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山东省2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编4:平面向量


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山东省 2014 届高三文科数学一轮复习之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 4:平面向量
一、选择题

1 .【解析】山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)若两个非零向量 a , b 满足 (

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ( | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 a 的夹角为 ? ? 2? 5? A. B. C. D. 6 3 3 6 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? 2 ? ? ?2 【 答 案 】 B 由 a ? b ? a ? b 得 , a ? 2 a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b , 即 a ? b ? 0 . 由 ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ?2 ?2 ?2 a ? b ? 2 a , 得 a ? 2a ? b ? b ? 4a , 即 b ? 3a , 所 以 b ? 3 a , 所 以 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? 2 ( a ? b) ? a ? a ? a ? b ? a , 所 以 向 量 a ? b 与 a 的 夹 角 的 余 弦 值 为 ? ? ? ?2 ( a ? b) ? a a 1 ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ,选 B. 3 a?b ? a 2 a ? a 2
? ? ? ? ? ? a ? ( 3,1), b ? (0,1), c ? ( k , 3), 若a ? 2b与c垂直, 则k ?
B.—2 C.l



2 . 【解析】山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(文)试题) 已知向量 (

( D.-l



? ? ? ? ? ?? ? ? ? ( ) c c c 【答案】 A【解析】因为 a ? 2b与c 垂直,所以有 a ? 2b ? =0 ,即 a ? ? 2b? =0 ,所以 3k ? 3 ? 2 3 ? 0 ,解得 k ? ?3 ,选 A. 3 .【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析)已知 O 是 ?ABC 所在 ( ??? ??? ???? ? ? ? 平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,则有 ( ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? A. AO ? 2OD B. AO ? OD C. AO ? 3OD D. 2AO ? OD ??? ??? ???? ? ? ? ??? ???? ? ??? ? ???? 【 答 案 】 B 解 : 由 2OA ? OB ? OC ? 0 得 OB ? OC ? ?2OA ? 2 AO , 即 ??? ???? ? ???? ???? ???? ???? OB ? OC ? 2OD ? 2 AO ,所以 OD ? AO ,即 O 为 AD 的中点.选 B. 4 . ( 【解析】 山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学 (文) 试题) 已知点 A(?1,1), B (2, y ) , uuu r r 向量 a=(1,2),若 AB / / a ,则实数 y 的值为 (
A.5
【答案】C【解析】 AB ? (3, y ? 1) ,因为 AB / / a ,所以 y ? 1 ? 2 ? 3 ? 0 ,即 y ? 7 ,选 5 . (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测 (二模) 数学 (文) 试题) 如图,平行四边形 ABCD

A.—3





??? ?

B.6

uuu r

C.7

r

D.8 C.

中, AB ? 2, AD ? 1, ?A ? 60 ,点 M 在 AB 边上,且 AM ?
?

???? ??? ? ? 1 AB,则DM ? DB 等于 3

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3 C. ?1 D.1 2 ???? ??? ???? ??? 1 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 【 答 案 】 D DM ? DA ? AM ? DA ? AB, DB ? DA ? AB , 所 以 3 ???? ??? ? ? ??? 1 ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 1 ??? 2 4 ??? ??? ? ? ? ? ? 4 4 ???? ??? DM ? DB ? ( DA ? AB) ? ( DA ? AB) ? DA ? AB ? DA ? AB ? 1 ? ? AD ? AB 3 3 3 3 3 ? 7 4 ???? ??? 7 4 1 D. ? ? AD ? AB cos 60? ? ? ? 1 ? 2 ? ? 1.选 3 3 3 3 2
A. ? B.
6 .【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学 )在△ABC 中,G 是△ABC 的重 (

3 2

心,AB.AC 的边长分别为 2、1, ? BAC=60 .则 AG ?BG =
o

???? ????





5? 3 5? 3 10 C. D.9 9 9 ? ? 【答案】A【解析】由 AB ? 2, AC ? 1, ?BAC ? 60 ,所以 BC ? 3, ?ACB ? 90 ,将直
A. ?

