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2014年高考数学(文)试题汇编 立体几何



G 单元 立体几何



G1 空间几何体的结构 19. 、 、[2014· 安徽卷] 如图 15 所示,四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 8 的正方形,四条 侧棱长均为 2 17.点 G,E,F,H 分别是棱 PB,AB,CD,PC 上共面的四点,平面 GEFH⊥ 平面 ABCD,BC∥平面 GEFH.

图 15 (1)证明:GH∥EF; (2)若 EB=2,求四边形 GEFH 的面积. 19.解: (1)证明:因为 BC∥平面 GEFH,BC?平面 PBC,且平面 PBC∩平面 GEFH= GH,所以 GH∥BC. 同理可证 EF∥BC,因此 GH∥EF. (2)连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK. 因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO⊥AC,同理可得 PO⊥BD.又 BD∩AC=O,且 AC,BD 都在平面 ABCD 内,所以 PO⊥平面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD, 且 PO?平面 GEFH,所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH=GK, 所以 PO∥GK,所以 GK⊥平面 ABCD. 又 EF?平面 ABCD,所以 GK⊥EF, 所以 GK 是梯形 GEFH 的高. 由 AB=8,EB=2 得 EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 1 1 从而 KB= DB= OB,即 K 是 OB 的中点. 4 2 1 再由 PO∥GK 得 GK= PO, 2 1 所以 G 是 PB 的中点,且 GH= BC=4. 2 由已知可得 OB=4 2,PO= PB2-OB2= 68-32=6, GH+EF 4+8 所以 GK=3,故四边形 GEFH 的面积 S= ·GK= ×3=18. 2 2 3. [2014· 福建卷] 以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴, 将该正方形旋转一 周所得圆柱的侧面积等于( ) A.2π B.π C.2 D.1 3.A

10.[2014· 湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是 我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术“置如其周,令相乘也.又 以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近 1 2 似公式 V≈ L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π 近似取为 3.那么,近似公式 V≈ 36 75 L2h 相当于将圆锥体积公式中的π 近似取为( ) 22 25 A. B. 7 8 157 355 C. D. 50 113 10.B 7.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3,D 为 BC 中点,则三棱锥 A B1DC1 的体积为( ) 3 A.3 B. 2 C.1 D. 3 2

7.C 20. 、[2014· 重庆卷] 如图 14 所示四棱锥 P?ABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥ π 底面 ABCD,AB=2,∠BAD= ,M 为 BC 上一点, 3 1 且 BM= . 2 (1)证明:BC⊥平面 POM; (2)若 MP⊥AP,求四棱锥 PABMO 的体积.

图 14 20.解:(1)证明:如图所示,因为四边形 ABCD 为菱形,O 为菱形的中心,连接 OB,则 π π AO⊥OB.因为∠BAD= ,所以 OB=AB· sin∠OAB=2sin =1. 3 6 π 1 又因为 BM= ,且∠OBM= ,在△OBM 中,OM2=OB2+BM2-2OB· BM· cos∠OBM= 2 3 2 1? π 3 1 2 2 2 12+? ?2? -2×1×2×cos 3 =4,所以 OB =OM +BM ,故 OM⊥BM. 又 PO⊥底面 ABCD,所以 PO⊥BC.从而 BC 与平面 POM 内的两条相交直线 OM,PO 都 垂直,所以 BC⊥平面 POM.

π (2)由(1)可得,OA=AB· cos∠OAB=2×cos = 3. 6 设 PO=a,由 PO⊥底面 ABCD,知△POA 为直角三角形,故 PA2=PO2+OA2=a2+3. 3 又△POM 也是直角三角形,故 PM2=PO2+OM2=a2+ .连接 AM,在△ABM 中,AM2= 4 2 1 2 π 1 21 ? AB2+BM2-2AB· BM· cos∠ABM=22+? ?2? -2×2×2×cos 3 = 4 . 由已知 MP⊥AP,故△APM 为直角三角形,则 3 21 PA2+PM2=AM2,即 a2+3+a2+ = , 4 4

3 3 3 或 a=- (舍去),即 PO= . 2 2 2 此时 S 四边形 ABMO=S△AOB+S△OMB 1 1 = ·AO·OB+ ·BM·OM 2 2 1 1 1 3 = × 3×1+ × × 2 2 2 2 5 3 = . 8 1 1 5 3 3 5 所以四棱锥 PABMO 的体积 V 四棱锥 P× = . ABMO= ·S 四边形 ABMO·PO= × 3 3 8 2 16 解得 a= G2 空间几何体的三视图和直观图 8.[2014· 安徽卷] 一个多面体的三视图如图 12 所示,则该多面体的体积是(

)

图 12 23 A. 3 8.A 47 B. 6 C.6 D.7

11. [2014· 北京卷] 某三棱锥的三视图如图 13 所示, 则该三棱锥最长棱的棱长为________.

图 13 11.2 2

7.[2014· 湖北卷] 在如图 11 所示的空间直角坐标系 O xyz 中,一个四面体的顶点坐标分 别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则 该四面体的正视图和俯视图分别为( )

图 12 A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② 7.D 8. 、[2014· 湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图 12 所示,将该石材切削、打磨, 加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )

图 12 A.1 B.2 C.3 D.4 8.B 7. 、[2014· 辽宁卷] 某几何体三视图如图 12 所示,则该几何体的体积为(

)

图 12 π A.8- 4 C.8-π π B.8- 2 D.8-2π

7.C 3.[2014· 浙江卷] 某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是(

)

图 11 A.72 cm B.90 cm C.108 cm3 D.138 cm3 3.B 6.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 如图 11,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中 粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削 得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
3 3

图 11 17 A. 27 10 C. 27 5 B. 9 1 D. 3

6.C 8.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 如图 11,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个 几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 8.B

17. 、[2014· 陕西卷] 四面体 ABCD 及其三视图如图 14 所示,平行于棱 AD,BC 的平面分 别交四面体的棱 AB,BD,DC,CA 于点 E,F,G,H.

图 14 (1)求四面体 ABCD 的体积; (2)证明:四边形 EFGH 是矩形. 17.解:(1)由该四面体的三视图可知, BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1, ∴AD⊥平面 BDC, 1 1 2 ∴四面体 ABCD 的体积 V= × ×2×2×1= . 3 2 3 (2)证明:∵BC∥平面 EFGH,平面 EFGH∩平面 BDC=FG,平面 EFGH∩ 平面 ABC= EH, ∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH. 同理 EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG, ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 又∵AD⊥平面 BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG, ∴四边形 EFGH 是矩形. 4.[2014· 四川卷] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图 11 所示,则该三棱锥的体积是(锥体 1 体积公式:V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高)( ) 3

图 11 A.3 B.2 C. 3 D.1 4.D 7.[2014· 重庆卷] 某几何体的三视图如图 12 所示,则该几何体的体积为(

)

图 12 A.12 B.18 C.24 D.30 7.C

10.[2014· 天津卷] 一个几何体的三视图如图 12 所示(单位:m),则该几何体的体积为 ________m3.

