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高二数学寒假作业 专题09 直线和圆锥曲线的位置关系(背) Word版 含答案(寒假总动员)

专题 9 【背一背】 一、直线和椭圆的位置关系 直线和圆锥曲线的位置关系 x2 y2 直线 y=kx+b 与椭圆 + =1 (a>b>0)的位置关 系: a2 b2 y=kx+b y=kx+b ? ? ? ? ? ? 0 直线与椭圆相切??x2 y2 有一组实数解,即 ,.直线与椭圆相交??x2 y2 有两组实数解, ? ? ?a2+b2=1 ?a2 +b2=1 y=kx+b ? ? ? ? 0 即 ,直线与椭圆相离??x2 y2 没有实数解,即 ? ? 0 . + = 1 ? ?a2 b2 直线和双曲线 的位置关系 一般地,设直线 l:y=kx+m (m≠0)① 双曲线 C: x2 y2 - =1 (a>0,b>0)② a2 b2 把①代入②得(b2-a2k 2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. b (1)当 b2-a2k2=0,即 k=± 时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线 C 相交于一点. a b (2 )当 b2-a2k2≠0,即 k≠± 时, a Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). Δ>0?直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相交; Δ=0?直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲线相切; Δ<0?直线与双曲线没有公共点, 此时称直线与双曲线相离. 直线和抛物线位置关系 直线 y=kx+b 与抛物线 y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于 x 的方程 k2x2+2(kb-p)x+b2=0 的解的个 数.当 k≠0 时,若 Δ>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;当 Δ=0 时,直线与抛物线有一个个公共点; 当 Δ<0 时,直线与抛物线没有公共点 .当 k=0 时,直线与抛物线的轴平行,此时直线与抛物线有一个公 共点. 直线与圆锥曲线相交问题的解法: 利用“ 点差法”来解决中点 弦问题,其基本思路是设点(即设出弦的端点坐标) ——代入(即将端点代入曲线方程)——作差(即两式相减)——得出中点坐标与斜率的关系。 韦达定理法:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得 到一个一元二次方程,利用韦达定理和中点坐标 公式建立等式求解 圆锥曲线中的数学思想 方程思想: 方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构 造方程,通过解方程或解方 程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决,本章中,方程思想的应用最为广泛. 函数思想: 很多与曲线有关的问题中的各个变量在运动变化时,都是相互联系 、相互制约的,它们之间构成函数关系, 这类问题如果用函数思想思想来分析、需找解题思路,会有很好的效果,一些最值问题常用函数思想,运 用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题,是经常使用的方法. 分类 讨论思想: 本章中,涉及的字母参数较多,同时圆锥曲线的焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上,所以必须要注意分 类讨论思想. 4.数形结合思想 利用数形结合思想,可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题. 一类题型的解法: 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似,一般有两种方法: 函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函 数值域的方法求解; 不等式法:根据题意建立含参数的不等关系式,通过解不等式求参数范围.

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