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广东省东莞市南开实验学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试卷


南开实验学校 2015-2016 学年第一学期期中考试

高二文科数学
本试卷共 2 页,22 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 说明:1、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案 信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷 上。 2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡 各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新 的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 3、答案必须写在答题卡上,收卷时只交答题卡。
一、选择题:本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分. 1.“ ? ? 30 ”是 “ sin ? ?

1 ”的( 2



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.下列各点中,与点(1,2)位于直线 x+y-1=0 的同一侧的是( ) A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3) 3.已知椭圆的一个焦点为 F(0,1),离心率 e ? A.
1 ,则该椭圆的标准方程为( 2

)

x2 ? y2 ? 1 2

B. x 2 ?

y2 ?1 2

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3
)

B.

x2 y 2 ? ?1 3 4

4.在等差数列 ?an ? 中,a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 那么a12 ? (

A

15

B

30

C

31

D

64

5.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、b 、 c ,且 A ? C ? 2 B .若 a ? 1, b ? 等于( )A. 2
2

3 ,则 c

B. 2 )

C.

3 2

D.

5 3
D. ∪

6.不等式-2x +x+1<0 的解集是( A. B.(1,+∞)

C.(﹣∞,1)∪(2,+∞)

(1,+∞) 7.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 cos A cos B ? sin A sin B ,则△ABC 为( )A 直角三角形 B 锐角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角 形 8.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a 3 · a 9 =2 a5 , a 2 =1,则 a1 =(
2

)

1

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

9.给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题;②命题“若 a ? b ,则 2 a ? 2b ? 1 ”的否命 题为“若 a ? b ,则 2 a ? 2b ? 1 ”; ③“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ”; ④在△ ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件. 其中不正确 的命题的个数是( )A.4 B.3 C.2 ...

D.1

? x ? y ? 2 ? 0? y?x ? x ? 1? 10.已知变量 x,y 满足约束条件 ? 则 的取值范围是( x ? x ? y ? 7 ? 0? ?
A. [14 ? 7]

)

5

B. (??? 14 ] ? [7? ??)

5

C. (??? 4] ? [7? ??)

D.(4,7]

11.已知数列{ a n }中, a 1 = 为( A. a n ? )

1 1 , a n?1 ? a n + 2 (n ? N ? ) ,则数列{ a n }的通项公式 n ? 3n ? 2 2
1 n ?1 ? 2 2 n ?n?2
C. an ?

1 n ?1

B. a n ?

n n ?1

D. an ?

n ?1 n ?2


12.在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ?

1 1 ,若 { } 为等差数列,则数列 {an } 的第 10 项为( 4 an 1 28
D.

A.

1 22

B.

1 25

C.

1 31

二、填空题:本大题共 4 个小题;每小题 5 分,共 20 分. 13.已知条件 p: x ? a ,条件 q: x 2 ? x ? 2 ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取 值范围是____________. 14.当 x ? 1 时,函数 y ? x ? 1 的最小值是________. x ?1 15.一个等差数列的前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数 列有 项. 16. 设 ?ABC 在 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c 且 满 足 a cos B ? b cos A ?

3 c ,则 5

tan A ? tan B

.

2

三、解答题:本大题共 6 个小题;共 70 分. 17.(11 分)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= (1)求△ABC 的周长; (2)求 sin(A﹣C)的值.

18.(11 分)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,公差 d ? 0 ,且 S3 ? 9, a1 , a3 , a7 成等比 数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

x2 y2 1 19.(12 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,且椭圆经过点 N(0,- 3 ). a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求椭圆上的点到点(0,2)距离的最大值,并求出该点的坐标.

20.( 12 分)已知函数 f ( x) ? m ? n, 其中 m ? (1,sin 2 x ), n ? (cos 2 x, 3), 在 ?ABC 中,

a, b, c 分别是角的对边,且 f ( A) ? 1 . (1)求角A; (2)若 a ? 3 , b ? c ? 3 ,求 ?ABC
的面积.

3

21. ( 12 分 ) 已 知 命 题 p : 方 程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 相 等 的 负 实 根 , 命 题 q :

?x ? R, 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 恒成立;若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 m 的取值范
围.

