2sin . 2 2 2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值. 解 (1)因为 f(x)= 2 2 sin x- (1-cos x) 2 2

x

x

2

x

2 ? π? =sin?x+ ?- , 4 2 ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π . 3π π π (2)因为-π ≤x≤0,所以- ≤x+ ≤ . 4 4 4 π π 3π 当 x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值. 4 2 4 所以 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值为 f ?-

? ?

3π ? 2 =-1- . ? 4 ? 2

π? ? 10.(2015·咸阳模拟)已知函数 f(x)=Asin?ω x+ ?(A>0,ω >0),g(x)=tan x,它们 4? ? 的最小正周期之积为 2π ,f(x)的最大值为 2g?
2

?17π ?. ? ? 4 ?

(1)求 f(x)的单调递增区间; 3 2 ? π? 2 (2)设 h(x)= f (x)+2 3cos x.当 x∈?a, ?时,h(x)有最小值为 3,求 a 的值. 3? 2 ? 解 2π 2 (1)由题意,得 ·π =2π . ω

所以 ω =1.又 A=2g?

?17π ?=2tan 17π =2tan π =2, ? 4 4 ? 4 ?

? π? 所以 f(x)=2sin?x+ ?. 4? ?
π π π 令 2kπ - ≤x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2

4

3π π 得 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z). 4 4 3π π? ? 故 f(x)的单调递增区间为?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 4 4? ? 3 2 2 (2)因为 h(x)= f (x)+2 3cos x 2 π? 3 2? 2 = ×4×sin ?x+ ?+2 3cos x 4? 2 ? =3(sin x+cos x) +2 3cos x =3+3sin 2x+ 3(cos 2x+1) π? ? =3+ 3+2 3sin?2x+ ?, 6? ? 又 h(x)有最小值为 3, π? ? 所以有 3+ 3+2 3sin?2x+ ?=3, 6? ? π? 1 ? 即 sin?2x+ ?=- . 6 2 ? ?
2 2

? π? 因为 x∈?a, ?, 3? ?
π 5π ? π ? 所以 2x+ ∈?2a+ , ?, 6 6 ? 6 ? π π 所以 2a+ =- , 6 6 π 即 a=- . 6 11.(2015·福建卷)已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)=cos x 的图象经如下变换得到:先 将 g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变), 再将所得到的图象向右平 π 移 个单位长度. 2 (1)求函数 f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f(x)+g(x)=m 在[0,2π )内有两个不同的解 α ,β . ①求实数 m 的取值范围; 2m ②证明:cos(α -β )= -1. 5 解 法一 (1)将 g(x)=cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)
2

π 得到 y=2cos x 的图象,再将 y=2cos x 的图象向右平移 个单位长度后得到 y= 2

? π? 2cos?x- ?的图象,故 f(x)=2sin x. 2? ?

5

从而函数 f(x)=2sin x 图象的对称轴方程为 x=kπ + (2)①f(x)+g(x)=2sin x+cos x

π (k∈Z). 2

? 2 sin x+ 1 cos x? ? 5 ? 5 ? 1 2? ? = 5sin(x+φ )?其中sin φ = ,cos φ = ?. 5 5? ?
= 5? 依题意,sin(x+φ )=

m

在[0,2π )内有两个不同的解 α ,β ,当且仅当? ?<1,故 ? 5? 5

?m?

m 的取值范围是(- 5, 5).
②因为 α ,β 是方程 5sin(x+φ )=m 在[0,2π )内的两个不同的解. 所以 sin(α +φ )=

m
5

,sin(β +φ )=

m
5

.

?π ? 当 1≤m< 5时,α +β =2? -φ ?, ?2 ?
即 α -β =π -2(β +φ ); 当- 5<m<1 时,α +β =2? 即 α -β =3π -2(β +φ ). 所以 cos(α -β )=-cos 2(β +φ )=2sin (β +φ )-1 =2?
2 2m ? m ?2 - 1 = -1. ? 5 ? 5? 2

?3π -φ ?, ? ? 2 ?

法二 (1)同法一. (2)①同法一. ②因为 α ,β 是方程 5sin(x+φ )=m 在[0,2π )内的两个不同的解. 所以 sin(α +φ )=

m
5

,sin(β +φ )=

m
5

.

?π ? 当 1≤m< 5时,α +β =2? -φ ?, ?2 ?
即 α +φ =π -(β +φ ); 当- 5<m<1 时,α +β =2? 即 α +φ =3π -(β +φ ); 所以 cos(α +φ )=-cos(β +φ ). 于是 cos(α -β )=cos[(α +φ )-(β +φ )] =cos(α +φ )cos(β +φ )+sin(α +φ )sin(β +φ )
6

?3π -φ ?, ? ? 2 ?

=-cos (β +φ )+sin(α +φ )sin(β +φ )

2

? ? m ?2? ? m ?2 2m2 =-?1-? ? = 5 -1. ? ? +? ? ? 5 ? ? ? 5 ?

7


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