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高中数学数列知识及练习题附答案


数列的概念和性质(一)练习题

一、巩固提高 1. 数列 1,3,6,10,15,…的通项 an 可以等于( (A) ) (D) n ? 2n+2
2

n 2 ? (n ? 1)

(B)

n( n ? 1) 2

(C)

n( n+1) 2

2. 数列-1,0,-13,0,-25,0,-37,0,……的通项 an 可以等于(
n (- 1 ) ?1 (6n ? 5) (A) 2 n (- 1 ) ?1 (6n ? 5) 2 n (- 1 ) ?1 (6n ? 5) (B) 2 n (- 1 ) ?1 (6n ? 5) 2

)

(C)

(D)

3..巳知数列{an}的首项 a1=1, an?1 (A) 7 二、能力提升 (B)15

? 2an ? 1(n ? 2) ,则 a5 为( )
(C)30 (D)31

5. 根据数列的前几项,写出数列{an}的一个通项公式: (1 )

1 2 3 4 5 , , , , ,……; 3 15 35 63 99 2 4 1 4 , , , ……; 7 11 2 5

(2)2,-6,12,-20,30,……; (3 )

(4)9,99,999,9999,……; (5)34,3434,343434,34343434,……; 6. 写出下面各数列的一个通项公式: (1 ) ? (2 )

3 , ? 3 , ? 15 , ? 21 , ? 3 3 , ? 33 ,……;

2 6 12 20 30 42 , , , , , ,……; 3 7 13 21 31 43
答案 及时反馈 1.(1)

(3)0,1,1,2,2,3,3,…….

n ; (2) (?1) n n 2 ? 1 n?2

一.巩固提高 1.C.;2.A; 3D. 二.能力提升 5.(1) an =

n n?1 : (2) an = (?1) n(n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1)

1

(3) an =

4 17-3n

(为了寻求规律,将分子统一为 4,则有

4 4 4 4 , , , ,……; 14 11 8 5

所以 an =

4 ) 17-3n

(4) an = 10n ? 1 (5) an =

34 34 2 ( 102 n ? 1 ). 由(4)的求法可得 a1 = (10 -1) , 99 99 34 34 34 6 , a3 = (10 -1) ,……故 an = ( 102 n ? 1 ) a2 = (10 4 -1) 99 99 99

6.(1) ? 3(2n ? 1) ; (2)

n(n ? 1) ; n(n ? 1) ? 1

?n ?1 ? 2 (n为正奇数) n (?1) n ? 1 (3) a n ? ? ;或 a n ? ? . n 2 4 ? (n为正偶数) ? 2
(评注: a n ? ?

? f (n) (n为正奇数) 1 ? (?1) n 1 ? (?1) n f ( n) ? g ( n) ) ,则: a n ? 2 4 g ( n ) ( n 为正偶数) ?

数列的概念和性质(二)
2.由前 n 项和 S n 求通项公式 例2 已知数列{an}的前 n 项和为 S n ,请根据下列各式求{an}的通项公式.
2

(1) S n ? 2n ? 3n ; (2 ) S n ? 3 ? 2 .
n

即时反馈 1. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S n ? ?n ? 3n ? 5 ,求{an}的通项公式.
2

3.数列性质 例 3 已知数列 an= n ? kn ( n =1 , 2, 3, ……) 是递增数列, 求 k 的取值范围 (注意: . 应该由
2

k 3 < 得 k ? (??,3) , 2 2

而不是

k ? 1) 2

即时反馈 2. 已知数列{an}的通项公式 an= 2n ? 1 ,数列{bn}满足

2

(1 ? bn ?

1 1 1 )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) a1 a2 an 2n ? 1

,求证数列{bn}是单调递增数列.

例 4 已知数列{an}的通项公式 an =

17n ? 18 n ? 17

( n ? N * ), 求 an 取得最大值时 n 的值. (分析:分离常数得 an



17+

1 17-n

,当 n =4 时,an 最大)

即时反馈 3.已知数列{an}的通项公式 an= n ? 15n ? 40 ,求数列{an}中最小的项.
2

例5

已知有穷数列 1,12,123,1234,……123456789.在每一项的数字后面添写后一项的序号即是后一项. a6 ;

(1) 求出数列{an}的递推公式; (2) 求 a5, (3) 用上面的数列{an},通过公式 bn=an+1-an 构造一个新数列,写出数列{bn}的前 4 项; (4) 写出数列{bn}的递推公式; (5) 求出数列{bn}的通项公式. 即时反馈 4. 已知数列{an}的通项公式 an 与其前 n 项和 S n 满足 S n (1)求 a1; (2)求 an+1 与 an( n ? N (3)求 Sn+1 与 Sn( n ? N
*

? 2 ? 3an .

