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高中数学-2.3概率期望与方差


离散型随机变量的数学期望和方差

一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列 X

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · · · · ·

P

p1

p2

pi

2、离散型随机变量分布列的性质:

(1)pi≥0,i=1,2,…; (2)p1+p2+…+pi+…=1.

二、互动探索
1、某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1, 1,2,2,2,3,3,4;则所得的平均环数是 多少?

1?1?1?1? 2? 2? 2? 3? 3? 4 X? ?2 10
X P 1
4 10

把环数看成随机变量的概率分布列:
2
3 10

3
2 10

4
1 10

权数
加 权 平 均

4 3 2 1 X ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 10 10 10 10

2、某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg, 36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售, 如何对混合糖果定价才合理? 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列:
X P 18
3 6

24
2 6

36
1 6

1 1 1 X ? 18? ? 24? ? 36? ? 23(元 / kg) 2 3 6

一、离散型随机变量的均值 数学期望 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X
P

x1

x2

· · · xi
· · · pi

· · · xn
· · · pn

p1

p2

则称 EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ? ? xn pn 为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。
2 DX ? ( x1 ? EX )2 p1 ??? ( xi ? EX ) pi ??? ( xn 2? EX ) pn

为随机变量X的方差。 称 DX 为随机变量X的标准差。 它们都是反映离散与集中,稳定与波动的水平。

数学期望与方差的性质

E (aX ? b) ? aEX ? b
基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
ξ P 1 0.5 3 0.3

D(aX ? b) ? a DX
2

5 0.2

(1)则Eξ=

2.4

. Dξ = 2.44 . Dη = 9.76
10 0.2

5.8 (2)若η=2ξ+1,则Eη= 2、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b

Eξ=7.5,则a=

0.1 b=

0.4 .

例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,则他罚球1次的得分X的均值和方差是多 少? 小结: 一般地,如果随机变量X服从两点分布,
X 1 0

P

p

1- p



EX ? 1? p ? 0 ? (1 ? p) ? p
DX ? p(1 ? p)

例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,他连续罚球3次; (1)求他得到的分数X的分布列; (2)求X的期望和方差。 解:(1) X~B(3,0.7)
X P 0 1
3

2
2

3

0.3

C 0.7 ? 0.3
1 3

C 0.7 ? 0.3
2 3 2

0.7

3

1 2 (2) EX ? 0 ? 0.33 ? 1? C3 0.7 ? 0.32 ? 2 ? C3 0.72 ? 0.3 ? 3 ? 0.73 EX ? 2.1 ? 3 ? 0.7 DX ? 0.63 一般地,如果随机变量X服从二项分布,

即X~B(n,p),则 EX ? np DX ? np(1 ? p)

例3.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球, 从中摸出3个球. (1)求得到黄球个数ξ的分布列; (2)求ξ的期望和方差。 解: (1) ξ 服从超几何分布
ξ P 0
0 3 C2 C3 3 C5

1
1 2 C2 C3 3 C5

2
2 1 C2 C3 3 C5

小结: 一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几 何分布,则
nM E?X ? ? N

1 6 3 (2) E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1.2 10 10 10

D? ?

四、应用
例:甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数X1, X2分布列如下: X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。

解:EX 1 ? 9, EX 2 ? 9

DX1 ? 0.4, DX2 ? 0.8

表明甲、乙射击的平均水平没有差别,在多次射击中 平均得分差别不会很大,但甲通常发挥比较稳定,多 数得分在9环,而乙得分比较分散,近似平均分布在8 -10环。

X1 P

8 0.2

9 0.6

10 0.2

X2 P

8 0.4

9 0.2

10 0.4

EX1 ? 9, EX 2 ? 9

DX1 ? 0.4, DX2 ? 0.8

问题1:如果你是教练,你会派谁参加比赛呢? 问题2:如果其他对手的射击成绩都在8环左右, 应派哪一名选手参赛? 问题3:如果其他对手的射击成绩都在9环左右, 应派哪一名选手参赛?

