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2013-2014学年度高一年级第二学期期末考试模拟试卷数学试卷

唐山市 2013~2014 学年度第二学期期末考试模拟试卷数学试卷 一.选择题 (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1. ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a , b , c .若 B =2 A , a =1, b =2 错误!未 找 到 引 用 源 。 , 则 这 样 的 三 角 形 有 ( ) C .不存在 D .无数个 A .只有一个 B .有两个
[来源:Zxxk.Com]

2. 不等式 ( x ? 5)(6 ? x) ? 6 ? x 的解集是(



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A . (5, ??)

B (6, ??)

C .?

D . (??,5) (6, ??)

3. 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球 , 那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) B. “至少有一个白球”与“至少有 1 个红球” D. “至少有 1 个白球”与“都是红球” )

A. “至少一个白球”与“都是白球” C. “恰有一个白球”与“恰有二个白球”

4. .设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S5 ? 10 , S10 ? 30 ,则 S15 ? (

A .60

B .70

C .90

D .40

8.某班 5 次数学测验中,甲、乙两同学的成绩如下: 甲:90 82 88 96 94; 乙:94 86 88 90 92

(

)

A.甲的平均成绩比乙好 C. 甲乙平均分相同,甲的成绩稳定性比乙好

B.甲的平均成绩比乙差 D.甲乙平均分相同,乙的成绩稳定性比甲好

9. 等差数列 ?an ? ,?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn ,Tn , 若

S n 2n ? 4 = , 则 an = bn 时 n = ( Tn 3n ? 1



A .无解

B .6

C .2

D .无数多个

?x ? 1 ? 10 .已知 a ? 0 ,x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 , 若 z ? 2 x ? y 的最小值为 0 , 则 a ?( ) ? y ? a ( x ? 3) ?

A.

1 4

B .1

C.

1 2

D.2
a4 ? a5 ? a6 的值为 a1 ? a2 ? a3
( )

11. 若数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 3n ? 90 ,则

A . 18

B . ?2

C .2

D.?

1 2
( )

12.计算 1? 3 ? 5 ?

? 99 的算法流程图中:下面算法中错误的是

二.填空 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。) 13. 已知 ?ABC 的三边 分别为 a , b , c ,且 a =1, B =45° , S?ABC =2,则 ?ABC 的外接圆 的面积为 . 14.若 an =2 n 2+λ n +3(其中 λ 为实常数), n ∈ N*,且数列{ an }为单调递增数列,则实数 λ 的取值范围为________. 15.若两个正实数 x,y 满足 是 .

2 1 + =1,并且 2x+y>m 恒成立,则实数 m 的取值范围 x y

16.已知{ an }是等差数列, d 为其公差, Sn 是其前 n 项和,若只有 S4 是{ Sn }中的最 小项,则可 得出的结论中正确的是 ①d >0 ② a4 ? 0 ③ a5 ? 0 . ④ S7 ? 0 ⑤ S8 ? 0

三.解答题本大题共 6 小 题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17 .已知 a , b , c 分别为 ?ABC 三个内角 A , B , C 的对边 , c = 3 错误!未找到引用源。

a sin C ? c cos A . (1)求角 A ;

(2)若 a = 2 3 , ?ABC 的面积为 3 错误!未找到引用源。,求 ?ABC 的周长. 18. 已知数列{ an }中, a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? n ? 1,(n ? N ? ) , (1)求证数列{ an ?n }为等比数列. (2)判断 265 是否是数列{ an }中的项,若是,指出是第几项,并求出该项以前所有项的和(不含 265),若不是,说明理由. 19.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学生成绩样本,得频率 分布表如下: 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 合 分组 频数 8 ① 15 10 5 50 频率 0.16 0.24 ② 0.20 0.10 1.00
[来源:Z_xx_k.Com]

? 230, 235?
? 235, 240?

? 240, 245? ? 245, 250?
[250, 255]



(1)写出表中①②位置的数据; (2)为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学生进行第二轮考核,分别求第三、四、五各组参加考核人数;

21. 已知函数 f(x)= x ? (1) 当 a=

a ?1, ? ? ? , a ? 0 . ,x∈ x

1 时,求函数 f(x)的最小值; 2

(2) 若函数 f ( x ) 的最小值为 4,求实数 a

22. 设数列{ an }是等差数列,数列{ bn }的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 1 ? bn , (n ? N ? ) , 且 a2 ? 1 ?

1 1 , a5 ? ? 1 。 b1 b3

(Ⅰ )求数列{ an }和{ bn }的通项公式: (Ⅱ )设 Tn 为数列{ an . bn }的前 n 项和,求 Tn . 22. 已知数列 {an } 为公差不为 0 的等差数列, Sn 为前 n 项和, a5 和 a7 的等差中项为11 , 且 a2 ? a5 ? a1 ? a14 .令 bn ? (Ⅰ)求 an 及 Tn ; (Ⅱ)是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n), 使得T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 的 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

1 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . an ? an?1

唐山市 2013~2014 学年度第二学期期末考试模拟试卷数学试卷参考答案 1~5CCCBA 6~10DDDCB 11~12DC 13. 12.5∏ 14. X>-6 15.X<9 16.①②③④ 17.(1﹚ 120° (2﹚4+2√—3 18. (1)证明由 an?1 ? 2an ? n ? 1,(n ? N ? ) an ?1 ? ( n +1)=2 an

?n +1 ? ( n +1 )=2( an ?n ),

a1 ? 1 ? 0 ? an ? n ? 0 ?

an ?1 ? (n ? 1) =2 an ? n

? { an ?n }是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列. ―――――――――――6 分
(2).由(1)知 an ? n = 2
n ?1

,? an = 2

n ?1

+n.

