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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(重庆卷,)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷(理工农医类)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? ,集合 A= ?1 3? ,则 ? , 2? , B= ?2, U ? A ? B? = ( A、 ?1 , 3, 4? 【答案】 :D B、 ?3, 4? C、



?3?

D、

?4?

2、命题“对任意 x ? R ,都有 x ? 0 ”的否定为(
2


2

A、对任意 x ? R ,都有 x ? 0
2

B、不存在 x ? R ,都有 x ? 0 D、存在 x0 ? R ,使得 x0 2 ? 0

C、存在 x0 ? R ,使得 x0 2 ? 0 【答案】 :D

3、

? 3 ? a ?? a ? 6 ? ? ?6 ? a ? 3? 的最大值为(
B、



A、9 【答案】 :B

9 2

C、 3

D、

3 2 2

-1-

【难度评价】容易题 4 、以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)

已知甲组数据的中位数为 15 ,乙组数据的平均数为 16.8 ,则 x, y 的值分别为( A、 2, 5 【答案】 :C B、 5, 5 C、 5,8 D、 8,8



5、某几何体的三视图如题 ? 5 ? 图所示,则该几何体的体积为( A、



560 3

B、

580 3

C、 200

D、 240

【答案】 :C

-2-

6、若 a ? b ? c ,则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点 分别位于区间( ) B、 ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D、 ? ??, a ? 和 ? c, ??? 内

A、 ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C、 ? b, c ? 和 ? c, ??? 内 【答案】 :A

7、已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 1,圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 ,
2 2 2 2

M , N 分别是圆 C1 , C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的
最小值为( A、 5 2 ? 4 C、 6 ? 2 2 【答案】 :A ) B、 17 ?1 D、 17

-3-

8、执行如题(8)图所示的程序框图,如果输出 s ? 3 ,那么判断框内应填入的条件是( A、 k ? 6 B、 k ? 7 C、 k ? 8 D、 k ? 9 【答案】 :B



9、 4cos50 ? tan 40 ?
0 0



) D、 2 2 ?1

A、 2 【答案】 :C

B、

2? 3 2

C、 3

-4-

10、在平面上, AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 .若 OP ? 值范围是( ) A、 ? 0,

????

???? ?

????

???? ?

??? ? ???? ???? ?

??? ?

??? ? 1 ,则 OA 的取 2
? 7 ? , 2 ? ? 2 ? ?

? ? ?

5? ? 2 ?

B、 ? ?

? 5 7? , ? 2 2 ? ?

C、 ? ?

? 5 ? , 2? ? 2 ?

D、 ?

【答案】 :D

-5-

二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题 卡相应位置上。 11、已知复数 z ? 【答案】 : 5

5i ( i 是虚数单位) ,则 z ? _________ 1 ? 2i

12、已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , Sn 为其前 n 项和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列, 则 S8 ? _____ 【答案】 : 64

13、从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、 脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是___________(用数字作答) 【答案】 : 590

-6-

考生注意:14、15、16 三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分: 14、如题 ?14? 图,在 ? ABC 中,?C ? 90 , ?A ? 600 , AB ? 20 ,过 C 作 ? ABC 的外
0

接圆的切线 CD , BD ? CD , BD 与外接圆交于点 E ,则 DE 的长为__________ 【答案】 :5

15、在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。若极坐标 方程为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线 ? 【答案】 : 16
2 ? ?x ? t ( t 为参数)相交于 A, B 两点,则 AB ? ______ 3 y ? t ? ?

-7-

16、若关于实数 x 的不等式 x ? 5 ? x ? 3 ? a 无解,则实数 a 的取值范围是_________ 【答案】 : ? ??,8?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

ax 17、 设 f ?x ? ? ? ? 5 ? ? 6lnx
2

, 其中 a ? R , 曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与 y 轴

?

?

相交于点 ? 0, 6 ? 。 (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。 【答案】 :

-8-

18、某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球,根据 摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下: 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 摸出红、蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 获奖金额 200 元 50 元 10 元

-9-

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级。 (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E ? X ? 。 【答案】 :

19









19













P ? ABCD





- 10 -

PA ? 底面ABCD , BC ? CD ? 2, AC ? 4, ?ACB ? ?ACD ?
F 为 PC 的中点, AF ? PB 。 (1)求 PA 的长; (2)求二面角 B ? AF ? D 的正弦值。

?
3

,

【答案】 :

- 11 -

20、在 ? ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 a ? b ? 2ab ? c 。
2 2 2

(1)求 C ; (2)设 cos A cos B ? 【答案】 :

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 , ? ,求 tan ? 的值。 2 5 cos ? 5

- 12 -

21、如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 轴的垂线交椭圆于 A, A? 两点, AA? ? 4 。 (1)求该椭圆的标准方程;

2 ,过左焦点 F 1作x 2

(2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P, P? ,过 P, P? 作圆心为 Q 的圆,使椭圆
- 13 -

上的其余点均在圆 Q 外。若 PQ ? P?Q ,求圆 Q 的标准方程。

【答案】 :

- 14 -

22、对正整数 n ,记 I m ? ?1, 2,3,?, n? , P m ?? (1)求集合 P 7 中元素的个数;

?m ? m ? Im , k ? Im ? 。 ? k ?

A 中任意两个元素之和不是 (2)若 P 整数的平方,则称 A 为“稀疏集” 。求 n 的最大 m 的子集 ..
值,使 P m 能分成两人上不相交的稀疏集的并。 【答案】 :

- 15 -

- 16 -

- 17 -


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