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《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解双曲线

《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

双_曲_线

[知识能否忆起] 1.双曲线的定义 平面内与定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线, 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 渐近线 性质 离心率

x≥a 或 x≤-a 对称轴:坐标轴对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a

y≤-a 或 y≥a 对称轴:坐标轴对称中心:原 点 A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b

c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做双曲线

实虚轴

的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的 虚半轴长 2b2 过焦点垂直于实轴的弦叫通径,其长为 a c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

通径 a、b、c 的关系

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)若双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的左焦点的坐标为( A.?- )

?

2 ? ,0 2 ? 6 ? ,0 2 ?

B.?-

?

5 ? ,0 2 ?

C.?-

?

D.(- 3,0)

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y2 解析:选 C ∵双曲线方程可化为 x2- =1, 1 2 1 3 6 ∴a2=1,b2= .∴c2=a2+b2= ,c= . 2 2 2 ∴左焦点坐标为?-

?

6 ? ,0 . 2 ? )

x2 2.(教材习题改编)若双曲线 2-y2=1 的一个焦点为(2,0),则它的离心率为( a 2 5 A. 5 2 3 C. 3 3 B. 2 D.2

解析:选 C 依题意得 a2+1=4,a2=3, 故 e= 2 2 2 3 = = . 3 a2 3

y2 3.设 F1,F2 是双曲线 x2- =1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 24 则△PF1F2 的面积等于( A.4 2 C.24 ) B.8 3 D.48

解析:选 C 由 P 是双曲线上的一点和 3|PF1|=4|PF2|可知,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1| 1 =8, |PF2|=6.又|F1F2|=2c=10, 所以△PF1F2 为直角三角形, 所以△PF1F2 的面积 S= ×6×8 2 =24. x2 4. 双曲线 2-y2=1(a>0)的离心率为 2, 则该双曲线的渐近线方程为________________. a 解析: 由题意知 x± y=0,即 y=± 3x. 答案:y=± 3x 5.已知 F1(0,-5),F2(0,5),一曲线上任意一点 M 满足|MF1|-|MF2|=8,若该曲线的 一条渐近线的斜率为 k,该曲线的离心率为 e,则|k|· e=________. 解析:根据双曲线的定义可知,该曲线为焦点在 y 轴上的双曲线的上支, c 5 4 ∵c=5,a=4,∴b=3,e= = ,|k|= . a 4 3 a2+1 = a 1?2 3 1+? ?a? =2,解得 a= 3 ,故该双曲线的渐近线方程是 3

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4 5 5 ∴|k|· e= × = . 3 4 3 5 答案: 3 1.区分双曲线与椭圆中 a、b、c 的关系,在椭圆中 a2=b2+c2,而在双曲线中 c2=a2+ b2.双曲线的离心率 e>1;椭圆的离心率 e∈(0,1). 2.渐近线与离心率: x2 y2 b - =1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 = a2 b2 a b2 = a2 c2-a2 = e2-1.可以看出, a2

双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小. [注意] 当 a>b>0 时,双曲线的离心率满足 1<e< 2; 当 a=b>0 时,e= 2(亦称为等轴双曲线); 当 b>a>0 时,e> 2. 3.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有 一个交点.

双曲线的定义及标准方程

典题导入 x2 y2 [例 1] (1)(2012· 湖南高考)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐 a b 近线上,则 C 的方程为( x y A. - =1 20 5 x2 y2 C. - =1 80 20
2 2

) x2 y2 B. - =1 5 20 x2 y2 D. - =1 20 80

(2)(2012· 辽宁高考)已知双曲线 x2-y2=1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一 点,若 PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________. x2 y2 [自主解答] (1)∵ 2- 2=1 的焦距为 10, a b ∴c=5= a2+b2.①

b 2b 又双曲线渐近线方程为 y=± x,且 P(2,1)在渐近线上,∴ =1,即 a=2b.② a a

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由①②解得 a=2 5,b= 5. (2)不妨设点 P 在双曲线的右支上,因为 PF1⊥PF2, 所以(2 2)2=|PF1|2+|PF2|2, 又因为|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得 2|PF1|· |PF2|=4, 则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· |PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2 3. [答案] (1)A (2)2 3 由题悟法 1.应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的 距离之差的绝对值为一常数, 且该常数必须小于两定点的距离”. 若定义中的“绝对值”去 掉,点的轨迹是双曲线的一支. 2.双曲线方程的求法 (1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0). x2 y2 x2 y2 (2)与双曲线 2- 2=1 有共同渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ(λ≠0). a b a b (3)若已知渐近线方程为 mx+ny=0,则双曲线方程可设为 m2x2-n2y2=λ(λ≠0). 以题试法 x y2 1.(2012· 大连模拟)设 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 分别是双曲线左右两个焦 16 20 点,若|PF1|=9,则|PF2|=( A.1 C.1 或 17 ) B.17 D.以上答案均不对
2

解析:选 B 由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又∵|PF1|=9,∴|PF2|=1 或 17,但双曲 线的右顶点到右焦点距离最小为 c-a=6-4=2>1,∴|PF2|=17.

