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2015年高考数学理真题分类汇编:专题八 直线与圆 Word版含解析


2015 年高考理数真题分了汇编:专题八 直线与圆
1. 【 2015 高 考 山 东 , 理 9 】 一 条 光 线 从 点 ? ?2, ?3? 射 出 , 经 y 轴 反 射 后 与 圆

? x ? 3? ? ? y ? 2 ?
2

2

? 1 相切,则反射光线所在直线的斜率为(
(B) ?

) (D) ?

(A) ? 或 ?

5 3

3 5

3 2 或? 2 3

(C) ?

5 4 或? 4 5

4 或 3

?

3 4

【答案】D

整理: 12k 2 ? 25k ? 12 ? 0 ,解得: k ? ?

4 3 ,或 k ? ? ,故选 D. 3 4

【考点定位】1、圆的标准方程;2、直线的方程;3、直线与圆的位置关系. 【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识,重点考查利用对称性解决直线方程的 有关问题以及直线与圆的位置关系的判断,意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关 系的理解与把握以及学生的运算求解能力. 2.【2015 高考陕西,理 15】设曲线 y ? e 在点(0,1)处的切线与曲线 y ?
x

1 ( x ? 0) 上点 ? 处 x

的切线垂直,则 ? 的坐标为 【答案】 ?1,1?



【解析】因为 y ? e ,所以 y? ? e ,所以曲线 y ? e 在点 ? 0,1? 处的切线的斜率
x x x

k1 ? y?
y? ? ?

x ?0

? e0 ? 1 ,设 ? 的坐标为 ? x0 , y0 ? ( x0 ? 0 ) ,则 y0 ?

1 1 ,因为 y ? ,所以 x x0

1 1 ,所以曲线 y ? 在点 ? 处的切线的斜率 k2 ? y? 2 x x

x ? x0

??

1 ,因为 k1 ? k2 ? ?1 , 2 x0

所以 ?

1 2 ? 1 ,解得 x0 ? ?1 ,因为 x0 ? 0 ,所以 x0 ? 1 ,所以 y0 ? 1 ,即 ? 的 ? ?1 ,即 x0 2 x0

坐标是 ?1,1? ,所以答案应填: ?1,1? .
-1-

【考点定位】1、导数的几何意义;2、两条直线的位置关系. 【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和两条直线的位置关系,属于容易题.解题 时一定要注意考虑直线的斜率是否存在,否则很容易出现错误.解导数的几何意义问题时一 定要抓住切点的三重作用:①切点在曲线上;②切点在切线上;③切点处的导数值等于切线 的斜率. 3. 【2015 高考湖北, 理 14】 如图, 圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) , 与 y 轴正半轴交于两点 A, B( B 在 A 的上方) , 且 AB ? 2 . (Ⅰ)圆 C 的标准 方程为 .. ;

(Ⅱ)过点 A 任作一条直线与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 M , N 两点,下列三个结论: ①
NA NB ? MA MB

; ②

NB NA

?

MA MB

?2;



NB NA

?

MA MB

?2 2.

其中正确结论的序号是

. (写出所有正确结论的序号)

【答案】 (Ⅰ) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 ; (Ⅱ)①②③ 【解析】 (Ⅰ)依题意,设 C (1, r ) ( r 为圆的半径) ,因为 | AB |? 2 ,所以 r ? 12 ? 12 ? 所以圆心 C (1, 2 ) ,故圆的标准方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 2 . (Ⅱ)联立方程组 ? 的上方, 所以 A(0, 2 ? 1) , B (0, 2 ? 1) , 令直线 MN 的方程为 x ? 0 ,此时 M M (0,?1) , N (0,1) , 所以 | MA |?

2,

?x ? 0
2 2 ?( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 2

,解得 ?

?x ? 0 ? y ? 2 ?1

或?

?x ? 0 ? y ? 2 ?1

,因为 B 在 A

2 , | MB |? 2 ? 2 , | NA |? 2 ? 2 , | NB |? 2
-2-

因为

NA MA | NA | 2 ? 2 2 | MA | 2 , . ? ? ? 1? ? ? 2 ? 1 ,所以 NB MB | NB | 2 2 | MB | 2 ? 2 NB NA ? ? MA MB ? ? 2 2? 2 ? ? 2 2?2 ? 2 ? 1 ? ( 2 ? 1) ? 2 ,

所以

NB NA

MA MB

2 2? 2

2 2?2

? 2 ?1? 2 ?1 ? 2 2 ,

正确结论的序号是①②③. 【考点定位】圆的标准方程,直线与圆的位置关系. 【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件,得出特殊结论,然后对各个选项进行检验, 从而做出正确的判断,这种方法叫做特殊法 . 若结果为定值,则可采用此法. 特殊法是“小 题小做”的重要策略. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、 特殊位置等. 4.【2015 江苏高考,10】在平面直角坐标系 xOy 中,以点 (1,0) 为圆心且与直线

mx ? y ? 2m ? 1 ? 0(m ? R) 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为
【答案】 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2.

