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2019春山东省德州市八年级(下)期末数学试卷

2019 春山东省德州市八年级(下)期末数学试卷

一、选择题(本大题共 12 小题,共 48.0 分)

1. 对于 的理解错误的是( )

A. 是实数

B. 是最简二次根式

C.

D. 与 是同类项

2. 若关于 x 的方程 x2+4x+a=0 有两个相等的实数根,则 a 的值为( )

A.

B. 2

C. 4

D. 8

3. 下列结论中,不正确的是( )

A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

B. 对角线相等的平行四边形是矩形

C. 一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形

D. 对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半

4. 代数式 中 x 的取值范围在数轴上表示为( )

A.

B.

C.

D.

5. 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a,b,c,下列说法中错误的是( )

A. 如果

,那么

B. 如果

,那么

C. 如果

,那么

D. 如果

,那么

6. 一次函数 y=kx-k,若 y 随着 x 的增大而减小,则该函数的图象经过( )

A. 一、二、三 B. 一、二、四 C. 二、三、四 D. 一、三、四

7. 某校文学社成员的年龄分布如下表:

年龄岁

12

13

14

15

频数

6

9

a

15-a

对于不同的正整数,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )

A. 平均数

B. 众数

C. 方差

D. 中位数

8. 2018 年以来,我国电子信息产业处于高速增长上升期,某电子厂生产一件产品起初的成本为 110 元,

经过两次技术改进,现生产一件产品的成本比起初下降了 24 元设每次技术改进产品的成本下降率均

为 x,则下列方程正确的是( )

A.

B.

C.

D.

9. 如图,直线 y=ax+b(a≠0)过点 A、B,则不等式 ax+b>0 的解集是( )

A.

B.

C.

D.

10. 如图,是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角 形,四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形,如果 EF=4,AH=12,那么 AB 等于( )

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A. 30

B. 25

C. 20

D. 15
11. 如图,E、F 分别是正方形 ABCD 的边 CD、AD 上的点,且 CE=DF,AE、

BF 相交于点 O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF;(3)AO=OE;(4)

S△AOB=S 四边形 DEOF 中正确的有(



A. 4 个

B. 3 个

C. 2 个

D. 1 个

12. 甲乙二人走步晨练,两人同时同地向距离 600 米的目标出发,二人所走的

路程 y(米)与所走的时间 t(分)之间的函数关系如图所示,下列说法:

①甲走全程的平均速度为 75 米/分:②第 4 分钟时,二人在途中相遇;③第

2 分钟时甲在乙前面 100 米处;④乙比甲提前 2.5 分钟到达终点;其中正确

的有( )个.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

二、填空题(本大题共 6 小题,共 24.0 分)

13. 一个三角形的三边分别是 、1、 ,这个三角形的面积是______.

14. 菱形的两条对角线的长是方程 x2-8x+12=0 的两根,则菱形的边长是______.

15. 直线与直线 m 的图象关于 y 轴对称,若直线 m 的表达式为 y=2x-1,则直线 l 的表达式为______.

16. 某服装店为调动营业员的积极性,决定实行目标管理,根据每月销售目标完成情况发放奖金.该店统

计了每位营业员前半年的月均销售额,并算出所得数据的平均数、众数、中位数,分别为 22,15,18

(单位:万元).若想让一半左右的营业员都能达到月销售目标,则月销售额定为______万元较为合

适.

17. 矩形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,AE 平分∠BAD,若∠EAO=15°,则

∠AEO 的度数为______.

18. 如图 1,是一个三节段式伸缩晾衣架,如图 2,是其衣架侧面示意图.MN 为衣架的墙体固定端,A 为 固定支点,B 为滑动支点,四边形 DFGI 和四边形 EIJH 是菱形,且 AF=BF=CH=DF=EH.点 B 在 AN 上滑动时,衣架外延钢体发生角度形变,其外延长度(点 A 和点 C 间的距离)也随之变化,形成衣架 伸缩效果.伸缩衣架为初始状态 时,衣架外延长度为 42cm.当点 B 向点 A 移动 8cm 时,外延长度为 90cm.如图 3,当外延长度为 120cm 时,则 BD 和 GE 的间距 PQ 长为______cm.

