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自编题 2

数学自编题或改编题
1 已知△ABC 三边 a,b,c 的长都是正整数,且 a ≤ b ≤ c ,如果 c ? 2 m ? 1 (m ? N) ,则这 样的三角形共有 个(用 m 的代数式表示) . 答: (m ? 1)2 (属归纳推理的内容,还可以用线性规划来解决)

注: 此题由课本题改编.

x2 ? y 2 ? 1的两个焦点, 点 O 为坐标原点, 圆 O 是以 F1 , F2 为直径 2. 已知点 F1 , F2 为椭圆 2
的圆,一条直线 l :与圆 O 相切并与椭圆交于不同的两点 A, B. (1)设 b ? f (k ) ,求 f ( k ) 的表达式; (2)若 OA ? OB ?

??? ? ??? ?

2 求直线 l 的方程; 3,

(3)若 OA ? OB ? m

??? ? ??? ?

2 3 ( ? m ? ) 求三角形 OAB 面积的取值范围. 3 4 ,

解 (1)y ? kx ? b (b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,则

|b| 1? k
2

? 1 ,即 b2 ? k 2 ? 1(k ? 0) ,所以.

(2) 设 A(x 1 ,y 1) ,B ( x , 2y ) ,2

? y ? kx ? b ? 2 2 2 则由 ? x 2 , 消去 y 得: (2k ? 1) x ? 4kbx ? 2b ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2

2 又 ? ? 8k ? 0 (? k ? 0) ,所以 x1 ? x2 ? ?

4kb 2b 2 ? 2 , x x ? . 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? k 2 ?1 . 则 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 由 OA ? OB ? , 所以 k 2 ? 1. 所 2 3 2k ? 1

b 2 ? 2. b ? 0,?b ? 2, 所以?l : y ? x ? 2, y ? ? x ? 2 .
1 k 2 ?1 2 3 2 k 2 ?1 3 ? 2 ? , ? ? k 2 ? 1, 由弦长公式得 ? m . ? ? m ? , 所以 (3)由(2)知: 2 2 3 2k ? 1 4 2k ? 1 3 4

| AB |? k 2 ? 1 ?

2k 2 (k 2 ? 1) 2 2k 2 6 2 1 ?S? . 所以 , S ? | AB | ? , 解得? 2 2 4 3 2k ? 1 2 2k ? 1

3. 题 目 : 1 、 定 义 : 将 圆 心 不 同 的 两 圆 方 程 C1 : ( x ? a1 ) ? ( y ? b1 ) ? r 1 与
2 2 2

。 C2 : ( x ? a2 )2 ? ( y ? b2 )2 ? r22 两边分别相减所得的直线 m 称为两圆的 “根轴” (Ⅰ)求证: “根轴”所在直线 m 与两圆圆心的连线垂直; (Ⅱ)求证: “根轴”所在直线 m 上在圆外部分的点到两圆的切线长相等; (Ⅲ)利用上述方法判断,对于圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 来说,是否存在斜 率为 1 的直线 l ,使以 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆,经过原点?若存在,写 出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。 (命题设计人 翟洪亮 江苏省灌云高级中学 222200) (Ⅰ)证明:由题意得直线 m 方程为:

2(a2 ? a1 ) x ? 2(b2 ? b1 ) y ? r12 ? r22 ? a22 ? a12 ? b22 ? b12 。
①当 a1 ? a2 时,则 b1 ? b2 ,则 km ? 0 ,而两圆圆心的连线的斜率不存在,所 以直线 m 与两圆圆心的连线垂直; ②当 a1 ? a2 时,则 b1 ? b2 ,直线 m 的斜率不存在,而两圆圆心连线的斜率

kC1C ? 0 ,所以直线 m 与两圆圆心的连线垂直;
③当 a1 ? a2 , b1 ? b2 时,直线 m 的斜率 km ?
a1 ? a2 ,而两圆圆心连线的斜率 b2 ? b1

kC1C2 ?