) 的递推关系; ) 的递推关系.

*

一、巩固提高

数列的概念和性质(二)练习
2

1.若数列{an}的前 n 项和 S n ? 2n ? 1 ,则 a1 与 a5 的值依次为( (A) 2,14 (B)2,18
2

)

(C)3,4

(D)3,18 )

2.若数列{an}的前 n 项和 S n ? 4n ? n ? 2 ,则该数列的通项公式为( (A)

an ? 8n ? 5 (n ? N * ) ? 8n ? 5 (n ? 2)

(B)

an ? 8n ? 5 (n ? N * )

(C) an

(D) a n
2

(n ? 1) ? 5 ?? * ?8n ? 5 (n ? 2, n ? N )
? a7 ? a8 ? ( )
(D)55

3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? n ? 2n ? 5 ,则 a6 (A) 40 (B)45 (C) 50

4.若数列 {an } 前8项的值各异,且 a n ?8 为( )

? an 对任意的 n ? N * 都成立,则下列数列中可取遍 {an } 前8项值的数列

3

(A) {a2k ?1} 二、能力提升

(B) {a3k ?1}

(C) {a4k ?1}

(D) {a6k ?1}

5.已知数列{an}满足 a1=1,当 n ? 2 时,恒有 a1a2……an=n2,则 a5 等于( (A)

)

3 2

(B)

9 4

(C)

25 9

(D)

25 16

6.数列{an}中,已知 a1=1,a2=5, an? 2 (A) 1 (B) -1

? an?1 ? an ( n ? N * ),求 a2008=( )
(C) 5 (D) 4 .

7.已知数列{an}满足 a1=1, an?1

? can ? b ,且 a2=3,a4=15,则常数 c、 b 的值为
an ? 3 3a n ? 1
( n ? N * ),求 a20.

8.已知数列{an}满足 a1=0, a n ?1 ?

2 2 9.设{an}是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?an ( n =1,2,3,…),求它的通项公式是 an. ?1 ? nan ? an?1an ? 0

10.已知数列{an}各项均为非负整数,满足 a1=0,a2=3, an?1an 求 a3. 11. 已知数列{an}中,a1=1, an ?1 (1)写出数列的前 5 项; (2)猜想数列{an}的通项公式.

? (an?1 ? 2) (an?2 ? 2) ( n =3,4,5……),

?

n a . n ?1 n

2 12. 已知数列{an}满足 a1=0, an?1 ? S n ? n ? 2n ( n ? N * ),其中 Sn 为{an}的前 n 项和,求此数列{an}的

通项公式.

答案:即时反馈 1.

(n ? 1) ? 1 an ? ? * ?? 2n ? 2 (n ? 2, n ? N )

即时反馈 2. 分析:

bn?1 ? bn

2n ? 1(1 ?

1 ) an?1

2n ? 3

?

2n ? 2 (2n ? 1)(2n ? 3)

?

4n 2 ? 8n ? 4 4 n 2 ? 8n ? 3

? 1,

所以数列 {bn } 是单调递增数列. 即时反馈 3. 数列 {an } 中最小的项是 a7 = a8 =16 分析:法 1:直接由二次函数性质求出 法 2:由 an > an-1 且 an < an+1 求出: 及时反馈 4. (1)
1 2

(2) a n ?1 ?

3 3 1 an ( n ? 1, n ? N * ) S n?1 ? S n ? ( n ? 1, n ? N * ) 2 4 4

巩固提高.1.D 2.D 3.B 4.B
4

能力提升.5.D. 分析: an =

a1a2 ??an 25 n2 ,所以 a5 = ? 2 16 a1a2 ??an?1 (n ? 1)

6. B. 分析:经计算可知每 6 个数数列将会重复出现, a2008 = a4 =-1 7. ?
?c ? 2 ?c ? ?3 或? ;. ?b ? 6 ?b ? 1

8. a20 ? ? 3 分析:计算出 a2 ? ? 3 , a3 ? 3 , a4 =0,所以 a 20 = a2 ? ? 3 9.

an ?