20π 10. 3 G3 平面的基本性质、空间两条直线 19. 、 、[2014· 安徽卷] 如图 15 所示,四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 8 的正方形,四条 侧棱长均为 2 17.点 G,E,F,H 分别是棱 PB,AB,CD,PC 上共面的四点,平面 GEFH⊥ 平面 ABCD,BC∥平面 GEFH.

图 15 (1)证明:GH∥EF; (2)若 EB=2,求四边形 GEFH 的面积. 19.解: (1)证明:因为 BC∥平面 GEFH,BC?平面 PBC,且平面 PBC∩平面 GEFH= GH,所以 GH∥BC. 同理可证 EF∥BC,因此 GH∥EF. (2)连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK. 因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO⊥AC,同理可得 PO⊥BD.又 BD∩AC=O,且 AC,BD 都在平面 ABCD 内,所以 PO⊥平面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD, 且 PO?平面 GEFH,所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH=GK, 所以 PO∥GK,所以 GK⊥平面 ABCD. 又 EF?平面 ABCD,所以 GK⊥EF, 所以 GK 是梯形 GEFH 的高. 由 AB=8,EB=2 得 EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 1 1 从而 KB= DB= OB,即 K 是 OB 的中点. 4 2

1 再由 PO∥GK 得 GK= PO, 2 1 所以 G 是 PB 的中点,且 GH= BC=4. 2 由已知可得 OB=4 2,PO= PB2-OB2= 68-32=6, GH+EF 4+8 所以 GK=3,故四边形 GEFH 的面积 S= ·GK= ×3=18. 2 2 18. 、[2014· 湖南卷] 如图 13 所示,已知二面角 αMNβ 的大小为 60°,菱形 ABCD 在面 β 内,A,B 两点在棱 MN 上,∠BAD=60°,E 是 AB 的中点,DO⊥面 α,垂足为 O.

图 13 (1)证明:AB⊥平面 ODE; (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值. 18.解:(1)证明:如图,因为 DO⊥α,AB?α ,所以 DO⊥AB. 连接 BD,由题设知,△ABD 是正三角形,又 E 是 AB 的中点,所以 DE⊥AB.而 DO∩DE =D,故 AB⊥平面 ODE.

(2)因为 BC∥AD,所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角,即∠ADO 是 BC 与 OD 所成的角. 由(1)知,AB⊥平面 ODE,所以 AB⊥OE.又 DE⊥AB,于是∠DEO 是二面角 αMNβ 的平 面角,从而∠DEO=60°. 不妨设 AB=2,则 AD=2,易知 DE= 3. 3 在 Rt△DOE 中,DO=DE· sin 60°= . 2 DO 连接 AO,在 Rt△AOD 中,cos∠ADO= = AD 3 2 3 = . 2 4 3 故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为 . 4 4.[2014· 辽宁卷] 已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面.下列说法正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n?α ,则 m⊥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α 4.B G4 空间中的平行关系 6. 、[2014· 浙江卷] 设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面(

)

A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α B.若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α C.若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α 6.C 19. 、 、[2014· 安徽卷] 如图 15 所示,四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 8 的正方形,四条 侧棱长均为 2 17.点 G,E,F,H 分别是棱 PB,AB,CD,PC 上共面的四点,平面 GEFH⊥ 平面 ABCD,BC∥平面 GEFH.

图 15 (1)证明:GH∥EF; (2)若 EB=2,求四边形 GEFH 的面积. 19.解: (1)证明:因为 BC∥平面 GEFH,BC?平面 PBC,且平面 PBC∩平面 GEFH= GH,所以 GH∥BC. 同理可证 EF∥BC,因此 GH∥EF. (2)连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK. 因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO⊥AC,同理可得 PO⊥BD.又 BD∩AC=O,且 AC,BD 都在平面 ABCD 内,所以 PO⊥平面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD, 且 PO?平面 GEFH,所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH=GK, 所以 PO∥GK,所以 GK⊥平面 ABCD. 又 EF?平面 ABCD,所以 GK⊥EF, 所以 GK 是梯形 GEFH 的高. 由 AB=8,EB=2 得 EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 1 1 从而 KB= DB= OB,即 K 是 OB 的中点. 4 2 1 再由 PO∥GK 得 GK= PO, 2 1 所以 G 是 PB 的中点,且 GH= BC=4. 2 由已知可得 OB=4 2,PO= PB2-OB2= 68-32=6, GH+EF 4+8 所以 GK=3,故四边形 GEFH 的面积 S= ·GK= ×3=18. 2 2 17. 、[2014· 北京卷] 如图 15,在三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC, AA1=AC=2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点.

图 15 (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E ? ABC 的体积. 17.解:(1)证明:在三棱柱 ABC A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC, 所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC, 所以 AB⊥平面 B1BCC1. 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)证明:取 AB 的中点 G,连接 EG,FG.

因为 E,F,G 分别是 A1C1,BC,AB 的中点, 1 1 所以 FG∥AC,且 FG= AC,EC1= A1C1. 2 2 因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 所以 FG∥EC1,且 FG=EC1, 所以四边形 FGEC1 为平行四边形, 所以 C1F∥EG. 又因为 EG?平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以 AB= AC2-BC2= 3. 所以三棱锥 E ABC 的体积 1 1 1 3 V= S△ABC·AA1= × × 3×1×2= . 3 3 2 3 20. 、[2014· 湖北卷] 如图 15,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E,F,P,Q,M,N 分别 是棱 AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1 的中点.求证: (1)直线 BC1∥平面 EFPQ; (2)直线 AC1⊥平面 PQMN.

图 15 20.证明:(1)连接 AD1,由 ABCD A1B1C1D1 是正方体, 知 AD1∥BC1. 因为 F,P 分别是 AD,DD1 的中点,所以 FP∥AD1. 从而 BC1∥FP. 而 FP?平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ, 故直线 BC1∥平面 EFPQ.

(2)如图,连接 AC,BD,A1C1,则 AC⊥BD. 由 CC1⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, 可得 CC1⊥BD. 又 AC∩CC1=C,所以 BD⊥平面 ACC1A1. 而 AC1?平面 ACC1A1,所以 BD⊥AC1. 因为 M,N 分别是 A1B1,A1D1 的中点,所以 MN∥BD,从而 MN⊥AC1. 同理可证 PN⊥AC1. 又 PN∩MN=N,所以直线 AC1⊥平面 PQMN. 16. 、[2014· 江苏卷] 如图 14 所示,在三棱锥 P ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC, AB 的中点.已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证:(1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC.

图 14 16.证明: (1)因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点,所以 DE∥PA.又因为 PA?平面 DEF, DE?平面 DEF,所以直线 PA∥平面 DEF. 1 (2)因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC=8,所以 DE∥PA,DE= 2 1 PA=3,EF= BC=4.又因为 DF=5,所以 DF2=DE2+EF2,所以∠DEF=90°,即 DE⊥EF. 2 又 PA⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC.因为 AC∩EF=E,AC?平面 ABC,EF?平面 ABC,所 以 DE⊥平面 ABC. 又 DE?平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABC. 18. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 如图 13,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥ 平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设 AP=1,AD= 3,三棱锥 P ABD 的体积 V= 3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4

图 13 18.解:(1)证明:设 BD 与 AC 的交点为 O,连接 EO.

