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2016-2017学年苏教版高中数学必修2(测试)第1章1.2-1.2.2空间两条直线的位置关系 Word版含解析

第1章 1.2 1.2.2

立体几何初步

点、线、面之间的位置关系 空间两条直线的位置关系
A组 基础巩固 )

1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( A.一定平行 C.一定异面 B.一定相交 D.相交或异面

解析:可能相交也可能异面,但一定不平行(否则与条件矛盾). 答案:D 2.a,b 为异面直线是指( )

①a∩b=?, 且 a 不平行于 b; ②a?平面 α, b?平面 α, 且 a∩b=?; ③a?平面 α,b?平面 β,且 α∩β=?;④不存在平面 α 能使 a?α,且 b?α 成立. A.①②③ C.②③ B.①③④ D.①④

解析:②③中的 a,b 有可能平行,①④符合异面直线的定义. 答案:D 3.下列选项中,点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上,并且 是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是( )

解析:易知选项 A,B 中 PQ∥RS,选项 D 中 RS 与 PQ 相交,只 有选项 C 中 RS 与 PQ 是异面直线. 答案:C

4.下列命题中,其中正确的为________(填序号). ①若两条直线没有公共点,则这两条直线互相平行; ②若两条直线都和第三条直线相交,那么这两条直线互相平行; ③若两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线互相平行; ④若两条直线都和第三条直线异面,则这两条直线互相平行; ⑤若两条直线都和第三条直线有公共点, 那么这两条直线不可能互 相平行. 解析:根据两条直线的位置关系,知只有③正确. 答案:③ 5. 已知 AB∥PQ, BC∥QR, 若∠ABC=30°, 则∠PQR=______. 解析:由等角定理可知,当∠ABC 的两边和∠PQR 的两边分别平 行并且方向相同时,∠PQR=30°;当∠ABC 的两边和∠PQR 的两边 分别平行并且方向相反时,∠PQR=150°.故填 30°或 150°. 答案:30°或 150° 6.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BD 和 B1D1 分别是正 方形 ABCD 和 A1B1C1D1 的对角线.

(1)∠DBC 的两边与∠________的两边分别平行并且方向相同; (2)∠DBC 的两边与∠________的两边分别平行并且方向相反. 解析:(1)B1D1∥BD,B1C1∥BC 并且方向相同,所以∠DBC 的两 边与∠D1B1C1 的两边分别平行并且方向相同. (2)D1B1∥BD,D1A1∥BC 并且方向相反,所以∠DBC 的两边与 ∠B1D1A1 的两边分别平行并且方向相反. 答案:(1)D1B1C1 (2)B1D1A1

7.两条异面直线指的是________(填序号).

①空间中不相交的两条直线; ②分别位于两个不同平面内的两条直线; ③某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线; ④不同在任何一个平面内的两条直线. 解析:根据异面直线定义来判定.选项①中两条直线可以平行,选 项②③可以借助正方体(如下图所示),A′B′与 AB 这两条直线平行.

答案:④ 8.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为 AA1,AB,BB1,B1C1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 ________.

解析:如图所示,连接 BC1,BA1,A1C1,

因为 EF∥BA1,GH∥BC1, 所以异面直线 EF 与 GH 所成的角即为 BC1 与 BA1 所成的角, 即∠ A1BC1, 又因为 A1B=BC1=A1C1,所以∠A1BC1=60°. 答案:60° 9.已知空间四边形 ABCD 各边长与对角线都相等,求 AB 与 CD 所成的角的大小.

解:如图所示,分别取 AC,AD,BC 的中点 P,M,N.连接 PM, PN,由三角形的中位线性质知 PN∥AB,PM∥CD,于是∠MPN(或其 补角)就是异面直线 AB 和 CD 所成的角.连接 MN,AN,DN,设 AB =2,所以 PM=PN=1.而 AN=DN= 3,则 MN⊥AD,AM=1, 得 MN= 2,所以 MN2=MP2+NP2.

所以∠MPN=90°,即异面直线 AB,CD 所成的角是 90°. B级 能力提升

10.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边形中点的四 边形一定是( ) B.矩形 D.正方形

A.空间四边形 C.菱形

解析:如图所示,易证四边形 EFGH 为平行四边形,

又因为 E,F 分别为 AB,BC 的中点, 所以 EF∥AC.又 FG∥BD, 所以∠EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角. 而 AC 与 BD 所成的角为 90°,所以∠EFG=90°. 故四边形 EFGH 为矩形. 答案:B 11.已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中(如图所示), l?平面 A1B1C1D1, 且 l 与 B1C1 不平行,则下列一定不可能的是( )

A.l 与 AD 平行 B.l 与 AD 不平行 C.l 与 AC 平行 D.l 与 BD 垂直 解析:假设 l∥AD,则由 AD∥BC∥B1C1,知 l∥B1C1,这与 l 与 B1C1 不平行矛盾,所以 l 与 AD 不平行. 答案:A 12.a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ③若 a?平面 α,b?平面 β,则 a,b 一定是异面直线; ④若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的命题是________(只填序号). 解析:由公理 4 知①正确;当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;a?α,b?β,并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”, 故③不正确; 当 a, b 与 c 成等角时, a 与 b 可以相交、平行,也可以异面,故④不正确. 答案:① 13.如图所示,若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 2 ,高为 4,则异面直线 BD1 与 AD 所成角的正切值是________.

解析:因为 BC∥AD,

所以∠CBD1 为异面直线 BD1 与 AD 所成角,连 CD1. 则由正四棱柱性质可知∠BCD1=90°. 又因为 BC=CD=2,DD1=4, 所以 CD1=2 5. 所以 tan∠CBD1= CD1 = 5, BC

即 BD1 与 AD 所成角的正切值是 5. 答案: 5 14.如图所示,木工师傅沿长方体木块 ABCD-A1B1C1D1 中棱 BC 和 上底面的中心 E 将长方体木块锯开,问怎样画线?

解:在面 A1B1C1D1 内过点 E 作 B1C1 的平行线,与 A1B1,C1D1 分 别相交于 F、G,连接 BF,CG 即可. 15.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AD,AA1 的中点.

(1)求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小; (2)求直线 AB1 和 EF 所成的角的大小. 解:(1)如图所示,连接 DC1,

所以 DC1∥AB1.

所以∠CC1D 就是 AB1 和 CC1 所成的角. 因为∠CC1D=45°, 所以 AB1 和 CC1 所成的角是 45°. (2)如图所示,连接 DA1, 因为 EF∥A1D,AB1∥DC1, 所以∠A1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角. 因为△A1DC1 是等边三角形, 所以∠A1DC1=60°. 即直线 AB1 和 EF 所成的角是 60°.


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