1 n

10. a3 =2

分析:当 n =3 时, a3 a4 =(3+2) (0+2)=10,由于 an 为非负整数,所以

a3 的可能取值为 1,2,5,10.
当 a3 =1 时, a4 =10, a4 a5 =(1+2) (3+2)=15,得 a5 =

3 ,不合题意; 2

当 a3 =2 时, a4 =5, a4 a5 =(2+2) (3+2)=20,得 a5 =4;此时 a5 a6 =(5+2) (2+2)=28, a6 =7,…… 当 a3 =5 时, a4 =2, a4 a5 =(5+2) (3+2)=35,得 a5 =

35 不合题意; 2

当 a3 =10 时, a4 =1, a4 a5 =(10+2) (3+2)=60,得 a5 =60;此时 a5 a6 =(1+2) (10+2)=36, a6 = 综合可知: a3 =2

3 ,不合题意 5

1 1 1 1 11. (1)1, , , , . 2 3 4 5

1 (2) an ? . n

? (n ? 1) ?0 12. a n ? ? ? + ?2n ? 1 (n ? 2, n ? N )

等差数列概念和性质
一、等差数列的性质: {an}是公差为 d 等差数列 定 义

an?1 ?a n ? d ? 2an?1 ? an ? an?2

5

? an ? pn ? q ( p ? d ) ? S n ? An2 ? Bn ( A ?
am ? an ? ak ? al (m ? n ? k ? l ) ( m, n, k , l ? N * )


d ) 2

d?


am ? an ? a m ?an ? (m ? n)d m?n

{akn?b } 仍是等差数列,公差为 kd ( k ? N * , kn ? b ? N * )
数列 Sn、S2n-Sn、S3n-S2n、…是公差为 n2d 的等差数列

项数为 2 n 时

S偶 ? S奇 ? nd

S奇 S偶

?

an an?1

S奇 ? S偶 ?a n?1 ? a中
项数为 2n ? 1

S偶 S奇

?

n n ?1

(项数之比)

S 2n?1 ? (2n ? 1 )an?1 ( an?1 ? a中 )
若数列{an}、{bn}分别是公差为 d1、d2 的等差数列,则数列{xan+ybn}也是等差数列,其公差为 xd1+yd2.

等差数列性质应用
二、等差数列性质的应用 例 1 在等差数列{an}中,若 a1+ a2+……+a10= p, an-9+ an-8+……+an=q( n ? 10,n ? N ),求数列{an}的前 n 项和 Sn. 即时反馈 1.一个有限项的等差数列,前 4 项之和为 40,最后 4 项之和是 80,所有项之和是 210,则此数列的项数为( (A) 12 (B) 14 ) (D) 18 (C) 16

例 2 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

S3 1 S ? ,求 6 . S6 3 S 12

即时反馈 2. 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S10=100, S100=10,试求 S120. 例 3 已知数列{an}、{bn}都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1、b1,且 a1+b1=5,a1,b1 ? N ,设
*

cn ? abn ( n ? N * ),求数列{cn}前 10 项和.
即时反馈 3. 设等差数列{an}的公差为 ? 2 ,a1+a4+a7+……+a97=50,求 a3+a6+ a9+……+a99. 例 4 两等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 S n 和Tn ,若

S n 3n ? 5 a ,求 15 . ? Tn 2n ? 7 b15

6

即时反馈 4. (07 湖北)两等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若 的正整数 n 的个数.

S n 7n ? 45 a ,求 n 为整数 ? Tn n?3 bn

等差数列性质应用(一)练习
1. 已知某等差数列共有 10 项,其奇数项和为 15,偶数项和为 30,则公差为( (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 )

2. 设数列{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80 则 a11 (A) 120 (B) 105 (C) 90 (D) 75

? a12 ? a13 ? ( )

3. 在等差数列{an}中,若 a4 (A) 48 (B) 54

? a6 ? 12 ,设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S9 的值为( )
(C) 60 (D) 66