三、解答题(本大题共 7 小题,共 78.0 分)
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19. (1)计算:3 -



(2)计算:2 ÷ × ;

(3)解方程: (y+2)2-6=0.

20. 如图,在 4×3 的正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1. (1)线段 AB 的长为______; (2)在图中作出线段 EF,使得 EF 的长为 ,判断 AB,CD,EF 三条线段能否构成直角三角形, 并说明理由.

21. 老师布置了一个作业,如下: 已知:如图 1?ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线 EF 交 AD 于点 F,交 BC 于点 E,交 AC 于点 O 求证:四边形 AECF 是菱形.
某同学写出了如图 2 所示的证明过程,老师说该同学的作业是错误的,请你解答下列问题: (1)能找出该同学错误的原因吗?请你指出来; (2)请你给出本题的正确证明过程.
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22. 在某中学举行的一次知识竞赛活动中,每个班参加竞赛的人数都相同.成绩分别为 A、B、C、D 四个 等级,四个等级对应的分数依次为 100 分、90 分、80 分、70 分,现九年级一班和二班的成绩整理并 绘制出如下的统计图.
请根据以上提供的信息,解答下列问题: (Ⅰ)每个班参加竞赛的学生人数为______; (Ⅱ)二班成绩为 B 等级的学生占比赛人数的 m%,则 m=______; (Ⅲ)求一班参加竞赛学生成绩的平均数; (Ⅳ)求二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数.
23. 关于 x 的方程,kx2+(k+1)x+ =0 有实根. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使方程的两根的倒数和为 1?若存在,请求出 k 的值;若不存在,请说明理由.
24. 在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 O 的两条直线分别交边 AB、CD、AD、BC 于 点 E、F、G、H. 【感知】如图①,若四边形 ABCD 是正方形,且 AG=BE=CH=DF,则 S 四边形 AEOG=______S 正方形 ABCD; 【拓展】如图②,若四边形 ABCD 是矩形,且 S 四边形 AEOG= S 矩形 ABCD,设 AB=a,AD=b,BE=m,求 AG 的长(用含 a、b、m 的代数式表示);
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【探究】如图③,若四边形 ABCD 是平行四边形,且 AB=3,AD=5,BE=1,试确定 F、G、H 的位置, 使直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分.

25. 某校计划购进甲、乙两种规格的书架,经市场调查发现有线上和线下两种购买方式,具体情况如表:

规格

线下 单价(元/个) 运费(元/个)

线上 单价(元/个) 运费(元/个)



240

0

210

20



300

0

250

30

(1)如果在线下购买甲、乙两种书架 30 个,共花费 8280 元,求甲、乙两种书架各购买了多少个? (2)如果在线上购买甲、乙两种书架 30 个,且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的 3 倍,请求出 花费最少的购买方案及花费.

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1.【答案】D

答案和解析

【解析】解:A、 是无理数,是实数,故本选项不合题意;

B、 是最简二次根式,正确;故本选项不合题意;

C、∵ < < ,∴ < ,故本选项不合题意;

D、

.故 与 不是同类型.故本选项符合题意.

故选:D.

分别根据实数的定义、二次根式的定义、实数的比较方法和同类型的定义判断即可.

本题主要考查了实数的定义、二次根式的定义、实数的比较方法和同类型的定义,熟练掌握定义是解答本

题的关键.

2.【答案】C

【解析】解:∵关于 x 的方程 x2+4x+a=0 有两个相等的实数根, ∴△=42-4×1×a=0, 解得:a=4, 故选:C. 根据根的判别式得出△=42-4×1×a=0,求出方程的解即可. 本题考查了根的判别式和解一元二次方程,能熟记根的判别式的内容是解此题的关键.
3.【答案】C

【解析】解:A.∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形, ∴A 正确; B.∵对角线相等的平行四边形是矩形, ∴B 正确; C.∵一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形, ∴C 不正确; D.∵对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半, ∴D 正确; 故选:C. 由菱形和矩形的判定得出 A、B 正确,由等腰梯形的判定得出 C 不正确,由对角线互相垂直的四边形面积 等于对角线乘积的一半,得出 D 正确,即可得出结论. 本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及四边形面积;熟记菱形/ 矩形和等腰梯形的判定方法是解题的关键.
4.【答案】A

【解析】【分析】 本题考查二次根式,解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件,本题属于基础题型. 根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案. 【解答】
解:由题意可知:
∴x≤3 且 x≠1, 故选 A.

