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2018版高中数学人教版a版必修一学案:第二单元 §2.3 幂函数 含答案

§ 2.3 幂函数 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函 2 3 学习目标 1 1 数 y=x,y=x ,y=x ,y= ,y=x2 的图象,掌握它们的性质(重点).3.能利用 x 幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点). 预习教材 P77-P78,完成下面问题: 知识点 1 幂函数的概念 一般地,函数 y=xα 叫做幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 【预习评价】 4 (正确的打“√”,错误的打“×”) ) ) ) (1)函数 y=x-5是幂函数.( (2)函数 y=2-x 是幂函数.( 1 (3)函数 y=-x2 是幂函数.( 提示 (2)× (3)× (1)√ - 4 函数 y=x 5 符合幂函数的定义,所以是幂函数; 幂函数中自变量 x 是底数,而不是指数,所以 y=2-x 不是幂函数; 1 幂函数中 x 的系数必须为 1,所以 y=-x2 不是幂函数. α 知识点 2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象: (2)幂函数的性质: 幂函数 定义域 y=x R y=x2 R y=x3 R 1 y=x2 [0,+∞) y=x-1 (-∞,0)∪ (0,+∞) 值域 奇偶性 R 奇 [0,+∞) 偶 x∈[0,+∞), 单调性 增 增 x∈(-∞,0], 减 公共点 都经过点(1,1) 增 增 R 奇 [0,+∞) 非奇非偶 {y|y∈R,且 y≠0} 奇 x∈(0,+∞), 减 x∈(-∞,0), 减 【预习评价】 5 (1)设函数 f(x)=x3 ,则 f(x)是( A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 (2)3.17-3 与 3.71-3 的大小关系为________. 解析 (1)易知 f(x)的定义域为 R,又 f(-x)=-f(x),故 f(x)是奇函数. ) 1 (2)易知 f(x)=x-3= 3在(0,+∞)上是减函数,又 3.17<3.71,所以 x f(3.17)>f(3.71),即 3.17-3>3.71-3. 答案 (1)A (2)3.17-3>3.71-3 题型一 【例 1】 为( ) A.0 幂函数的概念 (1)在函数 y=x-2,y=2x2,y=(x+1)2,y=3x 中,幂函数的个数 B.1 C.2 D.3 (2)若 f(x)=(m2-4m-4)xm 是幂函数,则 m=________. 解析 (1)根据幂函数定义可知,只有 y=x-2 是幂函数,所以选 B. (2)因为 f(x)是幂函数,所以 m2-4m-4=1,即 m2-4m-5=0,解得 m=5 或 m =-1. 答案 (1)B (2)5 或-1 判断函数为幂函数的方法 规律方法 (1)只有形如 y=xα(其中 α 为任意实数,x 为自变量)的函数才是幂函数,否则 就不是幂函数. (2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y=xα(α 为常数)的形 式,函数的解析式为一个幂的形式,且:①指数为常数,②底数为自变量,③底 数系数为 1.形如 y=(3x)α,y=2xα,y=xα+5?形式的函数都不是幂函数.反过 来,若一个函数为幂函数,则该函数也必具有这一形式. 【训练 1】 ________. 解析 设 f(x)=xα,因为 f(4)=3f(2),∴4α=3×2α,解得:α=log23, ?1? 若函数 f(x)是幂函数,且满足 f(4)=3f(2),则 f? ?的值等于 ?2? 1 ?1? ?1? ∴f? ?=? ?log23= . 3 ?2? ?2? 答案 题型二 1 3 幂函数的图象及应用 【例 2】 (1)如图所示,图中的曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象,已知 1 n 取± 2,± 四个值,则相应于 C1,C2,C3,C4 的 n 依次为( 2 ) 1 1 A.-2,- , ,2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2 1 1 B.2, ,- ,-2 2 2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2 1? ? (2)点( 2,2)与点?-2,- ?分别在幂函数 f(x),g(x)的图象上,问当 x 为 2? ? 何值时,分别有:①f(x)>g(x); ②f(x)=g(x);③f(x)<g(x). (1)解析 根据幂函数 y=xn 的性质,在第一象限内的图象当 n>0 时,n 越大, 1 y=xn 递增速度越快,故 C1 的 n=2,C2 的 n= ;当 n<0 时,|n|越大,曲线越陡峭, 2 1 所以曲线 C3 的 n=- ,曲线 C4 的 n=-2,故选 B. 2 答案 (2)解 B 1 设 f(x)=xα,g(x)=xβ.∵( 2)α=2,(-2)β=- ,∴α=2,β=-1, 2 ∴f(x)=x2,g(x)=x-1.分别作出它们的图象,如图所示.由图象知: ①当 x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x); ②当 x=1 时,f(x)=g(x); ③当 x∈(0,1)时,f(x)<g(x). 规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为: ①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低);②在(1, +∞)上,指数越大,幂函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0,1 的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的 1 图象(类似于 y=x 或 y=x2 或 y=x3)来判断. -1 【训练 2】 m 如图是函数 y=xn (m,n∈N*,m,n 互质)的图象,则( ) m A.m,n 是奇数,且 <1 n m B.m 是偶数,n 是奇数,且 >1 n m C.m 是偶数,n 是奇数,且 <1 n m D.m 是奇数,n 是偶数,且 >1 n 解析 m 由图象可知 y=xn 是偶函数,而 m,n 是互质的

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