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自主招生竞赛三角函数【学生版】


三角函数 知识定位 三角函数的知识无论是在高考, 自招还是竞赛中都是必考知识。 有时三角函数会以单独 题目出现,如解三角形,证明三角恒等式、不等式等,也有时是解决其他问题的必经之路或 是辅助工具,如数列问题,平面几何问题,复数问题等等。 本节将介绍三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。 (注:本章中 A,B,C 同时出现即默认为三角形 ABC 的三个内角) 知识梳理 三倍角公式 sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin 3 ? ? 4 sin ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) 3 3 cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos? ? 4 cos? cos( ? ? ) cos( ? ? ) 3 3 3 3 tan? ? tan ? ? ? tan3? ? ? tan? tan( ? ? ) tan( ? ? ) 2 3 3 1 ? 3 tan ? ? ? ? ? 三角形的一些简单的恒等式 tan A ? tan B ? tanC ? tan A tan B tanC cot A cot B ? cot B cot C ? cot C cot A ? 1 A B C A B C cot ? cot ? cot ? cot cot cot 2 2 2 2 2 2 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C ? 4 sin A sin B sin C A B B C C A tan ? tan tan ? tan tan ? 1 2 2 2 2 2 2 A B C sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos cos cos 2 2 2 A B C cos A ? cos B ? cosC ? 1 ? 4 sin sin sin 2 2 2 cos2 A ? cos2 B ? cos2 C ? 2 cos A cos B cosC ? 1 tan 三角不等式 A B C 1 sin sin ? 2 2 2 8 A B C 1 cos cos cos ? 2 2 2 8 1 ? cos A ? cos B ? cosC ? sin A ? sin B ? sin C sin tan A ? tan B ? tanC ? cot A ? cot B ? cot C 1 ? cos A ? cos B ? cosC ? sin A ? sin B ? sin C ? 3 3 2 3 2 例题精讲 一.三倍角公式 【例 1】 【题目来源】 【题目】设 x 为锐角,并且满足 【难度系数】1 cos 3 x 1 sin 3 x ? ,求 的值。 sin x cos x 3 【例 2】 【题目来源】 【题目】证明: sin 3? ? 4 sin ? sin( 【难度系数】2 ? 3 ? ? ) sin( ? 3 ??) 【例 3】 【题目来源】 【题目】证明: tan 3? ? tan ? tan( 【难度系数】2 ? 3 ? ? ) tan( ? 3 ??) 【例 4】 【题目来源】 【题目】求 cot 15? cot 25? cot 35? cot 85? 的值。 【难度系数】3 二.三角形的一些简单的恒等式 【例 5】 【题目来源】 【题目】证明: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C 【难度系数】1 (PS:由本题结论即推得 cot A cot B ? cot B cot C ? cot C c

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