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5.【答案】D
【解析】解:A、∵∠C-∠B=∠A,∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠C=90°,故本选项正确,不符合题意. B、∵∠C=90°, ∴c2=a2+b2, ∴c2-a2=b2,故本选项正确,不符合题意. C、∵(a+b)(a-b)=c2, ∴a2-b2=c2, ∴a2=b2+c2, ∴∠A=90°,故本选项正确,不符合题意. D、∠A=30°,不能推出 AC2=3BC2,故本选项错误,符合题意. 故选:D. 根据直角三角形的定义以及勾股定理的逆定理一一判断即可. 本题考查勾股定理以及逆定理,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
6.【答案】B
【解析】解:∵一次函数 y=kx-k,y 随着 x 的增大而减小, ∴k<0,即-k>0, ∴该函数图象经过第一、二、四象限. 故选:B. 根据已知条件“y 随 x 的增大而减小”判断 k 的取值,再根据 k,b 的符号即可判断直线所经过的象限. 本题考查了一次函数图象与系数的关系.解答本题注意理解:直线 y=kx+b 所在的位置与 k、b 的符号有直 接的关系: k>0 时,直线必经过一、三象限; k<0 时,直线必经过二、四象限; b>0 时,直线与 y 轴正半轴相交; b=0 时,直线过原点; b<0 时,直线与 y 轴负半轴相交.
7.【答案】D
【解析】解:∵14 岁和 15 岁的频数之和为 15-a+a=15, ∴频数之和为 6+9+15=30,
则这组数据的中位数为第 15、16 个数据的平均数,即 =13.5,
∴对于不同的正整数 a,中位数不会发生改变, 故选:D. 由频数分布表可知后两组的频数和为 15,即可得知总人数,结合前两组的频数知第 15、16 个数据的平均 数,可得答案. 本题主要考查频数分布表及统计量的选择,由表中数据得出数据的总数是根本,熟练掌握平均数、中位数、 众数及方差的定义和计算方法是解题的关键.
8.【答案】B
【解析】解:设平均每次降价的百分率为 x, 根据题意得:110(1-x)2=110-24, 故选:B.
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可先表示出第一次降价后的价格,那么第一次降价后的价格×(1-降低的百分率)=110-24,把相应数值代 入即可列出方程. 此题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为 a,变化后的量为 b,平均变化率为 x,则经过两次变化 后的数量关系为 a(1±x)2=b.
9.【答案】C

【解析】解:当 x>-3 时,y>0, 所以不等式 ax+b>0 的解集为 x>-3. 故选:C. 几何函数图象,写出函数图象在 x 轴上方所对应的自变量的范围即可. 本题考查了一次函数与一元一次不等式:从函数的角度看,就是寻求使一次函数 y=kx+b 的值大于(或小 于)0 的自变量 x 的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线 y=kx+b 在 x 轴上(或下)方部分所有 的点的横坐标所构成的集合.
10.【答案】C

【解析】解:∵△ABH≌△BCG,

∴BG=AH=12,

∵四边形 EFGH 都是正方形,

∴HG=EF=4,

∴BH=16,

∴在直角三角形 AHB 中,由勾股定理得到:AB=

=

=20.

故选:C.

在直角三角形 AHB 中,利用勾股定理进行解答即可.

此题考查勾股定理的证明,解题的关键是得到直角三角形 ABH 的两直角边的长度.