因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. EO?平面 AEC,PB?平面 AEC, 所以 PB∥平面 AEC.

1 1 3 (2)V= × ×PA×AB×AD= AB, 3 2 6 由 V= 3 3 ,可得 AB= . 4 2

作 AH⊥PB 交 PB 于点 H. 由题设知 BC⊥平面 PAB,所以 BC⊥AH, 因为 PB∩BC=B,所以 AH⊥平面 PBC. PA·AB 3 13 又 AH= = , PB 13 3 13 所以点 A 到平面 PBC 的距离为 . 13 18. ,[2014· 山东卷] 如图 14 所示,四棱锥 P?ABCD 中,AP⊥平面 PCD,AD∥BC,AB 1 =BC= AD,E,F 分别为线段 AD,PC 的中点. 2

图 14 (1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:BE⊥平面 PAC. 18.证明:(1)设 AC∩BE=O,连接 OF,EC.由于 E 为 AD 的中点,

1 AB=BC= AD,AD∥BC, 2 所以 AE∥BC,AE=AB=BC, 所以 O 为 AC 的中点. 又在△PAC 中,F 为 PC 的中点,所以 AP∥OF. 又 OF?平面 BEF,AP?平面 BEF, 所以 AP∥平面 BEF. (2)由题意知,ED∥BC,ED=BC, 所以四边形 BCDE 为平行四边形, 所以 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD, 所以 AP⊥CD,所以 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形, 所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC=A,AP,AC?平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC.

18. 、[2014· 四川卷] 在如图 14 所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形. (1)若 AC⊥BC,证明:直线 BC⊥平面 ACC1A1. (2)设 D,E 分别是线段 BC,CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M,使直线 DE∥平 面 A1MC?请证明你的结论.

图 14 18.解:(1)证明:因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形, 所以 AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为 AB,AC 为平面 ABC 内的两条相交直线, 所以 AA1⊥平面 ABC. 因为直线 BC?平面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又由已知,AC⊥BC,AA1,AC 为平面 ACC1A1 内的两条相交直线, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. (2)取线段 AB 的中点 M,连接 A1M,MC,A1C,AC1,设 O 为 A1C,AC1 的交点.

图 14 由已知,O 为 AC1 的中点. 连接 MD,OE,则 MD,OE 分别为△ABC,△ACC1 的中位线, 1 1 所以 MD 綊 AC,OE 綊 AC, 2 2 因此 MD 綊 OE. 连接 OM,从而四边形 MDEO 为平行四边形,所以 DE∥MO. 因为直线 DE?平面 A1MC,MO?平面 A1MC. 所以直线 DE∥平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点),使直线 DE∥平面 A1MC. 17. 、 、[2014· 天津卷] 如图 14 所示,四棱锥 P -ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,BA =BD= 2,AD=2,PA=PD= 5,E,F 分别是棱 AD,PC 的中点.

(1)证明:EF∥平面 PAB; (2)若二面角 PADB 为 60°. (i)证明:平面 PBC⊥平面 ABCD; (ii)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

17. 解: (1)证明: 如图所示, 取 PB 中点 M, 连接 MF, AM.因为 F 为 PC 中点, 所以 MF∥BC, 1 且 MF= BC.由已知有 BC∥AD,BC=AD,又由于 E 为 AD 中点,因而 MF∥AE 且 MF=AE, 2 故四边形 AMFE 为平行四边形, 所以 EF∥AM.又 AM?平面 PAB, 而 EF?平面 PAB, 所以 EF∥ 平面 PAB. (2)(i)证明: 连接 PE, BE.因为 PA=PD, BA=BD, 而 E 为 AD 中点, 所以 PE⊥AD, BE⊥AD, 所以∠PEB 为二面角 P AD B 的平面角.在△PAD 中,由 PA=PD= 5,AD=2,可解得 PE =2.在△ABD 中, 由 BA=BD= 2, AD=2, 可解得 BE=1.在△PEB 中, PE=2, BE=1, ∠PEB =60?,由余弦定理,可解得 PB= 3,从而∠PBE=90?,即 BE⊥PB.又 BC∥AD,BE⊥AD, 从而 BE⊥BC,因此 BE⊥平面 PBC.又 BE?平面 ABCD,所以平面 PBC⊥平面 ABCD. (ii)连接 BF,由(i)知,BE⊥平面 PBC,所以∠EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角.由 1 3 11 11 PB= 3及已知, 得∠ABP 为直角, 而 MB= PB= , 可得 AM= , 故 EF= .又 BE=1, 2 2 2 2 BE 2 11 故在直角三角形 EBF 中,sin∠EFB= = .所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 EF 11 2 11 . 11

G5 空间中的垂直关系 6. 、[2014· 浙江卷] 设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面( ) A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α B.若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α C.若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α 6.C 17. 、[2014· 北京卷] 如图 15,在三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC, AA1=AC=2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点.

图 15 (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E ? ABC 的体积. 17.解:(1)证明:在三棱柱 ABC A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC, 所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC,

所以 AB⊥平面 B1BCC1. 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)证明:取 AB 的中点 G,连接 EG,FG.

因为 E,F,G 分别是 A1C1,BC,AB 的中点, 1 1 所以 FG∥AC,且 FG= AC,EC1= A1C1. 2 2 因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 所以 FG∥EC1,且 FG=EC1, 所以四边形 FGEC1 为平行四边形, 所以 C1F∥EG. 又因为 EG?平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以 AB= AC2-BC2= 3. 所以三棱锥 E ABC 的体积 1 1 1 3 V= S△ABC·AA1= × × 3×1×2= . 3 3 2 3 19. ,[2014· 福建卷] 如图 16 所示,三棱锥 A ? BCD 中,AB⊥平面 BCD,CD⊥BD. (1)求证:CD⊥平面 ABD; (2)若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A MBC 的体积.

图 16 19.解:方法一:(1)证明:∵AB⊥平面 BCD,CD?平面 BCD, ∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BD,AB∩BD=B, AB?平面 ABD,BD?平面 ABD, ∴CD⊥平面 ABD. (2)由 AB⊥平面 BCD,

得 AB⊥BD. 1 ∵AB=BD=1,∴S△ABD= . 2 ∵M 是 AD 的中点, 1 1 ∴S△ABM= S△ABD= . 2 4 由(1)知,CD⊥平面 ABD, ∴三棱锥 C ABM 的高 h=CD=1, 因此三棱锥 A MBC 的体积 VA -MBC=VC
?

ABM=

1 1 S ·h= . 3 △ABM 12

方法二:(1)同方法一. (2)由 AB⊥平面 BCD,得平面 ABD⊥平面 BCD. 且平面 ABD∩平面 BCD=BD. 如图所示,过点 M 作 MN⊥BD 交 BD 于点 N, 1 1 则 MN⊥平面 BCD,且 MN= AB= . 2 2 1 又 CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD= . 2 ∴三棱锥 A MBC 的体积 VA ? MBC=VA ? BCD-VM ? BCD 1 1 = AB·S△BCD- MN·S△BCD 3 3 = 1 . 12

18. 、[2014· 广东卷] 如图 12 所示,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,AB=1,BC =PC=2,作如图 13 折叠:折痕 EF∥DC,其中点 E,F 分别在线段 PD,PC 上,沿 EF 折 叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M,并且 MF⊥CF. (1)证明:CF⊥平面 MDF; (2)求三棱锥 M CDE 的体积.