b2 ? b1 ,且 km ? kC2C1 ? ?1 ,所以直线 m 与两圆圆心连线垂直; a2 ? a1

综上所述,直线 m 与两圆圆心的连线垂直。 (Ⅱ)证明:设直线 m 上在圆外部分的点 P( x0 , y0 ) 引圆 C1 、C2 的切线长分别为 | PS |,| PT |,则 | PS |2 ? | PT |2

? [( x0 ? a1 )2 ? ( y0 ? b1 )2 ? r12 ] ? [( x0 ? a2 )2 ? ( y0 ? b2 )2 ? r22 ] ? 2(a2 ? a1 ) x0 ? 2(b2 ? b1 ) y0 ? r22 ? r12 ? a12 ? a22 ? b12 ? b22 ,
又因为点 P( x0 , y0 ) 在直线 m 上,所以

2(a2 ? a1 ) x0 ? 2(b2 ? b1 ) y0 ? r12 ? r22 ? a22 ? a12 ? b22 ? b12 ,
所以 | PS |2 ? | PT |2

? (r12 ? r22 ? a22 ? a12 ? b22 ? b12 ) ?r22 ? r12 ? a12 ? a22 ? b12 ? b22 ? 0 ,
所以直线 m 上在圆外部分的点到两圆的切线长相等。 ( Ⅲ ) 因 为 以 弦 AB 为 直 径 的 圆 , 经 过 原 点 , 所 以 可 设 该 圆 的 方 程 为

D E , ? ) , 所 以 直 线 AB 方 程 为 2 2 D E (D ? 2 ) x? ( E ? 4y )? 4 ? 0 为 圆 心 坐 标 为 (? , ? ) 在 直 线 AB 上 , 所 以 ,因 2 2 D E ( D ? 2 )? ? ( ? ) E (? 4 ?) ? ( ? ) ? 4 0 (1) , 2 2 E ?2 ? 2 ? ?1 两圆圆心连线的斜率 (2) , D 1? 2

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 0 , 圆 心 坐 标 为 (?

由(1) (2)得, D ? 2 , E ? 0

或 D ? ?3 , E ? 5



所以直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0 。 试题背景 因为直线方程、 圆的标准方程和圆的一般方程是江苏考纲八个 C 级考 点中的两个 C 级考点,而“根轴”思想是数学竞赛中涉及的内容,以数学竞赛问 题作为背景的试题经常出现, 这要求学生能根据新背景,利用新方法来解决老问 题的能力,本题符合新课程理念,同时突出了对直线与圆的主体知识的考查。 知识与能力要求 本题考查直线与圆的相关知识, 要求学生具有一定的分类讨论 能力,推理论证能力和运算能力。 难度系数 0. 62

4.题 2、 已知曲线 f ( x) ? x3 ? ax2 ( a 为常数)。 (1)讨论函数 f ( x) 的单调性。 (2)若曲线上只存在一点 P ,在该点处的切线与曲线除切点外,不再有其 他公共点,求点 P 的坐标。 (3)求证点 P 是曲线的对称中心。 (命题设计人 翟洪亮江苏省灌云高级中学 222200) 解(1) f / ( x) ? 3x2 ? 2ax ,令 f / ( x) ? 0 得 x1 ? 0 , x2 ? ? 当 a ? 0 时, x ? ( ??, ?
2a 。 3

2a 2a ) 和 x ? (0, ??) 时, f / ( x) ? 0 ; x ? (? , 0) 时, 3 3 2a f / ( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 的递增区间为 ( ??, ? ) 和 (0, ??) ,递减区间为 3 2a ( ? , 0) ; 3

当 a ? 0 时, f / ( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 的递增区间为 (??, ??) ;

2a 2a , ??) 时, f / ( x) ? 0 ; x ? (0, ? ) 时, 3 3 2 a f / ( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 的递增区间为 (??, 0) 和 (? , ??) ,递减区间为 3 2a (0, ? ) 。 3

当 a ? 0 时, x ? (??, 0) 和 x ? (?