练习:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能 获得如下信息:
甲单位不同职位月工 资X1/元 获得相应职位的概 率P1 乙单位不同职位月工 资X2/元 获得相应职位的概 率P2 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 1800 0.2 0.1

1800 2200 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

解:EX 1 ? 1400 , EX 2 ? 1400

DX1 ? 40000, DX 2 ? 160000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下, 如果认为自己能力很强,应选择工资方差大 的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强, 就应选择工资方差小的单位,即甲单位。

相关练习:

1 1、 已 知 ? ? 3? ? , 且D? ? 13, 则D? ? 117 8

2、已知 X~B(n, p),EX ? 8, DX ? 1.6, 则n ?10 , p ?0.8
3、有一批数量很大的商品,其中次品占 1%,现从中任意地连续取出200件商品, 设其次品数为X,求EX和DX。 2,1.98 4. 一个袋子里装有大小相同的3 个红球

和2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红
球次数的数学期望是 3 .

课堂小结
一、离散型随机变量的期望和方差

X
P

x1

x2

· · · xi

· · · xn

p1
2

p2

· · · pi
2

· · · pn
2

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
DX ? ( x1 ? EX ) p1 ? ?? ( xi ? EX ) pi ? ?? ( xn ? EX ) pn

二、性质 E(aX ? bX )? Ea
Xp E ?

?b

D(aX ? b) ? a DX
2

三、如果随机变量X服从两点分布,
DX ? p(1 ? p)
四、如果随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p)

EX ? np

DX ? np(1 ? p)

1.一次英语单元测验由20个选择题构成,每 个选择题有4个选项,其中有且只有一个选 项是正确答案,每题选择正确答案得5分, 不作出选择或选错不得分,满分100分,学 生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙在测 验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。 求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩 5,25 的期望和方差。 设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分
别是,则~ B(20,0.9),, 由于答对每题得5分,学生甲和乙在这次英语测验中的成绩 分别是5和5 所以,他们在测验中的成绩的期望分别是:

作业

2.某商场的促销决策:统计资料表明,每年国 庆节商场内促销活动可获利2万元;商场外促 销活动如不遇下雨可获利10万元;如遇下雨 则损失4万元。9月30日气象预报国庆节下雨 的概率为40%,商场应选择哪种促销方式? 3.若保险公司的赔偿金为a(a>1000)元,为 使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七, 则保险公司应将最大赔偿金定为多少元?

?
P

1000 0.97

1000-a 0.03
得a≤10000

设在商场外开展促销活动获得的积极效益 为x万元,则有x的分布列
x -4 10 p 0.4 0.6 E(x)=-4*0.4+10*0.6=4.4万元

所以

E ? = 1000-0.03a≥0.07a

这说明在国庆节当地有雨的概率为0.4的情况下,在商场外开展促销活动获得的积极效益的期望是 4.4万元,超过在商场内促销活动可获得的经济效益2万元,所以,商场应选择外促销活动

故最大定为10000元。

4.(07全国)某商场经销某商品,根据以往资料统 计,顾客采用的分起付款期数 ? 的分布列为:

?
P

1 0.4

2 0.2

3 0.2

4 0.1

5 0.1

商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200 元,分2期或3期付款,其利润为250元,分4期或5 期付款,其利润为300元,? 表示经销一件该商品的 利润。

(1)求事件A:”购买该商品的3位顾客中,至少有 一位采用1期付款” 的概率P(A);
(2)求 ? 的分布列及期望E? 。

解:(Ⅰ)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1 位采用1期付款”, 知 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款” , (1-0.4)3=0.216,


(Ⅱ)η的可能取值为200元,250元,300元,





η的分布列为


元)。

5、服从几何分布的随机变量的方差

若p(ξ=k)=g(k,p),则Eξ=1/p

q D? ? 2 p
ξ P 1 p 2 pq 3 … pq2 … k … pqk-1 …


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