11.【答案】B

【解析】解:∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AB=AD=DC,∠BAD=∠D=90°, 而 CE=DF, ∴AF=DE, 在△ABF 和△DAE 中



∴△ABF≌△DAE, ∴AE=BF,所以(1)正确; ∴∠ABF=∠EAD, 而∠EAD+∠EAB=90°, ∴∠ABF+∠EAB=90°, ∴∠AOB=90°, ∴AE⊥BF,所以(2)正确; 连结 BE, ∵BE>BC, ∴BA≠BE, 而 BO⊥AE, ∴OA≠OE,所以(3)错误;

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∵△ABF≌△DAE, ∴S△ABF=S△DAE, ∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF, ∴S△AOB=S 四边形 DEOF,所以(4)正确. 故选:B. 根据正方形的性质得 AB=AD=DC,∠BAD=∠D=90°,则由 CE=DF 易得 AF=DE,根据“SAS”可判断 △ABF≌△DAE,所以 AE=BF;根据全等的性质得∠ABF=∠EAD, 利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°,则 AE⊥BF;连结 BE,BE>BC,BA≠BE,而 BO⊥AE,根据 垂直平分线的性质得到 OA≠OE;最后根据△ABF≌△DAE 得 S△ABF=S△DAE,则 S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF,即 S△AOB=S 四边形 DEOF. 本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”; 全等三角形的对应边相等.也考查了正方形的性质.
12.【答案】C

【解析】解:由图可得,

甲走全程的平均速度为:600÷(2+

)=600÷8=75 米/分,故①正确;

甲 2 分以后的速度为:(500-300)÷(6-2)=50 米/分,乙的速度为 600÷6=100 米/分, 设甲乙经过 x 分钟时相遇, 100x=300+(x-2)×50,得 x=4,故②正确; 第 2 分钟时甲在乙前面:300-2×100=100 米处,故③正确; 甲到达终点的时间为:2+(600-300)÷50=8(分钟), 乙比甲提前 8-6=2 分钟到达终点,故④错误; 故选:C. 根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否成立,本题得以解决. 本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.

13.【答案】

【解析】解:∵( )2+12=3=( )2, ∴这个三角形是直角三角形, ∴面积为: ×1× = ,
故答案为: . 首先根据勾股定理逆定理可判定此三角形是直角三角形,然后再计算面积即可. 此题主要考查了二次根式的应用以及勾股定理逆定理,关键是正确判断出三角形的形状.
14.【答案】
【解析】解:解方程 x2-8x+12=0 得:x=6 和 2,

即 AC=6,BD=2, ∵四边形 ABCD 是菱形,

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∴∠AOD=90°,AO=OC=3,BO=DO=1,

由勾股定理得:AD=

=,

即菱形的边长是 ,

故答案为: .

先求出方程的解,即可得出 AC=6,BD=2,根据菱形的性质求出 AO 和 OD,根据勾股定理求出 AD 即可.

本题考查了解一元二次方程和菱形的性质,能求出方程的解是解此题的关键.

15.【答案】y=-2x-1

【解析】解:与直线 y=2x-1 关于 y 轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数,纵坐标不变,则 y=2(-x)-1,即 y=-2x-1. 所以直线 l 的解析式为:y=-2x-1. 故答案为 y=-2x-1. 利用关于 y 轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数,纵坐标不变解答即可. 此题主要考查了一次函数的图象与几何变换,利用轴对称变换的特点解答是解题关键.
16.【答案】18

【解析】解:想让一半左右的营业员都能达到销售目标,我认为月销售额定为 18 万合适. 因为中位数为 18,即大于 18 与小于 18 的人数一样多, 所以月销售额定为 18 万,有一半左右的营业员能达到销售目标; 故答案为:18. 根据中位数的意义进行解答,即可得出答案. 本题考查了众数、中位数和平均数,反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性,因此要对统 计量进行合理的选择和恰当的运用.
17.【答案】30°

【解析】解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∠DAB=∠ABE=90°.OA=OB. ∵AE 平分∠BAD, ∴∠BAE=45°,∠AEB=45°. ∴AB=BE. ∴∠BAO=45°+15°=60°. ∴△BAO 是等边三角形. ∴AB=BO=BE. ∵∠OBE=30°, ∴∠OEB=(180°-30°)÷2=75°. ∴∠OEB=75°-45°=30°. 故答案为 30°. 由角平分线定义及矩形性质可得 AB=BE,∠AEB=45°,再证明△ABO 是等边三角形,得到 OB=BE,在等腰 △BOE 中求解∠OEB 度数,则∠AEO=∠OEB-45°. 本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质,解题的关键是通过矩形性质即特殊角得到等边三角形, 平行线+角平分线得到等腰三角形,在等腰三角形中求解角的度数.
18.【答案】24

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【解析】解:如图,作 FK⊥AB 于 K,设 AB=2xcm,由题意,FK=7cm,当 AB=(2x-8)cm 时,FK=15cm.