【考点定位】直线与圆位置关系 【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.圆的切线 问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题.当半径表示为关于 m 的函 数后,利用基本不等式求最值,需注意一正二定三相等的条件. 5.【2015 高考重庆,理 8】已知直线 l:x+ay-1=0(a ? R)是圆 C: x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的
2 2

对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|= A、2 【答案】C B、 4 2 C、6





D、 2 10

【 解 析 】 圆 C 标 准 方 程 为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 , 圆 心 为 C (2,1) , 半 径 为 r ? 2 , 因 此
2 2

-3-

即 A(?4, ?1) ,AB ? 2 ? a ?1 ? 1 ? 0 , a ? ?1 , 选 C. 【考点定位】直线与圆的位置关系.

AC ? r 2 ? (?4 ? 2) 2 ? (?1 ? 1) 2 ? 4 ? 6 .

2

【名师点晴】首先圆是一个对称图形,它关于圆心成中心对称,关于每一条直径所在直线都 是它的对称轴,当然其对称轴一定过圆心,其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系, 判断方法可用几何与代数两种方法研究,圆的切线长我们用勾股定理求解,设圆外一点 P 到 圆的距离为 d ,圆的半径为 r ,则由点 P 所作切线的长 l ?

d 2 ? r2 .

6.【2015 高考新课标 2,理 7】过三点 A(1,3) , B(4, 2) , C (1, ?7) 的圆交 y 轴于 M,N 两点,则
| MN |? (

) B.8 C.4 6 D.10

A.2 6 【答案】C

【解析】 由已知得 k AB ?

3? 2 1 2?7 ? ? ,kCB ? ? ?3 ,所以 k AB kCB ? ?1 ,所以 AB ? CB , 1? 4 3 4 ?1

即 ?ABC 为 直 角 三 角 形 , 其 外 接 圆 圆 心 为 (1, ?2) , 半 径 为 5 , 所 以 外 接 圆 方 程 为

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 ,令 x ? 0 ,得 y ? ?2 6 ? 2 ,所以 MN ? 4 6 ,故选 C.
【考点定位】圆的方程. 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程,要注意边之间斜率的关系,得出 ?ABC 是直角 三角形,可以简洁快速地求出外接圆方程,进而求弦 MN 的长,属于中档题. 7.【2015 高考广东,理 5】平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与圆 x ? y ? 5 相切的直线的方程是
2 2



) A. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0

【答案】 D . 【解析】依题可设所求切线方程为 2 x ? y ? c ? 0 ,则有

0?0?c 22 ? 12

? 5 ,解得 c ? ?5 ,所以

所求切线的直线方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 ,故选 D . 【考点定位】直线与圆的位置关系,直线的方程.
-4-

【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,利用点到直线距离求直线的方程及转化与 化归思想的应用和运算求解能力,根据题意可设所求直线方程为 2 x ? y ? c ? 0 ,然后可用代 数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得,也可以利用几何法转化为圆心与直线的距 离等于半径求得,属于容易题. 8.【2015 高考广东,理 20】已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x 2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 相交于不同的两 点 A,B . (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3) 是否存在实数 k , 使得直线 L : y = k ( x - 4) 与曲线 C 只有一个交点: 若存在, 求出 k 的 取值范围;若不存在,说明理由.
2 3? 9?5 ? 3 3? ? 2 5 2 5 ? ? ? , 【答案】 (1)? 3,0 ? ; (2)? x ? ? ? y 2 ? ? ? x ? 3 ? ; (3)k ? ?? , ? ? ? ? ?. 7 ? 2? 4? 3 ? 4 4? ? 7 ? ?

2 【解析】 (1)由 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 得 ? x ? 3? ? y ? 4 , 2

∴ 圆 C1 的圆心坐标为 ? 3,0 ? ; (2)设 M ? x, y ? ,则 ∵ 点 M 为弦 AB 中点即 C1M ? AB , ∴ kC1M ? k AB ? ?1 即

y y ? ? ?1 , x ?3 x
2

3? 9?5 ? ? ∴ 线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ? x ? ? ? y 2 ? ? ? x ? 3 ? ; 2? 4? 3 ? ?
(3)由(2)知点 M 的轨迹是以 C ? ,0 ? 为圆心 r ?

?3 ?2

? ?

3 为半径的部分圆弧 EF (如下图所示, 2

不包括两端点) ,且 E ? ,

?5 2 5 ? ?5 2 5 ? ?3 3 ? ?,F? ? 3,? 3 ? ? ,又直线 L : y ? k ? x ? 4 ? 过定点 D ? 4,0 ? , ? ? ? ?

-5-

当 直 线

L 与 圆 C

相 切 时 , 由

?3 ? k ? ? 4? ? 0 ?2 ? k ?1
2 2

?

3 2



k ??

3 4

, 又

k DE ? ? k DF

? 2 5? 0??? ? 3 ? 2 5 ? 3 3? ? 2 5 2 5 ? ? , , 结合上图可知当 k ? ?? , ? ? ? ? ?? ? ? 时,直线 5 4 4 7 7 7 ? ? ? ? 4? 3

L : y ? k ? x ? 4 ? 与曲线 C 只有一个交点.
【考点定位】圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用. 【名师点睛】本题主要考查圆的普通方程化为标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识,转化 与化归,数形结合思想和运算求解能力,属于中高档题,本题(1) (2)问相对简单,但第(2) 问需注意取值范围(

5 ,对于第(3)问如果能运用数形结合把曲线 C 与直线 L 的图 ? x ? 3) 3

形画出求解则可轻易突破难点.

-6-


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