8 9

B. ?

角三角形放入直角坐标系中,

,则 A(0,1), B( ? 3, 0) ,所以重心

???? 3 1 3 2 ???? 2 3 1 , 所 以 , ) AG ? ( ? , ? ), BG ? ( , ) , 所 以 3 3 3 3 3 3 ???? ???? 3 2 2 3 1 8 AG ? BG ? ( ? , ? ) ?( , ) ? ? ,选 A. 3 3 3 3 9 ? ? ? 7 . 【解析】山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学)若 a, b, c 均为单位向量,且 ( ? ? ? ? ? a ? b ? 0 ,则 a ? b ? c 的最小值为 ( G (?
A. 2 ? 1 B.1 C. 2 ? 1 D. 2 ? ? ? 2 ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【 答 案 】 A a ? b ? c ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2a ? c ? 2b ? c ? 3 ? 2(a ? b) ? c , 因 为



? ? ? ? ? ? ? , 且 , 所 以 a ?b ? 0 a ? b ? c ?1 , 所 以 a?c ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 所 以 (a ? b) ? c ? a ? b c cos ? a ? b, c ?? 2 cos ? a ? b, c ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? a ? b ? c ? 3 ?2 2 cos ? ( ? b ),c ? 所 以 当 cos ? (a ? b), c ?? 1 时 , a ? b ? c 最 a , ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 小为 a ? b ? c ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) ,所以 a ? b ? c ? 2 ? 1 ,即 a ? b ? c 的最小值
为 2 ? 1 .选 A.
8 . (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试文科数学) 已知 a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1) ,则

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?

? ?

? ? a ?b ? A. 2


( B. 3
案 】 【



C. 4 案 】 D 因 为

? ? ? ? b ? 2a ? (3,1) ? 2(1, 2)? (3,1)? ? 1, 3) ( ,所以 a ? b ? (1, 2) ? (?1,3) ? ?1 ? 2 ? 3 ? 5 ,选
??? ??? ? ?





? ? ? a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1) , 所 以
D.

D. 5

9 . ( 【解析】 山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学) 如图,在边长为 2 的菱形 ABCD

中, ?BAD ? 60? ,E 为 BC 中点,则 AE ? BD ?





??? ??? ??? ??? 1 ??? ? ? ? ? ? , 所 以 AE ? AB ? BE ? AB ? BC 2 ??? ??? ? ? ??? 1 ??? ??? ??? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? AE ? BD ? ( AB ? BC ) ? BD ? AB ? BD ? BC ? BD 2 2 ??? ??? ? ? ? ? 1 ??? ??? 1 1 1 C. ? AB ? BD cos120? ? BC ? BD cos 60? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ?1 ,选 2 2 2 2 10 . 【 解 析 】 山 东 省 青 岛 一 中 2013 届 高 三 1 月 调 研 考 试 文 科 数 学 ) ?ABC 中 , 设 (
【 答 案 】

A.-3

B.0

C.-1

D.1

C

AC ? AB ? 2 AM ? BC ,那么动点 M 的轨迹必通过 ?ABC 的
A.垂心
【 答 案
??? 2

??? 2

??? 2

???

???

( 是 O. 则





B.内心 C 【 解



C.外心 】 假 设

BC

D.重心 的 中 点

???? ??? ???? ??? ? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ? AC ? AB ? ( AC ? AB)?( AC ? AB) ? 2 AO ?BC ? 2 AM ?BC , 即 ???? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ???? ??? ? ? ( AO ? AM )?BC ? MO ?BC ? 0 ,所以 MO ? BC ,所以动点 M 在线段 BC 的中垂线上, 所以动点 M 的轨迹必通过 ?ABC 的外心,选 C.
??? 2

11.(【解析】山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(文)试题)如图, AB 是

? 圆 O 的 直 径 , P 是 圆 弧 AB 上 的 点 , M , N 是 直 径 AB 上 关 于 O 对 称 的 两 点 , 且

???? ???? ? AB ? 6, MN ? 4 ,则 PM ? PN ?

