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[名校联盟]山东省沂水一中高二数学课件:2.3.1《离散型随机变量的均值》


刘永慧

5.9

X

阅读教材P69-71
思考回答:
1.离散型随机变量均值的定义和含义; 2.离散型 随机变量均值的性质; 3.随机变量的均值与样本的平均值的联系 与区别; 4.两点分布的均值; 5.二项分布的均值; 6.如何计算:①离散型随机变量的均值; ②两点分布的均值; ③二项分布的均值;

18

元 kg

24

元 kg

36

元 kg

按3:2:1的比例混合

混合糖果中每一粒糖果的质量都相等
定价为混合糖果的平均价格才合理

按3:2:1的比例混合

18元/kg

24元/kg

36元/kg

平均价格为 18 ? 3 m ? 24 ? 2 m ? 36 ? 1 m 6 m千克混合糖果的总价格为 6    6
m

33 1 22 1 m ? 18 ? 24× 36 36× 18× ? m+ 24 ? ?m+ ? 66 6 66 6
=23 元 kg

一.新课引入
问题1:某商场要将单价分别为18元/kg, 24元/kg,
36元/kg的3种糖果按 的比 3:2:1例混合销售, 如何对混合糖果定价才合理? .zxxk 分析:由于在1kg的混合糖果中,3种糖果的质量分别是,
1 1 1 k g, k g, k g 所以混合糖果的合理价格应该是 .zxxk 2 3 6

它是三种糖果价格的一种加权平均,这里的权数分别是

1 1 1 18 ? ? 24 ? ? 36 ? ? 23(元 / k g) 2 3 6
1 1 1 , , 2 3 6

注意: 权数就是从混合糖果中任取一颗糖果,取到每种糖果的概率,
其前提是”质量相同”

分别把 18元/kg, 24元/kg,36元/kg 的糖果表示为a,b,c 把从混合糖果中取出一颗糖果看成是一次随机实验, 可定义随机变量
?18, 如果取出的是a ? X ? ?24, 如果取出的是b ?36, 如果取出的是c ?

则X是离散型随机变量,其分布列为 X P 18
1 2

24
1 3

36
1 6

因此,权数恰好是随机变量X的分布列. 这样,每千克混合糖果的合理价格可表示为

18 ? P( X ? 18) ? 24 ? P( X ? 24) ? 36 ? P( X ? 36)

1.定义
X
p 则称

一般地,若离散型随机变量X的分布列为 …… …… …… ……

x1 p1

x2 p2

x3 p3

xn pn

EX= x1 p1+ x2p2+…+ xn pn+… 为X的均值或数学期望.

它体现了离散型随机变量取值的平均水平。
5

问题2 若Y=aX+b,其中a,b为常数,X为随机变量
(1).写出随机变量Y的分布列;(2). 求Y的均值。

解:(1).由题意,知Y也为随机变量, .zxxk
则 P( Y=aX+b)=P(X= xi)=pi ,i=1,2,3,… 所以,Y的分布列为:.zxxk

Y P

ax1+b p1

ax2+b p2

…… axn+b ……
pn

…… ……

(2).EY = (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn

=a(x1p1+x2p2+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pn)

=a E X+b

即E(a X+b)= a EX+b

6

2.离散型随机变量均值的性质:

随机变量的线性组合的均值等于随机变量均值线性组合

即若两个随机变量X和Y的均值都为有限数,则

E (aX ? bY ) ? aE ( X ) ? bE (Y )
其中a和b为任意实数

3.随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别
① 随机变量的均值是常数, 样本的平均值是随机变量; ② 对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本平均 值越来越接近于总体均值

4.如果随机变量X服从两点分布,那么

EX=0×q+1×p=p ∴EX=p.zx

xk 5.若X~B( n,P),则EX= n P。
证明:如果X~ (n, p),则由k C n ? n C n ?1 , 得
k k ?1

EX ? ? k C n p q
k k k ?0

n

n?k

? ? np C n ?1 p k ?1q n ?1?( k ?1)
k ?1 k ?1

n

? np? C n ?1 p q
k k k ?0

n ?1

n ?1? k

? np
7

三、例题讲解
例1 篮球比赛中,罚球命中一次得1分,不中得0分,
如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次
的得分X的均值是多少?

解: ? P( X ? 1) ? 0.7, P( X ? 0) ? 0.3 ? EX ? 1? P( X ? 1) ? 0 ? P( X ? 0)
? 1? 0.7 ? 0 ? 0.3 ? 0.7
8

例2 . 一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题

9

有4 个选项, 其中仅有一个选项正确.每题选对 得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲 选对任意一题的概率为0.9.学生乙则在测验中 对每题都从4个选项中随机 地 选择一个, 求学生甲和学生乙在这单元测验中的成绩的均 值。 设学生甲和学生乙在这单元测验中选对的题数.zxxk 解: 分别是X1和X2, 则 X ~B(20,0.9),X ~B(20,0.25)
1 2

EX1=20X0.9=18, EX2=20X0.25=5
10

由于每题选对得5分,所以学生甲和学生乙在这次测验中的 成绩分别是5X1和5X2 因此,他们在测验中的成绩的均值分别是

E(5X1)=5EX1=5X18=90
E(5X2)=5EX2=5X5=25

思考:
(1)学生甲在这次单元测验中的成绩一定是90分吗?

不一定.他的成绩是一个随机变量, 可能取值为 0,5,10,…95,100 (2) 他的均值为90分的含义是什么?

含义是:在多次类似的考试中,他的平均成绩大约是90分

例3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,
有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备, 遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失 10 000元.为保护设备,有以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费3 800元; 方案2:建保护围墙,建设费为2 000元.但围墙只能防小洪水. 方案3:不采取措施,希望不发生洪水.

试比较哪一种方案好? .zxxk 解:用X1,X2和X3分别表示三种方案的损失 采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3 800元, 即X1=3 800.zxxk 采用第2种方案,遇到大洪水时,损失2000+60000=62000元; 没有大洪水时,损失2000元,即 ?62000,有大洪水 X2 ? ? ? 2000 , 无大洪水

采用第3种方案,有
? 60000 , 有大洪水; ? X 3 ? ?10000 ,有小洪水; ? 0,无洪水 ?

于是,
EX1=3800, EX2=62000XP(X2=62000)+2000XP(X2=2000) =62000X0.01+2000X(1-0.01)=2600 EX3=60000XP(X3=60000) +10000XP(X3=10000)+0XP(X3=0) =60000X0.01+10000X0.25=3100 显然,采取方案2的损失最小,所以可以选择方案2

四.课堂练习
教材P73-74 练习:1-5.zxxk
1.不一定.zxxk.
例如,掷一枚硬币,出现正面的次数X是随机变量,它的取值为0,1, 取每个值的概率都为0.5,故均值是0.5.而不是1,也不是0

2.E(X)=0x0.1+1x0.2=2x0.3=3x0.2+4x0.1+5x0.1=2.3

3.

X P

-1 0.5

1 0.5

E(X)=-1x0.5+1x0.5=0

注意:要求离散型随机变量的均值,一般首先写出分布列 4.第一台机床生产零件的平均次品数 E(X1)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1 第二台机床生产零件的平均次品E(X2)=0X0.3+1X0.5+2X0.2=0.9 E(X2)< E(X1) 所以第二台机床生产出的次品少


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