图 12 图 13 20. 、[2014· 湖北卷] 如图 15,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E,F,P,Q,M,N 分别 是棱 AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1 的中点.求证: (1)直线 BC1∥平面 EFPQ; (2)直线 AC1⊥平面 PQMN.

图 15 20.证明:(1)连接 AD1,由 ABCD A1B1C1D1 是正方体, 知 AD1∥BC1. 因为 F,P 分别是 AD,DD1 的中点,所以 FP∥AD1. 从而 BC1∥FP. 而 FP?平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ, 故直线 BC1∥平面 EFPQ.

(2)如图,连接 AC,BD,A1C1,则 AC⊥BD. 由 CC1⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, 可得 CC1⊥BD. 又 AC∩CC1=C,所以 BD⊥平面 ACC1A1. 而 AC1?平面 ACC1A1,所以 BD⊥AC1. 因为 M,N 分别是 A1B1,A1D1 的中点,所以 MN∥BD,从而 MN⊥AC1. 同理可证 PN⊥AC1. 又 PN∩MN=N,所以直线 AC1⊥平面 PQMN. 18. 、[2014· 湖南卷] 如图 13 所示,已知二面角 αMNβ 的大小为 60°,菱形 ABCD 在面 β 内,A,B 两点在棱 MN 上,∠BAD=60°,E 是 AB 的中点,DO⊥面 α,垂足为 O.

图 13 (1)证明:AB⊥平面 ODE; (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值. 18.解:(1)证明:如图,因为 DO⊥α,AB?α ,所以 DO⊥AB. 连接 BD,由题设知,△ABD 是正三角形,又 E 是 AB 的中点,所以 DE⊥AB.而 DO∩DE =D,故 AB⊥平面 ODE.

(2)因为 BC∥AD,所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角,即∠ADO 是 BC 与 OD 所成的角. 由(1)知,AB⊥平面 ODE,所以 AB⊥OE.又 DE⊥AB,于是∠DEO 是二面角 αMNβ 的平 面角,从而∠DEO=60°. 不妨设 AB=2,则 AD=2,易知 DE= 3. 3 在 Rt△DOE 中,DO=DE· sin 60°= . 2 DO 连接 AO,在 Rt△AOD 中,cos∠ADO= = AD 3 2 3 = . 2 4 3 故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为 . 4 16. 、[2014· 江苏卷] 如图 14 所示,在三棱锥 P ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC, AB 的中点.已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证:(1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC. 18. ,[2014· 山东卷] 如图 14 所示,四棱锥 P?ABCD 中,AP⊥平面 PCD,AD∥BC,AB 1 =BC= AD,E,F 分别为线段 AD,PC 的中点. 2

图 14 (1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:BE⊥平面 PAC. 18.证明:(1)设 AC∩BE=O,连接 OF,EC.由于 E 为 AD 的中点,

1 AB=BC= AD,AD∥BC, 2 所以 AE∥BC,AE=AB=BC, 所以 O 为 AC 的中点. 又在△PAC 中,F 为 PC 的中点,所以 AP∥OF. 又 OF?平面 BEF,AP?平面 BEF, 所以 AP∥平面 BEF. (2)由题意知,ED∥BC,ED=BC, 所以四边形 BCDE 为平行四边形, 所以 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD, 所以 AP⊥CD,所以 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形, 所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC=A,AP,AC?平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC.

图 14 16.证明: (1)因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点,所以 DE∥PA.又因为 PA?平面 DEF, DE?平面 DEF,所以直线 PA∥平面 DEF. 1 (2)因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC=8,所以 DE∥PA,DE= 2 1 PA=3,EF= BC=4.又因为 DF=5,所以 DF2=DE2+EF2,所以∠DEF=90°,即 DE⊥EF. 2 又 PA⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC.因为 AC∩EF=E,AC?平面 ABC,EF?平面 ABC,所 以 DE⊥平面 ABC. 又 DE?平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABC. 19. 、[2014· 江西卷] 如图 11 所示,三棱柱 ABC A1B1C1 中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1. (1)求证:A1C⊥CC1; (2)若 AB=2,AC= 3,BC= 7,问 AA1 为何值时,三棱柱 ABC -A1B1C1 体积最大,并 求此最大值.

图 11 19.解:(1)证明:由 AA1⊥BC 知 BB1⊥BC.又 BB1⊥A1B,故 BB1⊥平面 BCA1,所以 BB1 ⊥A1C. 又 BB1∥CC1,所以 A1C⊥CC1. (2)方法一:设 AA1=x. 2 2 在 Rt△A1BB1 中,A1B= A1B1 -BB2 1 = 4-x . 2 2 同理,A1C= A1C2 1-CC1 = 3-x . 在△A1BC 中, A1B2+A1C2-BC2 cos∠BA1C= = 2A1B·A1C 2 x - , 2 (4-x )(3-x2) sin∠BA1C= 12-7x2 , (4-x2)(3-x2)

12-7x2 1 所以 S△A1BC= A1B·A1C·sin∠BA1C= . 2 2

x 12-7x2 从而三棱柱 ABC A1B1C1 的体积 V=S 直·l=S△A1BC·AA1= . 2 因为 x 12-7x2= 12x2-7x4= 6 2 36 x2- ? + , -7? 7? ? 7 6 42 42 3 7 所以当 x= = ,即 AA1= 时,体积 V 取到最大值 . 7 7 7 7 (2)方法二:过 A1 作 BC 的垂线,垂足为 D,连接 AD. 由 AA1⊥BC,A1D⊥BC,得 BC⊥平面 AA1D,故 BC⊥AD.又∠BAC=90°, 1 1 2 21 所以 S△ABC= AD·BC= AB·AC,得 AD= . 2 2 7 设 AA1=x.在 Rt△AA1D 中,

12 2 -x , 7 12-7x2 1 S△A1BC= A1D·BC= . 2 2 A1D= AD2-AA2 1= x 12-7x2 从而三棱柱 ABC A1B1C1 的体积 V=S 直· l=S△A1BC· AA1= .因为 x 12-7x2= 2 6 2 36 x2- ? + , 12x2-7x4= -7? 7? ? 7 6 42 42 3 7 所以当 x= = ,即 AA1= 时,体积 V 取到最大值 . 7 7 7 7 19. 、[2014· 辽宁卷] 如图 14 所示,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC= BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G 分别为 AC,DC,AD 的中点.

图 14 (1)求证:EF⊥平面 BCG; (2)求三棱锥 D BCG 的体积. 1 附:锥体的体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高. 3 19.解:(1)证明:由已知得△ABC≌△DBC, 因此 AC=DC. 又 G 为 AD 的中点,所以 CG⊥AD, 同理 BG⊥AD.又 BG∩CG=G,所以 AD⊥平面 BGC. 又 EF∥AD,所以 EF⊥平面 BCG.