4. 在等差数列{an}中,已知 a1 (A) 40 (B) 42

? 2 , a2 ? a3 ? 13,则 a4 ? a5 ? a6 ? ( )
(C) 43
2

(D) 45

5. 若等差数列{an}的前 n 项和 S n ? n ? 2n ? m ,则 m ? _____;公差 d =___. 二、能力提升 6.数列{an}为等差数列,公差为 d,则数列 a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 (A) 公差为 3d 的等差数列

? a8 ? a9 ,? 是( )

(B) 公差为 6 d 的等差数列 (D)公差为 d 的等差数列
3

(C)公差为 9 d 的等差数列

7. 在等差数列{an}中,a15 = 10,a45 = 90,则 a60=___________. 8. 若等差数列{an}的项数为奇数 n,则奇数项之和与偶数项之和的比是_________. 9. 等差数列{an}有 12 项,且 S12 = 354,其中

S奇 S偶

?

27 ,则公差 d =__________. 32

10. 在等差数列{an}中,公差 d ?

1 , S100 ? 45 ,则 S 奇 ? ____________. 2
.

11. 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S5 = 10,S10=-5,则公差 d= 12. 项数为 2n 的等差数列{an}中, S 奇

? 24 , S 偶 ? 30 , a2n?1 ? a1 ? 10.5 ,则项数为_____. ? ?8 , S9 ? ?9 ,则 S16=
.

13.(08 重庆)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, a12

答案 即时反馈 1. B; 巩固提高 1:B. 2:B.

即时反馈 2. ? 252 ; 即时反馈 3. ? 82 ;

即时反馈 4. 5 个

由于 S 偶-S 奇 =5 d =15,所以 d =3

由 a1 ? a2 ? a3 ? 15 可知 a 2 ? 5 ,所以 5(5- d ) (5+ d )=80,故 d =3

10d )=105 而 a11 ? a12 ? a13 ? 3 a12 =3( a2+
7

3:B. 4:B.

由于 2 a5 = a4 ? a6 ? 12 ,所以 a5 =6,所以 S 9 =9 a5 =54 由于 a1+a 4 = a2 ? a3 ? 13且 a1 ? 2 得 a4 =11, 所以 d =3, 而 a4 ? a5 ? a6 ? 3 a5

=3( a4 + d )=42 5: m ? 0;公差 d =2. 由公式 S n ? An2 ? Bn ( A ? 能力提升 6. C 7. 130. 8. 由于 2 a30 = a15 + a 45 , 所以 a30 =50, 而 a 60 + a15 = a30 + a 45 , 所以 a 60 =130

d )直接可得 2

n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 . 由于有 个奇数项, 个偶数项,所以项数之比为 n ?1 2 2 n ?1
5. 由

9.

S奇 S偶

?

32-27 6d 5 27 S 偶-S 奇 ? 得 = ,即 ,所以 d =5 32+27 354 59 32 S 偶+S 奇

10. 10.

由于 S 偶-S 奇 =50 d =25,且 S 偶 ? S 奇 =45,所以 S 奇 =10

11. d =-1 . S10 - S 5 = a6 ? a7 ? ……+ a10 =-15, ( S10 - S 5 )- S 5 =5×5 d =-25, 所以 d =-1 12. 16.

S偶-S 奇 = nd =6, a2n?1 ? a1 ? 2( n ? 1)d =10.5,相除得 n =8 因此项数为 16
S9 ?

13. ? 72 .

(a1 ? a9 ) ? 9 ? ?9, a1 ? a9 ? 2a5 ? a5 ? ?1? a5 ? a12 ? ?9 , 2 (a ? a ) ?16 (a5 ? a12 ) ?16 ?9 ?16 S16 ? 1 16 ? ? ? ?72 2 2 2

等差数列性质应用(二)
学 习 内 容
2 * 例 1 已知数列{an}共有 k 项,它的前 n 项和 S n = 2n ? n ( n ? k , n ? N ),现从这 k 项中抽取一项(不

是首项和末项),余下的 k-1 项的算术平均值为 79. (1)求 an; (2)求数列的项数 k,并求抽取的是第几项. 即时反馈 1. 设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.

