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高中数学(理)一轮复习课件:第5章 第37讲 复数的几何意义及其应用

1.(2011 ? 无锡期末卷)已知复数z ? ? m 2 ? 2 ? ? ? m ? 1? i对应的点位于第二象限,则实数m (1,2) 的范围为     . 解析:因为复数对应的点在第二象限, ?m2 ? 2 ? 0 ? ?? 2 ? m ? 2 所以 ? ?? ? ?m ? 1 ? 0 ?m ? 1 ? m ? (1,2). 2.若复数z满足 z ? 1 ? z ? i ,那么z在复平面内对 应的点所表示的图形是 直线 3.若复数 ? m 2 ? 3m ? 4 ? ? ? m 2 ? 5m ? 6 ? i表示的点在 虚轴上,则实数m的值为 ?1或4  uur uuu r uuu r 4.在复平面内,O是原点, OA、 OC、 AB表示的复 uuu r 数分别是 ? 2 ? i、 3 ? 2i,1 ? 5i,那么BC表示的复 数为 4 ? 4i 5.已知复数z满足 z ? 2 ? 2i ? 1,则 z ? 2 ? 2i 的 最小值是   3   . 解析: z ? 2 ? 2i ? 1表示z对应的点在以 ? ?2, 2 ? 为 圆心,半径为1的圆上, z ? 2 ? 2i 表示z的对应点,即圆上动点到 ? 2, 2 ?的距离, 由几何图形得 z ? 2 ? 2i 的最小值为3. 复数的加减法的运算 【例1】 在复平面内点A、B、C对应的复数分 别为i、 1、+ 4 2i,由A ? B ? C ? D按 ??? ? 逆时针顺序作? ABCD,求 | BD | . ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】因为BA =OA-OB, ??? ? 所以向量 BA对应的复数为-1+i. ??? ? ???? ??? ? 因为BC=OC-OB, ??? ? 所以向量 BC对应的复数为(4+2i)-1=3+2i. ??? ? ??? ? ??? ? 又因为BD=BA+BC, ??? ? 所以向量 BD对应的复数为 (-1+i)+(3+2i)=2+3i, ??? ? 所以 | BD | = | 2+3i | = 13. 由本题可知复数的加减法的 几何意义,即向量的和(差)分别对 ????? 应复数的和(差).若向量Z1Z 2对应 ????? 2 2 的复数为a +bi,则| Z1Z 2 |= a ? b . 【变式练习1】 已知复平面上正方形 ABCD 的三个顶 点是A(1,2)、B(-2,1)、C(-1,-2), 求它的第四个顶点D对应的复数. 【解析】设D ( x,y ), ???? ???? ??? ? 则 AD=OD-OA对应的复数为 ( x+yi)-(1+2i)=( x-1)+( y-2)i, ??? ? ???? ??? ? BC=OC-OB对应的复数为 (-1-2i)-(-2+i)=1-3i. ???? ??? ? 因为 AD=BC,所以( x-1)+( y-2)i=1-3i, ?x ?1 ? 1 ?x ? 2 所以 ? ,解得 ? ? y ? 2 ? ?3 ? y ? ?1 所以顶点D对应的复数为2-i. 利用 |z1 - z2| 的几 何意义解题 【例2】 已知复数 z 满足 2≤|z + i|≤4 ,试说 明复数 z 在复平面内所对应的点 的轨迹. 【解析】因为 |z + i| 的几何意义是动点 Z 到定 点-i的距离,所以满足2≤|z+i|≤4的动点Z的 轨迹是以-i为圆心,2为半径的圆外(含边界) 和以- i 为圆心, 4 为半径的圆内 ( 含边界 ) 之 间的圆环(含边界), 如右图阴影部分所示. 在复平面内,两点Z1,Z 2间的距离 ????? ???? ? ???? ? | Z1Z 2 |=| OZ 2 - OZ1 |=| z2 -z1 | 是复数几何 意义的基础.由复数满足的条件,结 合复平面内的图形来分析、解决问题, 是数形结合的典型. 【变式练习2】 若复数z满足 | z+ 3+i |? 1.求: ?1? z 的最大值和最小值; ? 2 ? | z-1|2 + | z+1|2 的最大值和最小值. 【解析】 | z+ 3+i |? 1表示z对应的 点M 在以C (- 3,-1) 为圆心, 1为半径的圆的 内部(包括边界)(如图). (1)|z|表示圆上动点M到原点的距离, 所以|z|max=3,|z|min=1. (2) 因为 2(MA2 + MB2) = AB2 + (2MO)2 , 所以|z-1|2+|z+1|2=2+2MO2, 而MO最大值为3,最小值为1. 所以 |z - 1|2 + |z + 1|2 最大值和最小值 分别为20和4. 复数的模及几何意义 【例3】 若复数z满足|z+2|+|z-2|=8,求|z +2|的最大值和最小值. 【解析】在复平面内满足 |z + 2| + |z - 2| = 8 的复数 z 对应的点的轨迹是以点 ( - 2,0) 和 (2,0) 为 焦 点 , 8 为 长 轴 长 的 椭 圆.|z+2|表示椭圆上的点到焦点(-2,0) 的距离.椭圆长轴上的两个顶点到焦点 的距离分别是最大值和最小值.因此, 当 z = 4 时, |z + 2| 有最大值 6 ;当 z =- 4 时 ,|z+2|有最小值2. 此题若令z=x+yi,问题的条件和 结论都是较复杂的式子,不好处 理.从复数的加、减法的几何意义去 理解,则是一道简单的几何问题. 【变式练习3】 已知 |z| = 1 ,设复数 u = z2 - 2 , 求|u|的最大值与最小值. 【解析】方法1: (代数法)设z=x+yi( x,y ? R ), 则x +y =1,所以u=z -2=( x+yi) -2 =( x -y -2)+2xyi, 故 u = ? x 2 ? y 2 ? 2 ?2 ? 4 x 2 y 2 = ? x ? y ? ? 4x ? 4 y ? 4 ? 9 ? 8x .

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