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( A.13 B.7
【 答 案 】 C 连 结 AP,BP. 则 PM ? PA ? AM , PN ? PB ? BN ? PB ? AM , 所 以



???? ?

??? ???? ???? ? ?

C.5

??? ???? ?

D.3

??? ???? ? ?

???? ???? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ?? ???? ??? ???? 2 ? ? ? ? ? ? ? PM ? PN ? ( PA ? AM ) ? ( PB ? AM ) ? PA ? PB ? PA? AM ? AM ? PB ? AM ??? ???? ???? ??? ???? 2 ???? ??? ???? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? PA ? AM ? AM ? PB ? AM ? AM ? AB ? AM ? 1? 6 ? 1 ? 5 .

12.【解析】山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(文)试题)已知点 O 为△ABC (

内一点,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0, 则△AO B.△AO C. △BOC 的面积之比等于 ( ) A.9:4:1 B.1:4:9 C.3:2:1 D.1:2:3 【答案】C【解析】,延长 OB 到 B ' ,使 OB ' ? 2OB ,延长 OC 到 C ' ,使 OC ' ? 3OC ,连 结 B ' C ' ,取 B ' C ' 的中点 A ' ,则 2OB ? 3OC ? 2OA ' ? ?OA, 所以 A, O, A ' 三点共线且

??? ?

??? ?

????

?

??? ?

????

????

??? ?

O 为 三 角形 AB ' C ' 的 重 心 ,则 可 以证 明 S?AOB ' ? S?AOC ' =S ?B 'OC ' . 在 △AOB’中 ,B 为 1 OB‘边中点,所以 S ?AOB ? S ?AOB ' ,在△AOC’中,C 为 OC‘边近 O 端三等分点,所以 2 1 1 S ?AOC ? S?AOC ' .在△B'OC'中,连 BC',B 为 OB‘边中点,所以 S ?BOC ' ? S ?B ' OC ' ,在 3 2 1 1 △BOC' 中 ,C 为 OC‘ 边 近 O 端 三 等 分 点 , 所 以 S ?BOC ? S ?BOC ' ? S ?B 'OC ' , 因 为 3 6 1 1 1 S ?AOB ' ? S ?AOC ' =S ?B ' OC ' ,所以△AOB: △AOC: △BOC 面积之比为 :: =3 : 2 :1 ,选 C. 2 3 6

13 . 【 解 析 】 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 第 一 轮 复 习 质 量 检 测 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 (

? ? ? ? a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ? 2 则向量 a与b 的夹角为

?

?





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A.


?
2
答 案 】

? ? ? ? a ?b cos ? a, b ?? ? ? a b

B

3 4 6 ? ? ? ? ? ? ? ?2 a ? (b ? a ) ? a ? b ? a ? 2 , 所 以 a ? b ? 3 , 所 以 ? ? 3 1 ? B. ? ? ,所以 ? a, b ?? ,选 3 1? 6 2
? ? ?
( )

B.

?

C.

?

D.

?

14. 【解析】山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习(一)文科数学) 已知平面向量 (

a=(-2,m),b=(1, 3 ),且 (a ? b) ? b ,则实数 m 的值为 A. ?2 3 C. 4 3 D. 6 3 ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? 【答案】 B 【解析】 因为 (a ? b) ? b ,所以 (a ? b) ? b ? a ? b ? b ? 0 .即 ?2 ? 3m ? 4 ? 0 , 解得 m ? 2 3 ,选 B.
15 .(【 解 析 】 山 东 省 济 南 市 2013 届 高 三 3 月 高 考 模 拟 文 科 数 学 ) 若 函 数

B. 2 3

f ( x) ? 2 sin(
象交于 A.-32

?
6

x?