(2)在平面 ABC 内,作 AO⊥CB,交 CB 延长线于点 O. 由平面 ABC⊥平面 BCD,知 AO⊥平面 BDC. 又 G 为 AD 的中点,所以 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半. 在△AOB 中,AO=AB· sin 60°= 3,所以 1 1 1 3 1 V 三棱锥 D = . BCG=V 三棱锥 G BCD= ·S△DBC·h= × ·BD·BC·sin 120°· 3 3 2 2 2 19.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 如图 14,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O,且 AO⊥平面 BB1C1C.

图 14 (1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱 ABC A1B1C1 的高. 19.解:(1)证明:连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点. 因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C⊥BC1. 又 AO⊥平面 BB1C1C,所以 B1C⊥AO, 由于 BC1∩AO=O,故 B1C⊥平面 ABO. 由于 AB?平面 ABO,故 B1C⊥AB. (2)作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD.作 OH⊥AD,垂足为 H. 由于 BC⊥AO,BC⊥OD,且 AO∩OD=O, 故 BC⊥平面 AOD,所以 OH⊥BC. 又 OH⊥AD,且 AD∩BC=D, 所以 OH⊥平面 ABC. 因为∠CBB1=60°,所以△CBB1 为等边三角形,又 BC=1,可得 OD= 1 1 因为 AC⊥AB1,所以 OA= B1C= . 2 2 由 OH· AD=OD· OA,且 AD= OD2+OA2= 7 21 ,得 OH= . 4 14 21 21 .故三棱柱 ABC A1B1C1 的高为 . 7 7 3 . 4

又 O 为 B1C 的中点, 所以点 B1 到平面 ABC 的距离为

18. 、[2014· 四川卷] 在如图 14 所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形.

(1)若 AC⊥BC,证明:直线 BC⊥平面 ACC1A1. (2)设 D,E 分别是线段 BC,CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M,使直线 DE∥平 面 A1MC?请证明你的结论.

图 14 18.解:(1)证明:因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形, 所以 AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为 AB,AC 为平面 ABC 内的两条相交直线, 所以 AA1⊥平面 ABC. 因为直线 BC?平面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又由已知,AC⊥BC,AA1,AC 为平面 ACC1A1 内的两条相交直线, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. (2)取线段 AB 的中点 M,连接 A1M,MC,A1C,AC1,设 O 为 A1C,AC1 的交点.

图 14 由已知,O 为 AC1 的中点. 连接 MD,OE,则 MD,OE 分别为△ABC,△ACC1 的中位线, 1 1 所以 MD 綊 AC,OE 綊 AC, 2 2 因此 MD 綊 OE. 连接 OM,从而四边形 MDEO 为平行四边形,所以 DE∥MO. 因为直线 DE?平面 A1MC,MO?平面 A1MC. 所以直线 DE∥平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点),使直线 DE∥平面 A1MC. 17. 、 、[2014· 天津卷] 如图 14 所示,四棱锥 P -ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,BA =BD= 2,AD=2,PA=PD= 5,E,F 分别是棱 AD,PC 的中点.

(1)证明:EF∥平面 PAB; (2)若二面角 PADB 为 60°. (i)证明:平面 PBC⊥平面 ABCD; (ii)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

17. 解: (1)证明: 如图所示, 取 PB 中点 M, 连接 MF, AM.因为 F 为 PC 中点, 所以 MF∥BC, 1 且 MF= BC.由已知有 BC∥AD,BC=AD,又由于 E 为 AD 中点,因而 MF∥AE 且 MF=AE, 2 故四边形 AMFE 为平行四边形, 所以 EF∥AM.又 AM?平面 PAB, 而 EF?平面 PAB, 所以 EF∥ 平面 PAB. (2)(i)证明: 连接 PE, BE.因为 PA=PD, BA=BD, 而 E 为 AD 中点, 所以 PE⊥AD, BE⊥AD, 所以∠PEB 为二面角 P AD B 的平面角.在△PAD 中,由 PA=PD= 5,AD=2,可解得 PE =2.在△ABD 中, 由 BA=BD= 2, AD=2, 可解得 BE=1.在△PEB 中, PE=2, BE=1, ∠PEB =60?,由余弦定理,可解得 PB= 3,从而∠PBE=90?,即 BE⊥PB.又 BC∥AD,BE⊥AD, 从而 BE⊥BC,因此 BE⊥平面 PBC.又 BE?平面 ABCD,所以平面 PBC⊥平面 ABCD. (ii)连接 BF,由(i)知,BE⊥平面 PBC,所以∠EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角.由 1 3 11 11 PB= 3及已知, 得∠ABP 为直角, 而 MB= PB= , 可得 AM= , 故 EF= .又 BE=1, 2 2 2 2 BE 2 11 故在直角三角形 EBF 中,sin∠EFB= = .所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 EF 11 2 11 . 11 20. 、[2014· 浙江卷] 如图 1?5,在四棱锥 A ? BCDE 中,平面 ABC⊥平面 BCDE,∠CDE =∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC= 2.

图 15 (1)证明:AC⊥平面 BCDE; (2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值. 20.解:(1)证明:连接 BD,在直角梯形 BCDE 中,由 DE=BE=1,CD=2,得 BD=BC = 2,由 AC= 2,AB=2,得 AB2=AC2+BC2,即 AC⊥BC.

又平面 ABC⊥平面 BCDE,从而 AC⊥平面 BCDE. (2)在直角梯形 BCDE 中,由 BD=BC= 2,DC=2,得 BD⊥BC. 又平面 ABC⊥平面 BCDE,所以 BD⊥平面 ABC.

作 EF∥BD,与 CB 的延长线交于点 F,连接 AF,则 EF⊥平面 ABC. 所以∠EAF 是直线 AE 与平面 ABC 所成的角. π 2 2 在 Rt△BEF 中,由 EB=1,∠EBF= ,得 EF= ,BF= ; 4 2 2 3 2 在 Rt△ACF 中,由 AC= 2,CF= , 2 得 AF= 26 . 2 2 26 ,AF= , 2 2

在 Rt△AEF 中,由 EF= 得 tan∠EAF= 13 . 13

13 . 13 20. 、[2014· 重庆卷] 如图 14 所示四棱锥 P?ABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥ π 底面 ABCD,AB=2,∠BAD= ,M 为 BC 上一点, 3 1 且 BM= . 2 (1)证明:BC⊥平面 POM; (2)若 MP⊥AP,求四棱锥 PABMO 的体积. 所以,直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值是

图 14 20.解:(1)证明:如图所示,因为四边形 ABCD 为菱形,O 为菱形的中心,连接 OB,则 π π AO⊥OB.因为∠BAD= ,所以 OB=AB· sin∠OAB=2sin =1. 3 6 π 1 又因为 BM= ,且∠OBM= ,在△OBM 中,OM2=OB2+BM2-2OB· BM· cos∠OBM= 2 3 2 1? π 3 1 12+? - 2 × 1 × × cos = ,所以 OB2=OM2+BM2,故 OM⊥BM. ?2? 2 3 4 又 PO⊥底面 ABCD,所以 PO⊥BC.从而 BC 与平面 POM 内的两条相交直线 OM,PO 都 垂直,所以 BC⊥平面 POM.