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双曲线的几何性质

典题导入 x2 y2 [例 2] (2012· 浙江高考)如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2- 2=1(a,b>0)的左、右焦 a b 点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平 分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是( )

2 3 A. 3 C. 2

B.

6 2

D. 3

[自主解答] 设双曲线的焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0). x y ∵B(0,b),∴F1B 所在的直线为- + =1.① c b b 双曲线渐近线为 y=± x, a

?y=ax, 由? x y ?-c+b=1, ?y=-ax, 由? x y ?-c+b=1,
b

b

? ac , bc ? 得Q ? ?. ?c-a c-a?

得 P?-

? ac , bc ? ?, ? a+c a+c?
2

? a c , bc ? ∴PQ 的中点坐标为? 2 2 2 2?. ?c -a c -a ?
a2c c2? 由 a2+b2=c2 得,PQ 的中点坐标可化为? ? b2 , b ?. b 直线 F1B 的斜率为 k= , c a2c c2 c x- 2 ?. ∴PQ 的垂直平分线为 y- =- ? b ? b b?

2

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a2c 令 y=0,得 x= 2 +c, b a2c a2c ? 2 +c,0 ,∴|F2M|= 2 . ∴M? ?b ? b 由|MF2|=|F1F2|得 a2c a2c =2c, 2= b c2-a2 3 6 即 3a2=2c2,∴e2= ,∴e= . 2 2 [答案] B

π π 若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与 x 轴的夹角为 α,且 <α< ”,求双曲线 4 3 的离心率的取值范围. b 解:根据题意知 1< < 3, a 即 1< e2-1< 3.所以 2<e<2. 2,2).

即离心率的取值范围为(

由题悟法 b a 1.已知渐近线方程 y=mx,求离心率时,若焦点位置不确定时,m= (m>0)或 m= , a b 故离心率有两种可能. 2.解决与双曲线几何性质相关的问题时,要注意数形结合思想的应用. 以题试法 x y 2.(1)(2012· 福建高考)已知双曲线 2- =1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于 a 5 ( ) 3 14 A. 14 3 C. 2 3 2 B. 4 4 D. 3
2 2

c 3 解析:选 C 由题意知 c=3,故 a2+5=9,解得 a=2,故该双曲线的离心率 e= = . a 2 x2 y2 (2)(2012· 大同模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦 a b 点 F,且两曲线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为( )

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3 A.y=± x 3 C.y=± 2x

B.y=± 3x 2 D.y=± x 2

解析:选 B 设点 P(m,n),依题意得,点 F(2,0),由点 P 在抛物线 y2=8x 上,且|PF|

? ?m+2=5, ? ? =5 得? 2 由此解得 m=3,n2=24.于是有? 9 24 ? ?n =8m, ? 2- 2 =1, ?a
b b 该双曲线的渐近线方程为 y=± x=± 3x. a

a2+b2=4,

由此解得 a2=1,b2=3,

直线与双曲线的位置关系

典题导入 x y2 [例 3] (2012· 南昌模拟)已知双曲线 2- 2=1(b>a>0),O 为坐标原 a b 点,离心率 e=2,点 M( 5, 3)在双曲线上. (1)求双曲线的方程; 1 1 (2)若直线 l 与双曲线交于 P, Q 两点, 且 OP · OQ =0.求|OP|2+|OQ|2 的值. [自主解答] (1)∵e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2, x2 y2 双曲线方程为 2- 2=1,即 3x2-y2=3a2. a 3a ∵点 M( 5, 3)在双曲线上,∴15-3=3a2.∴a2=4. x2 y2 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 4 12 x2 y2 (2)设直线 OP 的方程为 y=kx(k≠0),联立 - =1,得 4 12 x= , ? ? 3-k ? 12k y= , ? ? 3-k
2 2 2 2 2 2