则有 AF2=x2+72=(x-4)2+152,

∴x=24(cm),

∴AF=

=25(cm),

如图,当 OF=20 时,在 Rt△DFO 中,OD=

=15(cm),

∵PQ⊥GI, ∴ ?FI?DG=DF?PQ,

∴PQ=

=24(cm).

故答案为:24. 三节段式伸缩晾衣架,相当于三个菱形构成,前半个和后半个组成一个整体,中间共有两个.本题需用到 菱形的性质和勾股定理,根据横向对角线的长度等先计算出菱形的边长,然后根据菱形的面积公式容易求 出结果. 本题考查菱形的性质,勾股定理等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数构建方程解决问题,属于 中考常考题型.

19.【答案】解:(1)原式=3 -(2 + ),

=3 -2 - ,

=;

(2)原式=2

=2



=2

=2×2×2×3× ,

=24 ;

, ,

(3) (y+2)2=6,

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(y+2)2=12, y+2= ∴y1=2 -2,y2=-2 -2.

【解析】(1)首先化简二次根式,然后再去括号合并同类二次根式即可; (2)根号外乘除,根号内乘除,然后再化简即可; (3)首先把-6 移到等号右边,再等式两边同时乘以 2,最后开平方即可. 此题主要考查了二次根式的加减和乘除,以及直接开平方法解一元二次方程,关键是掌握二次根式相加减 时,先化简,后合并.
20.【答案】

【解析】解:(1)AB=

= ;故答案为: ;

(2)如图,EF=

= ,CD=

∵CD2+AB2=8+5=13,EF2=13,

∴CD2+AB2=EF2,

=2 ,

∴以 AB、CD、EF 三条线可以组成直角三角形.

(1)利用勾股定理求出 AB 的长即可;

(2)根据勾股定理的逆定理,即可作出判断.

本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理,充分利用网格是解题的关键.

21.【答案】解:(1)能;该同学错在 AC 和 EF 并不是互相平分的,EF 垂直平分 AC,但未证明 AC 垂直

平分 EF,需要通过证明得出;

(2)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC. ∴∠FAC=∠ECA. ∵EF 是 AC 的垂直平分线, ∴OA=OC.

∵在△AOF 与△COE 中,

, ,


∴△AOF≌△COE(ASA). ∴EO=FO. ∴AC 垂直平分 EF. ∴EF 与 AC 互相垂直平分. ∴四边形 AECF 是菱形.

【解析】(1)直接利用菱形的判定方法分析得出答案; (2)直接利用全等三角形的判定与性质得出 EO=FO,进而得出答案. 此题主要考查了菱形的判定,正确得出全等三角形是解题关键.
22.【答案】20 10

【解析】解:(Ⅰ)每个班参加竞赛的学生人数为 5+10+2+3=20(人); 故答案为 20 人. (Ⅱ)二班成绩为 B 等级的学生占比赛人数的 m%,则 m=100-25-35-30=10; 故答案为 10.

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(Ⅲ)求一班参加竞赛学生成绩的平均数=

=88.5.

(Ⅳ)二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数分别为 100 分,80 分. (Ⅰ)根据一班的成绩,利用条形统计图的信息解决问题即可. (Ⅱ)根据百分比之和为 100%,计算即可. (Ⅲ)根据平均数的定义计算即可. (Ⅳ)根据众数,中位数的定义判断即可. 本题考查众数,加权平均数,众数,中位数等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
23.【答案】解:(1)①当 k=0 时,方程的解是 x=0,符合题意;

②当 k≠0 时,△



所以

且 k≠0,

综上所述,k 的取值范围是



(2)假设存在实数 k,使方程的两根的倒数和为 1,

所以



∵x1+x2= ,x1?x2= ,





∴-4k-4=k,









∴不存在实数 k,使方程两根的倒数和为 1.