3 2 ,公差 d =1,求满足 S 2 ? (Sk ) 的正整数 k ; k 2 2 (2)求所有的无穷等差数列 {an } ,使得对于一切正整数 k 都有 Sk 2 ? (Sk ) 成立.
(1)若首项 a1 ? 例 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1 =1, a2 =6, a3 =11,

8

且( 5n ? 8 ) S n?1 -( 5n ? 2 ) S n = An ? B . (1) 求 A、B 的值; (2) 证明:数列{an}是等差数列. 即时反馈 2. 已知数列{an}满足 a1= a , an?1 ? S n ? n 2 ? 2n( n ? N ),其中 Sn 是数列{an}的前 n 项和. 是
*

否存在实数 a 使得数列{an}是等差数列?若存在, 求 出数列{an}通项公式; 若不存在, 说明理由. 例 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 设 an >0( n ? N ),且 an +
*

1 =2 S n ,求 an. an

即时反馈 3.已知设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= (- 1)

n ?1

n ( n ? N * ),求 an.
)

例 4 在公差 d 不为零的等差数列{an}中,前 n 项的和为 Sn,若 a1>0,S3 = S11,求数列前多少项的和最大. 即时反馈 4. 在等差数列{an}中,S10 > 0, S11<0,则使 an < 0 的最小的 n 值是( (A) 5 (B) 6 (C)7 (D)8

等差数列性质应用(二)练习
一、巩固提高 1.在等差数列{an}中,已知 a4 + a7 + a10 =17,a4+ a5+ a6+ ……+ a14 = 77, 若 ak=13,则 k 等于( (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22 ) 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn = n(n-40),则下列判断正确的是( (A) a19 ? 0, a21 ? 0 (C) (B) a20 ? 0, a21 ? 0 (D) )

a19 ? 0, a21 ? 0

a19 ? 0, a20 ? 0

3.首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是( ) 8 8 8 (A) d > (B)d <3 (C) ≤ d <3 (D) < d ≤3 3 3 3 4.(04 年全国卷三.理 3)设数列{an}是等差数列,且 a2 =-6,a8 = 6,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则( (A)

)

S 4 ? S5

(B) S 4

? S5

(C) S6

? S5

(D) S 6

? S5
()

5. ( 05 湖 南 卷 ) 已 知 数 列 {log2(an - 1)}(n ∈ N*) 为 等 差 数 列 , 且 a1 = 3 , a2 = 5 , 则
n ??

lim (

1 1 1 ? ? ?? ? )=( ) a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an 3 (A) 2 (B) (C) 1 2

(D)

1 2

二、能力提升 6.数列{an}中, Sn= 4an-1+1 ( n≥2 )且 a1=1. 若 c n ?

an ,求证: 数列{cn}是等差数列. 2n

7.在等差数列{an}中,a1+a2+a3+……+a99=99,公差 d =1,求 a3+a6+ a9+……+a99 的值.

9

8.已知数列{an},求分别满足下列条件的 an: ① a1=29, an

? an ?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ;

② a1 = 1,

an n ? (n ? 2) ; an ?1 n ? 1

③ a1=1,

an ?1 ? an ? an an ?1 ;

④ a1=1,an+1 +2 an = 2.
2 9.已知数列{an}中,a1=2,其前 n 项和为 Sn,若 n ? 2 时, Sn ? n an ,求 an.

答案: 即时反馈 1. (1)当 a1 ?

3 3 n(n ? 1) 1 2 , d ? 1 时, S n ? n ? ? n ? n ,由 S k 2 ? (S k ) 2 得, 2 2 2 2 1 1 4 1 k ? k 2 ? ( k 2 ? k ) 2 ,即 k 3 ( k ? 1) ? 0 ,又 k ? 0 ,所以 k ? 4 . 2 2 4

? S1 ? ( S1 ) 2 2 d (2)设数列 ?an ? 的公差为 ,则在 S k 2 ? (S k ) 中分别取 k ? 1,2 得 ? 2 ?S 4 ? ( S 2 )

? a1 ? a12 ? 即? 4?3 2 ?1 2 ,由(1)得 a1 ? 0 或 a1 ? 1 . 4 a ? d ? ( 2 a ? d) 1 1 ? 2 2 ?
当 a1 ? 0 时,代入(2)得: d ? 0 或 d ? 6 ; 当 a1 ? 0, d ? 0 时, an ? 0, S n ? 0 ,从而 S k 2 ? (S k ) 成立; 当 a1 ? 0, d ? 6 时,则 an ? 6(n ? 1) ,由 S3 ? 18 , (S3 ) 2 ? 324 , S9 ? 216 知, 2 S9 ? (S3 ) ,故所得数列不符合题意;
2

2 当 a1 ? 1 时,d ? 0 或 d ? 2 ,当 a1 ? 1 ,d ? 0 时,an ? 1, S n ? n ,从而 S k 2 ? (S k ) 2 成立;当 a1 ? 1 , d ? 2 时,则 an ? 2n ? 1, S n ? n 2 ,从而 S k 2 ? (S k ) 成立,综上

2 2 另解:由 S k 2 ? (S k ) 得 k [a1 ?