π (2)由(1)可得,OA=AB· cos∠OAB=2×cos = 3. 6 设 PO=a,由 PO⊥底面 ABCD,知△POA 为直角三角形,故 PA2=PO2+OA2=a2+3. 3 又△POM 也是直角三角形,故 PM2=PO2+OM2=a2+ .连接 AM,在△ABM 中,AM2= 4 2 1 2 π 1 21 ? AB2+BM2-2AB· BM· cos∠ABM=22+? ?2? -2×2×2×cos 3 = 4 . 由已知 MP⊥AP,故△APM 为直角三角形,则 3 21 PA2+PM2=AM2,即 a2+3+a2+ = , 4 4

3 3 3 或 a=- (舍去),即 PO= . 2 2 2 此时 S 四边形 ABMO=S△AOB+S△OMB 1 1 = ·AO·OB+ ·BM·OM 2 2 1 1 1 3 = × 3×1+ × × 2 2 2 2 5 3 = . 8 1 1 5 3 3 5 所以四棱锥 PABMO 的体积 V 四棱锥 P× = . ABMO= ·S 四边形 ABMO·PO= × 3 3 8 2 16 解得 a= G6 三垂线定理 19. 、[2014· 全国卷] 如图 11 所示,三棱柱 ABC A1B1C1 中,点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2. (1)证明:AC1⊥A1B; (2)设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 3,求二面角 A1 ? AB ? C 的大小.

图 11 19.解:方法一:(1)证明:因为 A1D⊥平面 ABC,A1D?平面 AA1C1C,故平面 AA1C1C ⊥平面 ABC.又 BC⊥AC,平面 AA1C1C∩平面 ABC=AC,所以 BC⊥平面 AA1C1C. 连接 A1C,因为侧面 AA1C1C 为菱形,故 AC1⊥A1C. 由三垂线定理得 AC1⊥A1B.

(2)BC⊥平面 AA1C1C,BC?平面 BCC1B1, 故平面 AA1C1C⊥平面 BCC1B1. 作 A1E⊥CC1,E 为垂足,则 A1E⊥平面 BCC1B1. 又直线 AA1∥平面 BCC1B1,因而 A1E 为直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离,即 A1E= 3. 因为 A1C 为∠ACC1 的平分线,故 A1D=A1E= 3. 作 DF⊥AB,F 为垂足,连接 A1F.由三垂线定理得 A1F⊥AB, 故∠A1FD 为二面角 A1? AB ? C 的平面角.
2 由 AD= AA1 -A1D2=1,得 D 为 AC 中点,

所以 DF=

5 A1D ,tan∠A1FD= = 15, 5 DF

1 所以 cos∠A1FD= . 4 1 所以二面角 A1? AB? C 的大小为 arccos . 4 方法二:以 C 为坐标原点,射线 CA 为 x 轴的正半轴,以 CB 的长为单位长,建立如图所 示的空间直线坐标系 C xyz.由题设知 A1D 与 z 轴平行,z 轴在平面 AA1C1C 内.

→ (1)证明:设 A1(a,0,c),由题设有 a≤2,A(2,0,0),B(0,1,0),则AB=(-2,1,0), → → → → → → AC=(-2,0,0),AA1=(a-2,0,c),AC1=AC+AA1=(a-4,0,c),BA1=(a,-1,c). → 由|AA1|=2,得 (a-2)2+c2=2,即 a2-4a+c2=0. ①

→ → 又AC1·BA1=a2-4a+c2=0,所以 AC1⊥A1B. (2)设平面 BCC1B1 的法向量 m=(x,y,z), → → → 则 m⊥CB,m⊥BB1,即 m· CB=0,m· BB1=0. → → → 因为CB=(0,1,0),BB1=AA1=(a-2,0,c),所以 y=0,且(a-2)x+cz=0. → 令 x=c,则 z=2-a,所以 m=(c,0,2-a),故点 A 到平面 BCC1B1 的距离为|CA|·|cos → |CA·m| 2c → 〈m,CA〉|= = 2 =c. |m| c +(2-a)2 又依题设,A 到平面 BCC1B1 的距离为 3, 所以 c= 3, 代入①,解得 a=3(舍去)或 a=1, → 于是AA1=(-1,0, 3). → → → → 设平面 ABA1 的法向量 n=(p,q,r),则 n⊥AA1,n⊥AB,即 n· AA1=0,n· AB=0, 所以-p+ 3r=0,且-2p+q=0.令 p= 3,则 q=2 1). 3,r=1,所以 n=( 3,2 3,

又 p=(0,0,1)为平面 ABC 的法向量,故 n· p 1 cos〈n,p〉= = , |n||p| 4 1 所以二面角 A1 ? AB ? C 的大小为 arccos . 4 G7 棱柱与棱锥 19. ,[2014· 福建卷] 如图 16 所示,三棱锥 A ? BCD 中,AB⊥平面 BCD,CD⊥BD. (1)求证:CD⊥平面 ABD; (2)若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A MBC 的体积.

图 16 19.解:方法一:(1)证明:∵AB⊥平面 BCD,CD?平面 BCD, ∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BD,AB∩BD=B, AB?平面 ABD,BD?平面 ABD, ∴CD⊥平面 ABD. (2)由 AB⊥平面 BCD,

得 AB⊥BD. 1 ∵AB=BD=1,∴S△ABD= . 2 ∵M 是 AD 的中点, 1 1 ∴S△ABM= S△ABD= . 2 4 由(1)知,CD⊥平面 ABD, ∴三棱锥 C ABM 的高 h=CD=1, 因此三棱锥 A MBC 的体积 VA -MBC=VC
?

ABM=

1 1 S ·h= . 3 △ABM 12

方法二:(1)同方法一. (2)由 AB⊥平面 BCD,得平面 ABD⊥平面 BCD. 且平面 ABD∩平面 BCD=BD. 如图所示,过点 M 作 MN⊥BD 交 BD 于点 N, 1 1 则 MN⊥平面 BCD,且 MN= AB= . 2 2 1 又 CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD= . 2 ∴三棱锥 A MBC 的体积 VA ? MBC=VA ? BCD-VM ? BCD 1 1 = AB·S△BCD- MN·S△BCD 3 3 = 1 . 12

18. 、[2014· 广东卷] 如图 12 所示,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,AB=1,BC =PC=2,作如图 13 折叠:折痕 EF∥DC,其中点 E,F 分别在线段 PD,PC 上,沿 EF 折 叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M,并且 MF⊥CF. (1)证明:CF⊥平面 MDF; (2)求三棱锥 M CDE 的体积.

图 12 图 13 8.[2014· 江苏卷] 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2.若它们 S1 9 V1 的侧面积相等,且 = ,则 的值是________. S2 4 V2 8. 3 2

19. 、[2014· 江西卷] 如图 11 所示,三棱柱 ABC A1B1C1 中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1. (1)求证:A1C⊥CC1; (2)若 AB=2,AC= 3,BC= 7,问 AA1 为何值时,三棱柱 ABC -A1B1C1 体积最大,并 求此最大值.