12

12?k2+1? ∴|OP|2=x2+y2= . 3-k2

1 则 OQ 的方程为 y=- x, k

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1 1+ 2? 12?k2+1? 12? k ? ? 同理有|OQ|2= = , 1 3k2-1 3- 2 k 3-k2+?3k2-1? 2+2k2 1 1 1 ∴ = = . 2+ 2= 2 2 |OP| |OQ| 12?k +1? 12?k +1? 6

由题悟法 1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线 方程组成方程组,消元后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程.利用根与系数的关系,整体 代入. 2.与中点有关的问题常用点差法. [注意] 根据直线的斜率 k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系. 以题试法 x2 y2 3.(2012· 长春模拟)F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点 F2 a b 作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为 M,满足| MF1 ,|=3| MF2 ,|,则此双曲线的渐近线方 程为________________. 解析:由双曲线的性质可得 | MF2 ,|=b,则| MF1 ,|=3b.在△MF1O a 中, | OM ,| = a , | OF1 ,| = c , cos ∠ F1OM =- ,由余弦定理可 知 c a2+c2-?3b?2 a b 2 =- ,又 c2=a2+b2,所以 a2=2b2,即 = ,故此双曲 2ac c a 2 2 线的渐近线方程为 y=± x. 2 2 答案:y=± x 2

1.(2013· 唐山模拟)已知双曲线的渐近线为 y=± 3x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则双 曲线方程为( x y A. - =1 4 12
2 2

) x2 y2 B. - =1 2 4

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x2 y2 C. - =1 24 8 解析: 选 A

x2 y2 D. - =1 8 24 x2 y2 由题意可设双曲线方程为 2 - 2 = 1(a > 0 , b > 0) ,由已知条件可得 a b

b b ? ? ?a= 3, ?a= 3, ? 即? ? ? ?c=4, ?a2+b2=42,
?a2=4, ? x2 y2 解得? 2 故双曲线方程为 - =1. 4 12 ?b =12, ?

2.若双曲线过点(m,n)(m>n>0),且渐近线方程为 y=± x,则双曲线的焦点( A.在 x 轴上 C.在 x 轴或 y 轴上 B.在 y 轴上 D.无法判断是否在坐标轴上

)

解析:选 A ∵m>n>0,∴点(m,n)在第一象限且在直线 y=x 的下方,故焦点在 x 轴上. y2 3.(2012· 华南师大附中模拟)已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项,则圆锥曲线 x2+ =1 m 的离心率为( A. 3 5 或 2 2 ) B. D. 3 2 3 或 2 5

C. 5

a2-b2 c 解析: 选 D ∵m2=16, ∴m=± 4, 故该曲线为椭圆或双曲线. 当 m=4 时, e= = a a a2+b2 3 c = .当 m=-4 时,e= = = 5. 2 a a 4.(2012· 浙江高考)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共 焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则 双曲线与椭圆的离心率的比值是( A.3 C. 3 B.2 D. 2 )

c 解析:选 B 设焦点为 F(± c,0),双曲线的实半轴长为 a,则双曲线的离心率 e1= ,椭 a c e1 圆的离心率 e2= ,所以 =2. 2a e2 x2 y2 5.(2013· 哈尔滨模拟)已知 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点, a b 5 双曲线的离心率是 ,且 PF1 ,· PF2 ,=0,若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为( 4 )

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A.5 C.7

B.6 D.8

解析:选 C 由 PF1 ,· PF2 ,=0 得 PF1 ,⊥ PF2 ,,设| PF1 ,|=m,| PF2 ,|=n,不妨设 m
?a=4, ? 1 c 5 >n,则 m2+n2=4c2,m-n=2a, mn=9, = ,解得? ∴b=3,∴a+b=7. 2 a 4 ? ?c=5,

6.(2012· 浙江模拟)平面内有一固定线段 AB,|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,O 为 AB 中点,则|OP|的最小值为( A.3 3 C. 2 B.2 D.1 )