1 1 (k ? 1)d ]2 ? k 2 [a1 ? (k 2 ? 1)d ] ,整理得 2 2 1 1 1 1 1 ( d 2 ? d )k 2 ? (da1 ? d 2 )k ? (a12 ? a1 ? d 2 ? d ? da1 ) ? 0 对于一切正整数 k 都 4 2 2 4 2

共有 3 个满足条件的无穷等差数列; an ? 0 或 an ? 1 或 an ? 2n ? 1 .

?1 2 1 ?4 d ? 2 d ? 0 ? ? d ? 0 ?d ? 0 ?d ? 2 1 2 ? 成立,则有 ? da1 ? d ? 0 解之得: ? 或? 或? 2 a ? 1 a ? 0 ? 1 ?a1 ? 1 ? 1 ? 1 2 1 ? 2 ? a1 ? a1 ? 4 d ? 2 d ? da1 ? 0 ?
所以所有满足条件的数列为: an ? 0 或 an ? 1 或 an ? 2n ? 1 .
10

即时反馈 2 不是. 提示:令 n ? 1 得, a1 ? a2 ? 3 ,所以 a2 ? 3 ? a 当 n ? 3 时, 若数列 {an } 是等差数列, 则 a1 = a ? 1 , a2 ? 3 ? a ? 3 此时 a ? 0 an ? 2n ? 1 , 故这样的 a 不存在. 所以数列 {an } 不是等差数列 即时反馈 3.
n ?1 (n? N*) (- 1 ) (2n- 1 ) an =

分析: (1)当 n =1 时, a1 = S1 =1
n ?1 (2)当 n ? 2 时, an = S n - S n ?1 = ,当 n =1 时,也适合, (- 1 ) (2n- 1 )

n ?1 (- 1 ) (2n- 1 ) 所以 an = ( n ? 2) , (n? N*)

即时反馈 4. A 巩固提高:1. B 2.C 能力提升:6.证明略

3.D

4.B

5.C

7. 解 a3 ? a6 ? a9 ? …… ? a99 =66 分析:设 T1 = a1 ? a4 ? a7 ? …… ? a97 ,

T2 = a2 ? a5 ? a8 ? …… ? a98 ,
T3 = a3 ? a6 ? a9 ? …… ? a99 ,
则 T3 - T2 =33 d , T2 - T1 =33 d ,即 T2 = T3 -33 d , T1 = T3 -66 d 所以 T1 + T2 + T3 =3 T3 -99 d =99,所以 T3 =66 8. 变式 1.即 n =7 或 n =8, S n 取最大值. 分析:若用解法 1,当 n =

15 15 15 ? N * ,因此需取距 较近的正整数, 时,取最大值,但是 2 2 2

即 n =7 或 n =8, S n 取最大值. 另两种解法略(同学们一定自己认真完成) 变式 2.(1)若 m ? n 为偶数,则 k ?

m?n ? N * ,所以 S m? n 最大 2 2

(2)若 m ? n 为奇数,则 k ?

m?n ? N * ,所以 S m?n?1 = S m?n?1 最大 2 2 2

分析:用解法 3 非常简单,另两种解法略(同学们一定自己认真完成)

11

解:由 S m?S n (m ? n) 可知,对称轴为 k ? (1)若 m ? n 为偶数,则 k ?

m?n 2

m?n ? N * ,所以 S m? n 最大 2 2 m?n ? N * ,所以 S m?n?1 = S m?n?1 最大 2 2 2
④ an ?

(2)若 m ? n 为奇数,则 k ? 9.① an ? n2 ? 28 10. an ? ② an ?

2 1 ③ an ? 2 n ?1 n

2 1 ? ? (?2) n ?1 3 3

4 n(n ? 1)

12


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