图 11 19.解:(1)证明:由 AA1⊥BC 知 BB1⊥BC.又 BB1⊥A1B,故 BB1⊥平面 BCA1,所以 BB1 ⊥A1C. 又 BB1∥CC1,所以 A1C⊥CC1. (2)方法一:设 AA1=x. 2 2 在 Rt△A1BB1 中,A1B= A1B1 -BB2 1 = 4-x . 2 2 同理,A1C= A1C2 1-CC1 = 3-x . 在△A1BC 中, A1B2+A1C2-BC2 cos∠BA1C= = 2A1B·A1C 2 x - , 2 (4-x )(3-x2) sin∠BA1C= 12-7x2 , (4-x2)(3-x2)

12-7x2 1 所以 S△A1BC= A1B·A1C·sin∠BA1C= . 2 2 x 12-7x2 从而三棱柱 ABC A1B1C1 的体积 V=S 直·l=S△A1BC·AA1= . 2 因为 x 12-7x2= 12x2-7x4= 6 2 36 x2- ? + , -7? 7? ? 7 6 42 42 3 7 所以当 x= = ,即 AA1= 时,体积 V 取到最大值 . 7 7 7 7 (2)方法二:过 A1 作 BC 的垂线,垂足为 D,连接 AD. 由 AA1⊥BC,A1D⊥BC,得 BC⊥平面 AA1D,故 BC⊥AD.又∠BAC=90°, 1 1 2 21 所以 S△ABC= AD·BC= AB·AC,得 AD= . 2 2 7 设 AA1=x.在 Rt△AA1D 中,

12 2 -x , 7 12-7x2 1 S△A1BC= A1D·BC= . 2 2 A1D= AD2-AA2 1= x 12-7x2 从而三棱柱 ABC A1B1C1 的体积 V=S 直· l=S△A1BC· AA1= .因为 x 12-7x2= 2 6 2 36 x2- ? + , 12x2-7x4= -7? 7? ? 7

6 42 42 3 7 = ,即 AA1= 时,体积 V 取到最大值 . 7 7 7 7 7. 、[2014· 辽宁卷] 某几何体三视图如图 12 所示,则该几何体的体积为( 所以当 x=

)

图 12 π π A.8- B.8- 4 2 C.8-π D.8-2π 7.C 19. 、[2014· 辽宁卷] 如图 14 所示,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC= BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G 分别为 AC,DC,AD 的中点.

图 14 (1)求证:EF⊥平面 BCG; (2)求三棱锥 D BCG 的体积. 1 附:锥体的体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高. 3 19.解:(1)证明:由已知得△ABC≌△DBC, 因此 AC=DC. 又 G 为 AD 的中点,所以 CG⊥AD, 同理 BG⊥AD.又 BG∩CG=G,所以 AD⊥平面 BGC. 又 EF∥AD,所以 EF⊥平面 BCG.

(2)在平面 ABC 内,作 AO⊥CB,交 CB 延长线于点 O. 由平面 ABC⊥平面 BCD,知 AO⊥平面 BDC. 又 G 为 AD 的中点,所以 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半.

在△AOB 中,AO=AB· sin 60°= 3,所以 1 1 1 3 1 V 三棱锥 D = . BCG=V 三棱锥 G BCD= ·S△DBC·h= × ·BD·BC·sin 120°· 3 3 2 2 2 10. 、[2014· 全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边长为 2, 则该球的表面积为( ) 81π A. 4 C.9π 10.A B.16π 27π D. 4

13.[2014· 山东卷] 一个六棱锥的体积为 2 3,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都 相等,则该六棱锥的侧面积为________. 13.12 G8 多面体与球 8. 、[2014· 湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图 12 所示,将该石材切削、打磨, 加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )

图 12 A.1 B.2 C.3 D.4 8.B 5. [2014· 陕西卷] 将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周, 所得几何体 的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π 5.C 10. 、[2014· 全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边长为 2, 则该球的表面积为( ) 81π A. 4 C.9π B.16π 27π D. 4

10.A

17. 、[2014· 陕西卷] 四面体 ABCD 及其三视图如图 14 所示,平行于棱 AD,BC 的平面分 别交四面体的棱 AB,BD,DC,CA 于点 E,F,G,H.

图 14 (1)求四面体 ABCD 的体积; (2)证明:四边形 EFGH 是矩形. 17.解:(1)由该四面体的三视图可知, BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1, ∴AD⊥平面 BDC, 1 1 2 ∴四面体 ABCD 的体积 V= × ×2×2×1= . 3 2 3 (2)证明:∵BC∥平面 EFGH,平面 EFGH∩平面 BDC=FG,平面 EFGH∩ 平面 ABC= EH, ∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH. 同理 EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG, ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 又∵AD⊥平面 BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG, ∴四边形 EFGH 是矩形. G9 空间向量及运算 G10 空间向量解决线面位置关系 G11 空间角与距离的求法 10.[2014· 浙江卷] 如图 13,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训 练.已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准 目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角).若 AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则 tan θ 的最大值是( )

图 13 A. 30 5 B. 30 10

4 3 C. 9 10.D

5 3 D. 9

4.[2014· 全国卷] 已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成 角的余弦值为( ) 1 A. 6 1 C. 3 4.B B. D. 3 6 3 3

19. 、[2014· 全国卷] 如图 11 所示,三棱柱 ABC A1B1C1 中,点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2. (1)证明:AC1⊥A1B; (2)设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 3,求二面角 A1 ? AB ? C 的大小.

图 11 19.解:方法一:(1)证明:因为 A1D⊥平面 ABC,A1D?平面 AA1C1C,故平面 AA1C1C ⊥平面 ABC.又 BC⊥AC,平面 AA1C1C∩平面 ABC=AC,所以 BC⊥平面 AA1C1C. 连接 A1C,因为侧面 AA1C1C 为菱形,故 AC1⊥A1C. 由三垂线定理得 AC1⊥A1B.

(2)BC⊥平面 AA1C1C,BC?平面 BCC1B1, 故平面 AA1C1C⊥平面 BCC1B1. 作 A1E⊥CC1,E 为垂足,则 A1E⊥平面 BCC1B1. 又直线 AA1∥平面 BCC1B1,因而 A1E 为直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离,即 A1E= 3. 因为 A1C 为∠ACC1 的平分线,故 A1D=A1E= 3. 作 DF⊥AB,F 为垂足,连接 A1F.由三垂线定理得 A1F⊥AB, 故∠A1FD 为二面角 A1? AB ? C 的平面角.
2 由 AD= AA1 -A1D2=1,得 D 为 AC 中点,

所以 DF=

5 A1D ,tan∠A1FD= = 15, 5 DF

1 所以 cos∠A1FD= . 4 1 所以二面角 A1? AB? C 的大小为 arccos . 4 方法二:以 C 为坐标原点,射线 CA 为 x 轴的正半轴,以 CB 的长为单位长,建立如图所 示的空间直线坐标系 C xyz.由题设知 A1D 与 z 轴平行,z 轴在平面 AA1C1C 内.