?
3

)(?2 ? x ? 10) 的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 l 与函数的图
( ) D.32

B.C 两点,则 (OB ? OC ) ? OA ? B.-16 C.16

【答案】D 由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 4 ,即 A(4, 0) ,过点 A 的直线 l 与函数的图象交于

B.C 两点

二、填空题

16.【解析】山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试文科数学)若 a (

?

? ? a ? b ,则 x =__________. ? ? ? ? b 【答案】2 解:因为 a ? b ,所以 a ? ? x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 .
??? ???? ?
?

? ? ?1, ?2 ? , b ? ? x,1? ,且

17.【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学)如图,在△ABC 中,O 为 BC 中 (

点,若 AB=I, AC ? 3 , AB, AC ? 60 ,则 OA ? ______________.

??? ?

【答案】

??? ???? ? ??? ???? ??? ???? ? ? 13 1 3 ? 因为 AB, AC ? 60 ,所以 AB ? AC ? AB ? AC cos 60? ? 3 ? ? ,又 2 2 2

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???? 1 ??? ???? ? ???? 2 1 ??? ???? ? ? ??? ???? ???? 2 ? 1 ??? 2 AO ? ( AB ? AC ) , 所 以 AO ? ( AB ? AC ) 2 ? ( AB ? 2 AB ? AC ? AC ) , 即 2 4 4 ??? ? ???? 2 1 13 13 . AO ? (1 ? 3 ? 9) ? ,所以 OA ? 2 4 4 ? ? 18 . 【 解 析 】 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 文 ) 已 知 向 量 a, b 满 足 ( ? ? ? ? ? ? ? ? a ? 2b ? a ? b ? ?6, 且 a ? 1, b ? 2 ,则 a与b 的夹角为_________ ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? 【 答 案 】 【 解 析 】 由 a ? 2b ? a ? b ? ?6, 得 a ? a ? ? 2b ? ?6 , 即 b 3 ? ? ? ? ? ? ?2 ?2 a? b 1 1 , 所 以 ? a ? ? ?a ? 2b ? 6 ? ?1 ? 8 ? 6 ? 1 , 所 以 cos ? a, b ?? ? ? ? b a b 1? 2 2

?

??

?

?

??

?

19. ( 【解析】 山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文 (a) 已知向量 a ? (1,1), b ? ( 2,0) , )

? ? ? ? ? ? ? a, b ?? ,即 a与b 的夹角为 . 3 3

则向量 a, b 的夹角为______________.
【答案 】

?

4 ? ? ? ? ? ? a? b 2 2 ? ,所以 ? a, b ?? . cos ? a, b ?? ? ? ? ? 4 2 a b 2 2

【 解 析 】 因 为 a ? (1,1), b ? (2,0) , 所 以 a ?

?

? 2, b ? 2 , 所 以

20.【解析】山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(文) 若 e1 , e2 是平面内夹角 ( )

?? ?? ?

为 60? 的两个单位向量,则向量 a = 2e1 + e2 , b = - 3e1 + 2e2 的夹角为__________.
【 答 案 】

?

??

?? ?

??



?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? 1 7 , , e1 ?e2 ? e1 e2 cos 60? ? a ? ? (2e1 ? e2 )?(?3e1 ? 2e2 ) ? ? b 2 2 ? ?? ?? ? ?? ?? ? a ? (2e1 ? e2 ) 2 ? 4 ? 4e1 ?e2 ? 1 ? 7 , ? ?? ??? ? ?? ?? ? ? ? b ? (?3e1 ? 2e2 ) 2 ? 9 ? 12e1 ?e2 ? 4 ? 7 , 所 以 a, b 的 夹 角 的 余 弦 值 为
:

120?

7 ? ? ? ? ? ? ? a? b 2 ? ? 1 ,所以 ? a, b ?? 120? . cos ? a, b ?? ? ? ? 2 7? 7 a b


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