解析:选 C 依题意得,动点 P 位于以点 A,B 为焦点、实轴长为 3 的双曲线的一支上, 结合图形可知, 该曲线上与点 O 距离最近的点是该双曲线的一个顶点, 因此|OP|的最小值等 3 于 . 2 7.(2012· 西城模拟)若双曲线 x2-ky2=1 的一个焦点是(3,0),则实数 k=________. 解析:∵双曲线 x2-ky2=1 的一个焦点是(3,0), 1 1 ∴1+ =32=9,可得 k= . k 8 1 答案: 8 x2 y2 x2 y2 8.(2012· 天津高考)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: - =1 有相 a b 4 16 同的渐近线,且 C1 的右焦点为 F( 5,0),则 a=________,b=________. x2 y2 b 解析:双曲线 - =1 的渐近线为 y=± 2x,则 =2,即 b=2a,又因为 c= 5,a2+ 4 16 a b2=c2,所以 a=1,b=2. 答案:1 2

x2 y2 a2 9.(2012· 济南模拟)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x2+y2= 的切线, a b 4 切点为 E, 延长 FE 交双曲线右支于点 P, 若 E 为 PF 的中点, 则双曲线的离心率为________. 解析:设双曲线的右焦点为 F′.由于 E 为 PF 的中点,坐标原点 O 为 FF′的中点,所 a 以 EO∥PF′,又 EO⊥PF,所以 PF′⊥PF,且|PF′|=2× =a,故|PF|=3a,根据勾股定理 2 得|FF′|= 10a.所以双曲线的离心率为 10a 10 = . 2a 2

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答案:

10 2

10.(2012· 宿州模拟)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2, 且过点(4,- 10).点 M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线方程; (2)求证: MF1 · MF2 =0. 解:(1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ(λ≠0). ∵过点(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6. x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 6 6 (2)证明:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6,∴c=2 3, ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), m m ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3 m2 m2 kMF1· kMF2= =- . 3 9-12 ∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3, 故 kMF1· kMF2=-1,∴MF1⊥MF2. ∴ MF1 · MF2 =0. 11.(2012· 广东名校质检)已知双曲线的方程是 16x2-9y2=144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且|PF1|· |PF2|=32,求∠F1PF2 的大小. x2 y2 解:(1)由 16x2-9y2=144 得 - =1, 9 16 所以 a=3,b=4,c=5, 5 4 所以焦点坐标 F1(-5,0),F2(5,0),离心率 e= ,渐近线方程为 y=± x. 3 3 (2)由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=6, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos ∠F1PF2= 2|PF1||PF2|

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?|PF1|-|PF2|?2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2 = 2|PF1||PF2| = 36+64-100 =0, 64

则∠F1PF2=90° . x2 y2 12.如图,P 是以 F1、F2 为焦点的双曲线 C: 2- 2=1 上的一 a b 点,已知 PF 1· PF 2=0,且| PF 1|=2| PF 2|. (1)求双曲线的离心率 e; (2)过点 P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于 P1,P2 两点, 27 若 OP 1· OP 2=- 4 ,2 PP 1+ PP 2=0.求双曲线 C 的方程. 解: (1)由 PF 1· 得 PF 1⊥ PF 2, 即△F1PF2 为直角三角形. 设| PF 2|=r, | PF 1| PF 2=0, =2r,所以(2r)2+r2=4c2,2r-r=2a,即 5×(2a)2=4c2.所以 e= 5. b (2) = a e2-1=2,可设 P1(x1,2x1),P2(x2,-2x2),P(x,y),

27 则 OP 1· OP 2=x1x2-4x1x2=- 4 , 9 所以 x1x2= .① 4

? ?x2-x=-2?x1-x?, 由 2 PP 1+ PP 2=0,得? ?-2x2-y=-2?2x1-y?, ?
2x1+x2 2?2x1-x2? x2 y2 即 x= ,y= .又因为点 P 在双曲线 2- 2=1 上, 3 3 a b ?2x1+x2?2 4?2x1-x2?2 所以 - =1. 9a2 9b2 9 又 b2=4a2,代入上式整理得 x1x2= a2.② 8 由①②得 a2=2,b2=8. x2 y2 故所求双曲线方程为 - =1. 2 8

1.(2012· 长春模拟)设 e1、e2 分别为具有公共焦点 F1、F2 的椭圆和双曲线的离心率,P

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是两曲线的一个公共点,且满足| PF1 ,+ PF2 ,|=| F1 F2 ,|,则 A. 2 2 B.2 D.1

e1e2 2的值为( e2 1+e2

)

C. 2

解析: 选 A 依题意, 设|PF1|=m, |PF2|=n, |F1F2|=2c, 不妨设 m>n.则由| PF1 ,+ PF2 ,| =| F1 F2 ,|得 | PF1 ,+ PF2 ,|= | PF2 ,- PF1 ,|= | PF1 ,- PF2 ,|,即| PF1 ,+ PF2 ,|2= | PF1 , - PF2 ,|2,所以 PF1 ,· PF2 ,=0,所以 m2+n2=4c2.又 e1= 2?m2+n2? =2,所以 4c2 e1e2
2 e1 +e2 2