22.(12 分)正项数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足: S n 2 ? (n 2 ? n ? 1) S n ? (n 2 ? n) ? 0 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 3n

4

南开实验学校 2015-2016 学年第一学期期中考试
高二文科数学
本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。
一、选择题:本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分. 1.“ ? ? 30 ”是 “ sin ? ?

1 ”的( A ) 2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.下列各点中,与点(1,2)位于直线 x+y-1=0 的同一侧的是( C ) A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3) 3.已知椭圆的一个焦点为 F(0,1),离心率 e ? A.
1 ,则该椭圆的标准方程为( 2

D )

x2 ? y2 ? 1 2

B. x 2 ?

y2 ?1 2

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3
)

B.

x2 y 2 ? ?1 3 4

4.在等差数列 ?an ? 中,a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 那么a12 ? ( A

A

15

B

30

C

31

D

64

5.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、b 、 c ,且 A ? C ? 2 B .若 a ? 1, b ? 等于( B )A. 2
2

3 ,则 c

B. 2 )

C.

3 2

D.

5 3
D. ∪

6.不等式-2x +x+1<0 的解集是( D A. (1,+∞) B.(1,+∞)

C.(﹣∞,1)∪(2,+∞)

7.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 cos A cos B ? sin A sin B ,则△ABC 为( A )A 直角三角形 B 锐角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三 角形 8.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a 3 · a 9 =2 a5 , a 2 =1,则 a1 =( A.
2

B )

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

9.给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 a ? b ,则 2 a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2 a ? 2b ? 1 ”; ③“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ”; ④在△ ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件. 其中不正确 的命题的个数是( C )A.4 B.3 C.2 ...

D.1

5

? x ? y ? 2 ? 0? y?x ? x ? 1? 10.已知变量 x,y 满足约束条件 ? 则 的取值范围是( A ) x ? x ? y ? 7 ? 0? ?
A. [14 ? 7]

5

B. (??? 14 ] ? [7? ??)

5

C. (??? 4] ? [7? ??)

D.(4,7]

11.已知数列{ a n }中, a 1 = 为( C ) A. a n ?

1 1 , a n ?1 ? a n + 2 (n ? N ? ) ,则数列{ a n }的通项公式 n ? 3n ? 2 2
1 n ?1 ? 2 2 n ?n?2
C. an ?

1 n ?1

B. a n ?

n n ?1

D. an ?

n ?1 n ?2

12.在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ?

1 1 ,若 { } 为等差数列,则数列 {an } 的第 10 项为( C ) 4 an 1 28
D.

A.

1 22

B.

1 25

C.

1 31

二、填空题:本大题共 4 个小题;每小题 5 分,共 20 分. 13.已知条件 p: x ? a ,条件 q: x 2 ? x ? 2 ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取 值范围是_________ a ? 1 ____. 14.当 x ? 1 时,函数 y ? x ? 1 的最小值是____3____. x ?1 15.一个等差数列的前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个 数列有 13 项. 16. 设 ?ABC 在 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c 且 满 足 a cos B ? b cos A ?

3 c ,则 5

tan A ? 4 . tan B
三、解答题:本大题共 6 个小题;共 70 分. 17.(11 分)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= (1)求△ABC 的周长; (2)求 sin(A﹣C)的值.

解: (1) ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 4, c ? 0 ? c ? 2即?ABC的周长为 5.(4分 ) 1 15 , sin B ? sin C ? 4 4 7 15 ? cos A ? ? cos( B ? C ) ? , sin A ? 8 8 ( 2) ? b ? c ,? cos B ? cos C ? ? sin( A ? C ) ? ? 3 15 .(11分 ) 16
6

18.(11 分)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,公差 d ? 0 ,且 S3 ? 9, a1 , a3 , a7 成等比 数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

3a1 ? 3d ? 9 ? 解: (1)由S 3 ? 9,a1 , a 3 , a7成等比数列得 ? 2 ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d ) 即a1 ? 2,d ? 1,? a n ? n ? 1(7分 ) ( 2)bn ? 2 n?1 , Tn ? 2 n? 2 ? 4(4分 )
x2 y2 1 19.(12 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,且椭圆经过点 N(0,- 3 ). a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求椭圆上的点到点(0,2)距离的最大值,并求出该点的坐标.

