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高中数学人教A版选修1-1课件:2.2.2《双曲线的简单几何性质》课时2_图文

2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的简单几何性质(2) 本节课主要学习双曲线的定义、直线与双曲线的位置 关系、直线与双曲线的弦长. 通过回顾双曲线的概念、方 程和性质,复习直线与椭圆的位置关系等知识,巩固所 学知识,充分调动学生学习的积极性和主动性. 双曲线的第二定义作为了解内容,在实际教学中可以 根据实际情况酌情处理,在普通班的教学中可以忽略不 讲,直接讲例题1;例2研究了直线与双曲线的位置关系; 例3讲的是高考的一个热点内容——弦长公式问题。直线 与双曲线的弦长公式问题(可以推广到直线与其它圆锥 曲线的弦长公式问题). 图形 A1 . 2 2 y B2 O F1 . F2 A2 x . . B2 y F1(-c,0) 2 B1 F2(c,0) F1(-c,0) 2 F1 A1 O A2 F2 B1 2 x F2(c,0) 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线 x y ? ? 1 ( a ? b ? 0) a b ?a? x?a ?b? y?b 2 x y ? ? 1 (a ? 0 ,b ? 0 ) a b 2 2 x ? a 或 x ? ? a, y ? R 关于x轴、y轴、原点对称 A1(- a,0),A2(a,0) 关于x轴、y轴、原点对称 A1(- a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) c e? a ( 0 ? e ? 1) c e? a ( e ? 1) 无 b y?? x a . . B2 图形 F1(-c,0) 方程 2 2 . 2 2 y A1 B2 O F1 A2 . y A2 F2 B1 F2(0,c) x F2 x B1 F2(c,0) A1 O F1 F1(0,-c) x y ? ? 1 ( a ? b ? 0) a b x ? a 或 x ? ? a, y ? R 关于x轴、y轴、原点对称 A1(- a,0),A2(a,0) y x ? ? 1 (a ? 0 ,b ? 0 ) a b 2 2 2 2 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线 y ? a 或 y ? ? a, x ? R 关于x轴、y轴、原点对称 A1(0,-a),A2(0,a) c e? a ( e ? 1) b y?? x a c e? a ( e ? 1) a y?? x b 1、“共渐近线”的双曲线 x2 y2 x2 y2 与 2 ? 2 ? 1共 渐 近 线 的 双 曲 线 系 方 程 为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0, ? 为 参 数 ), a b a b λ>0表示焦点在x轴上的双曲线;λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。 2、“共焦点”的双曲线 (1)与椭圆 示为 x2 y2 2 2 ? ? 1( b ? ? ? a ). 2 2 a ?? ? ?b x2 y2 ? 2 ?1 (a?b ?0 ) 有共同焦点的双曲线方程表 2 a b (2)与双曲线 程表示为 x2 y2 2 2 ? ? 1( ? b ? ? ? a ) 2 2 a ?? b ?? 2 2 x y ? 2? 1 ( a?0 ,b?0 ) 有共同焦点的双曲线方 2 a b 双曲线的第二定义 引例 点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线 c a x ? 的距离比是常数 (c>a>0),求点M的轨迹. c a 2 解:设点M(x,y)到l的距离为d,则 |MF | c ? d a M yl O M 即 ( x ? c )2 ? y 2 x? 2 2 2 2 ? a( x ? c ) ? y ? | a ? c x | . 的左支 a c 点M的轨迹也包括双曲线 c ? a F x 22 2 2 4 2 2 2 ? a ( xc ? 2 x ? c ? yaa ) ? ? 2 c x ? c x (c2-a2)x2- a2y2=a2 (c2 - a2) 设c2-a2 =b2, 2 2 x y 就可化为: b2x2-a2y2=a2b2 即 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 2 a b 化简得 故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线. 双曲线的第二定义 平面内,若定点F不在定直线l上,则到定点F的距离与到定直线l的 距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。 定点F是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e是双曲线 的离心率. x2 y2 对于双曲线 2 ? 2 ? 1 类似于椭圆 a b 2 a 是相应于右焦点F(c, 0)的右准线. x ? c a2 是相应于左焦点F′(-c, 0)的左准线. x ? ? c 点M到左焦点与左准线的距离之比 也满足第二定义. y l′ l M F′ a2 x ? ? c o 2 x F a c x ? 相应于上焦点 F(c, 0)的是上准线 焦点在y 轴上的双曲 线的准线方程是怎 2 a 样的? y ? c 想一想:中心在原点, y F o a2 y ? c x a2 y?? c 相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线 a2 y ? ? c F′ 典例展示 例1.点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定 16 5 直线 l : x ? 的距离的比是常数 ,求点M的轨迹. 4 5 l y d 设 d是点 M 到直线 l的距离,根 解: 据题意,所求轨迹就是集合 ? | MF | 5 ? P ? ?M ? ?, d 4? ? 由此得 2 H .M x . O . F x y 9 x ? 16 y ? 144 . 即 ? ? 1. 16 9 所 以 点 M 的 轨 迹 是 实 轴 、 虚 轴 长 分 别 为 8,6的 双 曲 线 . 2 (x ? 5) 2 ? y 2 5 ? . 将上式两边平方,并化简,得: 16

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