2c 1 1 ,e2= ,所以 2+ 2= e e2 1 m+n m-n

2c



1 2 = . 1 1 2 2+ 2 e2 e1

x2 y2 2.已知双曲线 2- 2=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),点(1,0) a b 4 到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c,则双曲线的离心率 e 的取值范围为 5 ________. x y 解析:由题意知直线 l 的方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式得, a b 点(1,0)到直线 l 的距离 d1= 2ab a +b
2

b?a-1?

a2+b2

,同理得,点(-1,0)到直线 l 的距离 d2=

b?a+1? a2+b2

,s=

d1+d2=

2

2ab 4 2ab 4 = .由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a c 5 c 5

c2-a2≥2c2.

所以 5

5 e2-1≥2e2,即 4e4-25e2+25≤0,解得 ≤e2≤5. 4 5 ?. ? 2, 5 ?

由于 e>1,所以 e 的取值范围为? 答案:? 5 ? ? 2, 5 ?

x2 y2 3.设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左, 右顶点, 双曲线的实轴长为 4 3, a b 焦点到渐近线的距离为 (1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y= 3 x-2 与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上存在点 3 3.

D,使 OM ,+ ON ,=t OD ,,求 t 的值及点 D 的坐标.

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b 解:(1)由题意知 a=2 3,故一条渐近线为 y= x, 2 3 即 bx-2 3y=0,则 |bc| b2+12 = 3,

得 b2=3,故双曲线的方程为

x2 y2 - =1. 12 3

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0, 将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 3x+84=0, 则 x1+x2=16 3,y1+y2=12, 4 3 = , ?x y 3 则? x y ?12- 3 =1,
0 0 2 0 2 0

? ?x0=4 3, 得? ?y0=3, ?

故 t=4,点 D 的坐标为(4 3,3).

x2 1. (2012· 岳阳模拟)直线 x=2 与双曲线 C: -y2=1 的渐近线交于 E1, E2 两点, 记 OE1 , 4 =e1, OE2 ,=e2,任取双曲线 C 上的点 P,若 OP ,=ae1+be2,则实数 a 和 b 满足的一个等 式是________.

?2a+2b=x0, ? 解析:可求出 e1=(2,1),e2=(2,-1),设 P(x0,y0),则? 则(a+b)2-(a ? ?a-b=y0,
1 -b)2=1,得 ab= . 4 1 答案:ab= 4 x2 y2 2.已知双曲线 2- 2=1 的左,右焦点分别为 F1、F2,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线与 a b π 双曲线一个交点为 P,且∠PF1F2= ,则双曲线的渐近线方程为________________. 6 b2 b2 π 2b2 c,± ?,则|PF2|= ,又∠PF1F2= ,则|PF1|= , 解析:根据已知得点 P 的坐标为? a? ? a 6 a 2b2 b2 b2 b 故 - =2a,所以 2=2, = 2,所以该双曲线的渐近线方程为 y=± 2x. a a a a

《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

答案:y=± 2x 3.(2012· 大同模拟)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA― →,· OB― →,> 2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围. x2 y2 解:(1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b 由已知得 a= 3,c=2,再由 c2=a2+b2 得 b2=1, x2 所以双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3 x2 (2)将 y=kx+ 2代入 -y2=1, 3 整理得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0,
2 ? ?1-3k ≠0, 由题意得? ?Δ=?6 2k?2+36?1-3k2?=36?1-k2?>0, ?

1 故 k2≠ 且 k2<1,① 3 6 2k 设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 xA+xB= , 1-3k2 xA· xB= , 1-3k2 -9

由 OA ,· OB ,>2 得 xAxB+yAyB>2, 又 xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2)(kxB+ 2) =(k2+1)xAxB+ 2k(xA+xB)+2 3k2+7 6 2k =(k +1)· + 2k· +2= 2 , 1-3k2 1-3k2 3k -1
2

-9

3k2+7 -3k2+9 于是 2 >2,即 2 >0, 3k -1 3k -1 1 解不等式得 <k2<3,② 3 1 由①②得 <k2<1, 3

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所以 k 的取值范围为?-1,-

?

3? ? 3 ? ∪ ,1 . 3? ?3 ?


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