――――――――――8 分

265 是数列{ an }中的第 9 项.(原因是 { an }是递增数列,265 是奇数,它只能为{ an }中的奇数项, 又 256<265<512, ? 猜想是第 9 项,经验证符合猜想,不写原因不扣分) ―――9 分

S8

=(1+2+

+8)+(

20 ? 21 ?

? 27

)=291

19.解由条件 ?A = 60 ,设 ?ACD ? ? , ?CDB ? ? , 在 ?BCD 中,由余弦定理得 cos ? ?

CD 2 ? BD 2 ? BC 2 1 ? ? ------------4 分 2CD ? BD 7

C

A
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

D

B

? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

4 3 . 7
5 3 .―――――8 分 14

? sin ? ? sin(? ? 60 ) ? sin ? cos60 ? cos ? sin 60 =
在 ?ADC 中,由正弦定理,得 AD ?

CD ? sin ? ? 15 ( km )―――――――10 分 sin A

?

15 ? 60 ? 15 (分钟) 60

20. 解 设生产 A,B 两种产品各为 x,y 吨, 3x+10y≤300, ? ?9x+4y≤360, 利润为 z 万元,则? 4x+5y≤200, ? ?x≥0,y≥0.

z=5x+10y. 作出可行域(如图),作出在一组平行 直线 5x+ 10y=t(t 为参数),此直线经过 M(20,24),故 z 的最优解为(20,24),z 的最大值为 5× 20+ 10×24=34 0(万元). 21.解(Ⅰ )由 Sn ? 1 ? bn (1)

知当 n =1 时, b1 ? 1 ? b1 , ? b1 ? 当 n ? 2 时, Sn?1 ? 1 ? bn?1 (1) ? (2)得 2bn ? bn ?1 ,

1 . 2
(2)

b1 ? 0 ? bn ?1 ? 0
1 1 为首项以 为公比的等比数列, 2 2
――――――4 分

?

bn 1 ? bn ?1 2
1 2n

( n ? 2) ? {bn }是以

? bn ?

? b3 ?

1 8

? a2 ? 3, a5 ? 9

? 3d ? a5 ? a2 ? 6

?d ?2
―――――――6 分

故 a1 ? 1,? an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 . (Ⅱ )

2n ? 1 . ―――――――7 2n 1 3 5 2n ? 1 ① ―――――――8 ? Sn ? ? 2 ? 3 ? ? n 2 2 2 2 1 1 3 5 n 2? 3 n 2 ? 1 Sn ? ? 3 ? 4? ? ? n? 1 ② ―――――――9 2 n 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2n ? 1 ?② ① 得 S n ? ? 2( 2 ? 3 ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2 3 2n ? 3 2n ? 3 = ? n ?1 . ? Sn ? 3 ? n . 2 2 2 1 1 ?1, ? ? ? 22.解(1) a= 时, f(x)= x ? , x∈ ――――――――1 分 2 2x

an . bn =

令x?

1 2 ( x ? 0) ,得 x ? ? [1, ??) ? 不能用不等式求最值. 2x 2

设 1 ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? (

1 1 ? ) 2 x2 2 x1

= ( x1 ? x2 )(1 ?

1 )?0 2 x1 x2

?1, ? ? ? 上是单调递增函数. ? 函数 f(x) 在 x∈ 3 f (1 ?) ? fm i ( n x )? 2
(注:用不等式做一律不给分)

―――――5 分 ―――――6 分

(2)

a ,得 x ? a ? 1, a ?[1, ??) x ?1, ? ? ? 上是单调递增函数. ? 类似于(1)可知函数 f(x) 在 x∈
当 0 ? a ? 1 时,令 x ?

) ? 1 a ? ,得 4a ? 3 与 0 ? a ? 1 不符(舍) ―――――8 ? fm i ( n x)? f ( 1?
当 a ? 1 时, a ? 1 , ? 由不等式知 x ? 当x ?

a ?2 a x
[来源:学科网]

a ,即 x ? a 时, f min ( x) ? 2 a =4, x 解得 a ? 4
综上所述:函数 f ( x ) 的最小值为 4 时, a =4.

――――――12 分

(Ⅰ)因为 {an } 为等差数列,设公差为 d ,则由题意得

?a5 ? a7 ? 22 ? 2a1 ? 10d ? 22 ? ?a2 ? a5 ? a1 ? a14 ? (a1 ? d )(a1 ? 4d ) ? a1 (a1 ? 13d )
所以 an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 ……………3 分 由 bn ?

整理得 ?

?a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2 ?? ?a1 ? 1 ?d ? 2a1

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

所以 Tn ?

1 1 1 1 (1 ? ? ? ? 2 3 3 5

?

1 1 n ? )? ……………5 分 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

(Ⅱ)假设存在 由(Ⅰ)知, Tn ?

1 m n n , Tn ? ,所以 T1 ? , Tm ? 3 2m ? 1 2n ? 1 2n ? 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比,则有

Tm 2 ? T1 ? Tn ? ( ?

m 2 1 n m2 n ) ? ? ? ? ………8 分 2 2m ? 1 3 2n ? 1 4m ? 4m ? 1 6 n ? 3

4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3 3 4m ? 1 ? 2m 2 ? ? ? , 。 。 。 。 。 (1) m2 n n m2
2

因为 n ? 0 ,所以 4m ? 1 ? 2m ? 0 ? 1 ?
?

6 6 ,……………10 分 ? m ? 1? 2 2

因为 m ? N , m ? 1,? m ? 2, ,当 m ? 2 时,带入(1)式,得 n ? 12 ;

综上,当 m ? 2, n ? 12 可以使 T1 , Tm , Tn 成等比数列。……………12 分


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