→ (1)证明:设 A1(a,0,c),由题设有 a≤2,A(2,0,0),B(0,1,0),则AB=(-2,1,0), → → → → → → AC=(-2,0,0),AA1=(a-2,0,c),AC1=AC+AA1=(a-4,0,c),BA1=(a,-1,c). → 由|AA1|=2,得 (a-2)2+c2=2,即 a2-4a+c2=0. ①

→ → 又AC1·BA1=a2-4a+c2=0,所以 AC1⊥A1B. (2)设平面 BCC1B1 的法向量 m=(x,y,z), → → → 则 m⊥CB,m⊥BB1,即 m· CB=0,m· BB1=0.

→ → → 因为CB=(0,1,0),BB1=AA1=(a-2,0,c),所以 y=0,且(a-2)x+cz=0. → 令 x=c,则 z=2-a,所以 m=(c,0,2-a),故点 A 到平面 BCC1B1 的距离为|CA|·|cos → |CA·m| 2c → 〈m,CA〉|= = 2 =c. |m| c +(2-a)2 又依题设,A 到平面 BCC1B1 的距离为 3, 所以 c= 3, 代入①,解得 a=3(舍去)或 a=1, → 于是AA1=(-1,0, 3). → → → → 设平面 ABA1 的法向量 n=(p,q,r),则 n⊥AA1,n⊥AB,即 n· AA1=0,n· AB=0, 所以-p+ 3r=0,且-2p+q=0.令 p= 3,则 q=2 1). 又 p=(0,0,1)为平面 ABC 的法向量,故 n· p 1 cos〈n,p〉= = , |n||p| 4 1 所以二面角 A1 ? AB ? C 的大小为 arccos . 4 18. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 如图 13,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥ 平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设 AP=1,AD= 3,三棱锥 P ABD 的体积 V= 3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4 3,r=1,所以 n=( 3,2 3,

图 13 18.解:(1)证明:设 BD 与 AC 的交点为 O,连接 EO.

因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. EO?平面 AEC,PB?平面 AEC,

所以 PB∥平面 AEC. 1 1 3 (2)V= × ×PA×AB×AD= AB, 3 2 6 由 V= 3 3 ,可得 AB= . 4 2

作 AH⊥PB 交 PB 于点 H. 由题设知 BC⊥平面 PAB,所以 BC⊥AH, 因为 PB∩BC=B,所以 AH⊥平面 PBC. PA·AB 3 13 又 AH= = , PB 13 3 13 所以点 A 到平面 PBC 的距离为 . 13 19.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 如图 14,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O,且 AO⊥平面 BB1C1C.

图 14 (1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱 ABC A1B1C1 的高. 19.解:(1)证明:连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点. 因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C⊥BC1. 又 AO⊥平面 BB1C1C,所以 B1C⊥AO, 由于 BC1∩AO=O,故 B1C⊥平面 ABO. 由于 AB?平面 ABO,故 B1C⊥AB. (2)作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD.作 OH⊥AD,垂足为 H. 由于 BC⊥AO,BC⊥OD,且 AO∩OD=O, 故 BC⊥平面 AOD,所以 OH⊥BC. 又 OH⊥AD,且 AD∩BC=D, 所以 OH⊥平面 ABC. 因为∠CBB1=60°,所以△CBB1 为等边三角形,又 BC=1,可得 OD= 1 1 因为 AC⊥AB1,所以 OA= B1C= . 2 2 由 OH· AD=OD· OA,且 AD= OD2+OA2= 7 21 ,得 OH= . 4 14 21 21 .故三棱柱 ABC A1B1C1 的高为 . 7 7 3 . 4

又 O 为 B1C 的中点, 所以点 B1 到平面 ABC 的距离为

17. 、 、[2014· 天津卷] 如图 14 所示,四棱锥 P -ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,BA =BD= 2,AD=2,PA=PD= 5,E,F 分别是棱 AD,PC 的中点.

(1)证明:EF∥平面 PAB; (2)若二面角 PADB 为 60°. (i)证明:平面 PBC⊥平面 ABCD; (ii)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

17. 解: (1)证明: 如图所示, 取 PB 中点 M, 连接 MF, AM.因为 F 为 PC 中点, 所以 MF∥BC, 1 且 MF= BC.由已知有 BC∥AD,BC=AD,又由于 E 为 AD 中点,因而 MF∥AE 且 MF=AE, 2 故四边形 AMFE 为平行四边形, 所以 EF∥AM.又 AM?平面 PAB, 而 EF?平面 PAB, 所以 EF∥ 平面 PAB. (2)(i)证明: 连接 PE, BE.因为 PA=PD, BA=BD, 而 E 为 AD 中点, 所以 PE⊥AD, BE⊥AD, 所以∠PEB 为二面角 P AD B 的平面角.在△PAD 中,由 PA=PD= 5,AD=2,可解得 PE =2.在△ABD 中, 由 BA=BD= 2, AD=2, 可解得 BE=1.在△PEB 中, PE=2, BE=1, ∠PEB =60?,由余弦定理,可解得 PB= 3,从而∠PBE=90?,即 BE⊥PB.又 BC∥AD,BE⊥AD, 从而 BE⊥BC,因此 BE⊥平面 PBC.又 BE?平面 ABCD,所以平面 PBC⊥平面 ABCD. (ii)连接 BF,由(i)知,BE⊥平面 PBC,所以∠EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角.由 1 3 11 11 PB= 3及已知, 得∠ABP 为直角, 而 MB= PB= , 可得 AM= , 故 EF= .又 BE=1, 2 2 2 2 BE 2 11 故在直角三角形 EBF 中,sin∠EFB= = .所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 EF 11 2 11 . 11 20. 、[2014· 浙江卷] 如图 1?5,在四棱锥 A ? BCDE 中,平面 ABC⊥平面 BCDE,∠CDE =∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC= 2.

图 15 (1)证明:AC⊥平面 BCDE; (2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值. 20.解:(1)证明:连接 BD,在直角梯形 BCDE 中,由 DE=BE=1,CD=2,得 BD=BC = 2,由 AC= 2,AB=2,得 AB2=AC2+BC2,即 AC⊥BC.

又平面 ABC⊥平面 BCDE,从而 AC⊥平面 BCDE. (2)在直角梯形 BCDE 中,由 BD=BC= 2,DC=2,得 BD⊥BC. 又平面 ABC⊥平面 BCDE,所以 BD⊥平面 ABC. 作 EF∥BD,与 CB 的延长线交于点 F,连接 AF,则 EF⊥平面 ABC. 所以∠EAF 是直线 AE 与平面 ABC 所成的角. π 2 2 在 Rt△BEF 中,由 EB=1,∠EBF= ,得 EF= ,BF= ; 4 2 2 3 2 在 Rt△ACF 中,由 AC= 2,CF= , 2 得 AF= 26 . 2 2 26 ,AF= , 2 2

在 Rt△AEF 中,由 EF= 得 tan∠EAF= 13 . 13

所以,直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值是

13 . 13

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