?c 1 ? ? x2 y2 解: (1)由? a 2 得a 2 ? 4, b 2 ? 3, 故椭圆的方程为 ? ? 1(4分 ) 3 4 3 ? 2 ?1 ?b ( 2)令椭圆上点 P( x0 , y0 )( ?2 ? x0 ? 2), 到( 3,0)距离为 d
2 2 ? x0 y ? 0 ?1 1 ? 则? 故d ? ( x0 ? 12) 2 ? 24 ( ?2 ? x0 ? 2) 4 3 4 ? d ? ( x ? 3) 2 ? y 2 0 0 ? 当x0 ? ?2时,d取得最大值 5,此时 P( ?2,0)(12分 )

20.( 12 分)已知函数 f ( x) ? m ? n, 其中 m ? (1,sin 2 x ), n ? (cos 2 x, 3), 在 ?ABC 中,

a, b, c 分别是角的对边,且 f ( A) ? 1 . (1)求角A; (2)若 a ? 3 , b ? c ? 3 ,求 ?ABC
的面积. 解: (1)因为 f ( x) ? m ? n ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ? 所以 2 sin( 2 A ? 解得 A ?

?
6

) ,且 f ( A) ? 1 .

?
6

) ? 1 ,可得 2 A ?

?
6

?

?
6



?
3

5? . 6

或 A ? 0 (舍) (6 分)

(2)由余弦定理得 cos A ?

b 2 ? c 2 ? ( 3) 2 2 2 ,整理得 bc ? b ? c ? 3 2bc

联立方程

b?c ?3

解得

?b ? 2 ? ?c ? 1

或?

?b ? 1 。 ?c ? 2

7

所以 S ?ABC ?

1 3 1 . bc sin A ? S ?ABC ? bc sin A ? 2 2 (12 分) 2

21. ( 12 分 ) 已 知 命 题 p : 方 程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 相 等 的 负 实 根 , 命 题 q :

?x ? R, 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 恒成立;若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 m 的取值范
围.

解:当 p 真时,可得 ?

?? ? m 2 ? 4 ? 0 ?m ? 0
2

,解之得 m ? 2 (3 分)

当 q 真时,得到: ? ? [4(m ? 2)] ? 16 ? 0 ,解之得 1 ? m ? 3 (6 分) ∵ p 或 q 为真, p 且 q 为假 ∴ p 真 q 假或 p 假 q 真 若 p 真 q 假时,由 ?

?m ? 2 ?3? m ?m ? 1或m ? 3

(9 分)

若 p 假 q 真时,由 ?

?m ? 2 ?1? m ? 2 ?1 ? m ? 3 (11 分)

所以 m 的取值范围为 {m | m ? 3或1 ? m ? 2} .(12 分)

22.(12 分)正项数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足: S n 2 ? (n 2 ? n ? 1) S n ? (n 2 ? n) ? 0 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 3n

2 2 2 ? S n ? ( n 2 ? n) ? S ? ( n ? n ? 1) S ? ( n ? n ) ? 0 ? ? ( S n ? 1) ? 0 . n n (1)解:由 ,得

由于 于是

?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n 2 ? n .
a1 ? S1 ? 2, n ? 2
时,

an ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2n
(6 分)

.

综上,数列

?an ? 的通项 an ? 2n .
2n 3n ,

(2)

bn ?

8



Tn ?

2 ?1 2 ? 2 2n ? 2 ?L? n , 3 3 3

1 2 ?1 2 ? 2 2n Tn ? 2 ? 3 ? L ? n ?1 , 3 3 3 3









2 2 ?1 2 2 2n 2 Tn ? ? 2 ? L ? n ? n ?1 ? ? 3 3 3 3 3 3

1?

1 3 n ? 2n ? 1 ? 1 ? 2n , 1 3 n ?1 3 n 3 n ?1 1? 3





Tn ?

3 2n ? 3 ? 1? ? ? ? 2 2 ? 3 ? (12 分)

n

9


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