【解析】(1)分为 k=0 和 k≠0 两种情况,分别求出即可; (2)根据根与系数的关系得出不等式,求出不等式的解集即可. 本题考查了根与系数的关系和解一元一次方程、解一元二次方程等知识点,能熟记知识点的内容是解此题 的关键.
24.【答案】

【解析】解:【感知】如图①, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠OAG=∠OBE=45°,OA=OB,

在△AOG 与△BOE 中,



∴△AOG≌△BOE, ∴S 四边形 AEOG=S△AOB= S 正方形 ABCD;

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故答案为: ; 【拓展】如图②,过 O 作 ON⊥AD 于 N,OM⊥AB 于 M, ∵S△AOB= S 矩形 ABCD,S 四边形 AEOG= S 矩形 ABCD, ∴S△AOB=S 四边形 AEOG, ∵S△AOB=S△BOE+S△AOE,S 四边形 AEOG=S△AOG+S△AOE, ∴S△BOE=S△AOG, ∵S△BOE= BE?OM= m b= mb,S△AOG= AG?ON= AG? a= AG?a,
∴ mb= AG?a,

∴AG= ;
【探究】如图③,过 O 作 KL⊥AB,PQ⊥AD, 则 KL=2OK,PQ=2OQ, ∵S 平行四边形 ABCD=AB?KL=AD?PQ, ∴3×2OK=5×2OQ,
∴ =,

∵S△AOB= S 平行四边形 ABCD,S 四边形 AEOG= S , 平行四边形 ABCD ∴S△AOB=S 四边形 AEOG, ∴S△BOE=S△AOG, ∵S△BOE= BE?OK= ×1×OK,S△AOG= AG?OQ,
∴ ×1×OK= AG?OQ,∴ =AG= ,

∴当 AG=CH= ,BE=DF=1 时,直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分. 【感知】如图①,根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论; 【拓展】如图②,过 O 作 ON⊥AD 于 N,OM⊥AB 于 M,根据图形的面积得到 mb= AG?a,于是得到结论;

【探究】如图③,过 O 作 KL⊥AB,PQ⊥AD,则 KL=2OK,PQ=2OQ,根据平行四边形的面积公式得到 = ,

根据三角形的面积公式列方程即可得到结论. 本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题,认真阅读材料,理解并证明 S△BOE=S△AOG 是解决问题的关键.
25.【答案】解:(1)设线下购买甲种书架 x 个,购买乙种书架 y 个,

依题意,得:



解得:



答:甲种书架购买了 12 个,乙种书架购买了 18 个. (2)设线上购买总花费为 w 元,购买甲种书架 m 个,则购买乙种书架(30-m)个, 依题意,得:w=(210+20)m+(250+30)(30-m)=-50a+8400.

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∵买乙种书架的数量不少于甲种书架的 3 倍, ∴30-m≥3m, 解得:m≤7 . ∵m 为整数, ∴m≤7. ∵-50<0, ∴w 值随 m 值的增大而减小, ∴当 m=7 时,总花费最小,最少费用为 8050,此时 30-m=23. 答:当线上购买 7 个甲种书架、23 个乙种书架时总花费最少,最少费用为 8050 元. 【解析】(1)设线下购买甲种书架 x 个,购买乙种书架 y 个,根据在线下购买甲、乙两种书架 30 个共花 费 8280 元,即可得出关于 x,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论; (2)设线上购买总花费为 w 元,购买甲种书架 m 个,则购买乙种书架(30-m)个,根据总价=单价×数量 可得出 w 关于 m 的函数关系式,由购买乙种书架的数量不少于甲种书架的 3 倍可得出关于 m 的一元一次 不等式,解之即可得出 m 的取值范围,再利用一次函数的性质结合 m 为整数即可解决最值问题. 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的最值,解题的关键是:(1) 找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)由总价=单价×数量,找出 w 关于 m 的函数关系式.
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