(2)设 P( x0 , y0 ) 则在点 P 的切线方程为 y ? ( x03 ? ax02 ) ? (3x02 ? 2ax0 )( x ? x0 ) 代入曲线 f ( x) ? x3 ? ax2 得 ( x3 ? ax2 ) ? ( x03 ? ax02 ) ? (3x02 ? 2ax0 )( x ? x0 ) ,即

( x3 ? x03 ) ? a( x2 ? x02 ) ? (3x02 ? 2ax0 )( x ? x0 ) ,( x ? x0 )( x2 ? xx0 ? ax ? 2x02 ? ax0 ) ? 0 , ( x ? x0 )[( x2 ? x02 ) ? ( xx0 ? x02 ) ? (ax ? ax0 )] ? 0 ,即 ( x ? x0 )2 ( x ? 2x0 ? a) ? 0 ,因为切
线与曲线除切点外,不再有其他公共点,所以 ( x ? x0 )2 ( x ? 2x0 ? a) ? 0 只有根 所以 x ? 2 x0 ? a ? 0 的根为 x ? x0 , 所以 x0 ? ? x ? x0 ,
a 2a 3 )) 。 坐标 (? , 3 27
a a 2a 3 , f (? ) ? 所以点 P 的 3 3 27

( 3 ) 设 Q( x, y )是 曲 线 f ( x) ? x3 ? ax2 上 的 任 意 一 点 , 则 点 Q 关 于 点
P

(?

a a 2a a ,f ( ? ) ) 的 对 称 点 的 坐 标 为 Q / (? ? x, 2 f ( ? ) ? y ) , 3 3 3 3
3

f (?

a 2a 2a 2a 4a ? x) ? (? ? x)3 ? a( ? ? x) 2 ? ? ( x3 ? ax 2 ) ? 2 f (? ) ? y , 所 以 点 3 3 3 3 27

Q / (?

2a a ?x, 2 f ? ( ? ) y 也在曲线 ) f ( x) ? x3 ? ax2 上,所以点 P 是曲线的对称中 3 3

心。 试题背景 导数问题是近年高考命题的热点, 本题对导数问题考查突出三次 函数的对称性这个新亮点,同时兼顾单调性、切线方程的考查,既注重基础,又 突出能力的考查,符合新课程理念。 知识与能力要求 本题考查导数相关知识, 突出函数与方程的相互转化, 要 求学生具有一定的分类讨论能力和推理论证能力。 难度系数 0. 56 1 2 5.(谢春雷)已知函数 f ? x ? ? ax ? 2 x ? a ? 0 ? , g ? x ? ? ln x. 2
(1)若 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 存在单调递增区间,求 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a ? 0 ,使得方程

g ? x? ?1 ? ? f ' ? x ? ? ? 2a ? 1? 在区间 ? , e ? 内有且只有两 x ?e ?

个不等的实数根?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

6..已知 ? M : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 ,直线 l : x ? y ? m ? 0 ,过直线 l 上一点 A 作 ?ABC , 使得 ?BAC ? 45? ,边 AB 过圆心 M,且 B,C 在 ? M 上。 (1)当 m ? 9 且点 A 的横坐标为 4 时,求直线 AC 的方程。 (2)求 m 的取值范围。

7..已知函数 f ? x ? ? 2ax ?b 过点 A?1,2? , B ? 2,8? 。 (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)记 an ? log 2 f ? n ?, n ? N ?

? 1 ?? 1? ? 1 ① 证明: ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? a1 ?? a2 ? ? an

? ? ? 2n ? 1 ?

? 1 ?? 1? ? 1? ② 若 ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? k 2n ? 1 对一切 n ? N ? 均成立,则 k 是否存在最大值, ? a1 ?? a2 ? ? an ?
若存在,求出 k 的最大值;若不存在,请说明理由。


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